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Dados um número natural n e os números complexos a n, a n 1, a n 2,..., a 2, a 1, a 0, denomina-se função polinomial, ou simplesmente, polinômio em C.

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2 Dados um número natural n e os números complexos a n, a n 1, a n 2,..., a 2, a 1, a 0, denomina-se função polinomial, ou simplesmente, polinômio em C a função dada por: para todo x C. 1. Conceitos Iniciais No polinômio P, temos: coeficientes a n, a n 1, a n 2,..., a 2, a 1, a 0 são os coeficientes. termos do polinômio a n x n, a n 1 x n 1,..., a 1 x, a 0 são os termos do polinômio. termo independente a 0 é o termo independente de x. variável. x é a variável.

3 o expoente máximo n é dito grau do polinômio Se a n 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio. Indicamos : gr(P) = n. P(x) = 7 ou P(x) = 7x 0 é um polinômio constante, isto é gr(P) = 0. P(x) = 2x 1 é um polinômio de grau 1, isto é, gr(P) = 1. é um polinômio de grau 5, isto é, gr(P) = 5. P(x) = 0; se todos os coeficientes são nulos não se define o grau absoluto. As funções f(x) = 3x 4 + x 2 5 e g(x) = x 5 + x 3/4 não são polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um expoente da variável que não é o número natural. 2. Grau de um Polinômio

4 substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o numero que se obtém, substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela expressão que define o polinômio. Observe esta situação: Exemplo 1: Se P(x) = x 3 + 2x 2 x 1, o valor numérico de P(x), para x = 2, é: P(2) = P(2) = P(2) = 13 O valor numérico de P(x), para x = 2, é a imagem do 2 pela função polinomial P(x). a é a raiz de P(x) P(a) = 0 Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x). a é a raiz de P(x) P(a) = 0 3. Valor Numérico de Um Polinômio

5 Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos quando assumem valores numéricos iguais para quaisquer valores atribuídos à variável x. Indicamos A(x) B(x). A(x) B(x) A( ) = B( ), C Considere os polinômios: Então: A(x) B(x) A(x) – B(x) 0 (a n – b n )x n + (a n 1 b n 1 )x n 1 + … + (a 2 b 2 )x 2 + (a 1 b 1 )x + (a 0 b 0 ) 0, x C. Nesse caso, o polinômio do 1º membro deve ser nulo e, como já vimos, isso ocorre para: a n b n = 0 a n = b n ; a n 1 b n 1 = 0 a n 1 = b n 1 ; … ; a 0 b 0 = 0 a 0 = b 0 4. Identidade de Polinômios

6 Dizemos que um polinômio P é nulo (ou identicamente nulo) quando P assume valor numérico zero para todo x completo. Em símbolos indicamos: Um polinômio P é nulo se, somente se, todos os coeficientes de P forem nulos. Em símbolos, sendo: Então devemos ter: 5. Polinômio Nulo

7 A soma, a diferença e o produto de duas funções polinomiais complexas são, também, funções polinomiais complexas. Se duas funções têm coeficientes reais, a soma, a diferença e o produto também coeficientes reais. Observa-se que, se A(x) e B(x) são funções polinomiais, então: Quando A(x) e B(x) possuírem graus diferentes, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) B(x) será igual ao maior entre os graus A(x) e B(x). Quando A(x) e B(x) forem do mesmo grau, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) B(x) poderá ser menor ou igual ao grau dos polinômios A(x) e B(x) ou, ainda, o polinômio resultante poderá ser nulo. O grau de A(x) B(x) é a soma dos graus de A(x) e B(x). 6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação

8 Sendo: 1. A soma é definida como: Ou seja, calculamos a soma adicionando os coeficientes dos termos semelhantes. 2. A subtração é definida como: Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes. 6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação

9 Sendo: 3. A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo a i x i de A(x) por cada termo b j x j de B(x), ou seja, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. A(x) + B(x) = A(x). B(x) = 6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação Exemplo 2: Sendo A(x) = x 3 + 2x 2 3 e B(x) = x 2 + x + 1, determine: (x 3 + 2x 2 – 3) + (x 2 + x + 1) = x 3 + 3x 2 + x 2 (x 3 + 2x 2 – 3). (x 2 + x + 1) x 5 + x 4 + x 3 + 2x 4 + 2x 3 + 2x 2 – 3x 2 – 3x – 3 x 5 + 3x 4 + 3x 3 – x 2 – 3x – 3

10 6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação Exemplo 3: Sendo A(x) = 6x 2 + 5x + 4 e B(x) = 3x 3 + 2x 2 + x, determine A(x).B(x) Dispositivo prático:

11 Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor), dividir P por D é determinar dois outros polinômios Q(x) (quociente) e r(x) (resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes: 7. Divisão de Polinômios

12 método dos coeficientes a determinar Esse método, também conhecido como método dos coeficientes a determinar, é aplicado da seguinte forma: 1. determina-se os graus do quociente – Q(x) e do resto – r(x); 2. constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos os seus coeficientes (usam-se letras); 3. determinam-se os coeficientes impondo a igualdade Q(x).D(x) + r(x) = P(x). 7.1 Método de Descartes Exemplo 4: Dividir P(x) = 3x 4 – 2x 3 + 7x + 2 por D(x) = 3x 3 - 2x 2 + 4x -1: 1. gr(quociente) = 4 – 3 = 1 Q(x) = ax + b 2. gr(resto) < 3 gr(r) 2 r(x) = cx 2 + dx + e

13 7.1 Método de Descartes Exemplo 5: Dividir P(x) = 3x 4 – 2x 3 + 7x + 2 por D(x) = 3x 3 - 2x 2 + 4x -1: Aplicando a relação fundamental da divisão: Logo: Q(x) = x Q(x) = ax + b Q(x) = x r(x) = -4x 2 + 8x + 2 r(x) = cx 2 + dx + e r(x) = -4x 2 + 8x + 2

14 Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos: ordem decrescentecompletá-los quando necessário Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes e completá-los quando necessário, com termos de coeficiente zero. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente. Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo. Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui. Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo. 7.2 Método da Chave

15 Exemplo 6: Dividir P(x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – 8x – 12 por D(x) = x 2 + 4: Q(x) = x 2 – 2x – 3 e r(x) = 0 Logo: Q(x) = x 2 – 2x – 3 e r(x) = 0

16 7.2 Método da Chave Exemplo 7: Dividir P(x) = x 4 – 16 por D(x) = x + 1. Logo: Q(x) = x 3 – x 2 + x - 1 e r(x) = -15

17 Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é um polinômio P(x), em que gr(P) 1, e o divisor é um polinômio do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do termo de grau 1) igual a 1. Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de grau 1, então resto será de grau zero, e portanto, independente de x (o resto será um número real). Vamos estudar: Teorema do Resto Teorema de DAlembert Algoritmo de Briot-Ruffini Divisão pelo binômio (ax + b) Divisão pelo produto (x – a).(x – b) Divisões Sucessivas 7.3 Divisão por binômios do 1º Grau

18 Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x – a), observamos que o resto, se não for nulo, será sempre um número real. Então: 7.4 Cálculo do Resto Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão. Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos:

19 Verificamos assim que: O resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a). Logo:

20 EXEMPLO 8: Calcular o resto da divisão de P(x) = x 4 – 3x 2 + 2x – 1 por x – 2. Resolução : EXEMPLO 9: Calcular o resto da divisão de P(x) = x 4 + 2x 3 + 3x 2 – 6 por x + 2. Resolução:

21 Resolução: se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter, Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio do tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou seja, P(a) = Teorema de DAlembert P(x) é divisível por (x – a) P(a) = 0. EXEMPLO 10: Determine k para que o polinômio P(x) = kx 3 + 2x 2 + 4x – 2 seja divisível por (x + 3).

22 Resolução: 7.6 Algoritmo de Briot-Ruffini EXEMPLO 11: Calcular o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x 3 - 2x 2 + 5x – 7 por (x - 2). Coeficientes do quociente resto Assim:

23 Resolução: EXEMPLO 12: Dividir P(x) = 3x 4 + 8x x – 21 por (x + 1)

24 Resolução: Como P(3) é o resto da divisão de P(x) por (x – 3), temos: EXEMPLO 13: Dado P(x) = 5x 4 - 9x 3 + 2x 2 – 5x – 11, calcular P(3). Assim: lembre-se, P(3) = R(x), então temos:

25 Resolução: Devemos ter resto igual a zero na divisão de P(x) por (x - 2). Então, EXEMPLO 14: Determine k para que P(x) = x 5 + x 2 + kx – 5 seja divisível por (x - 2). Assim: lembre-se, P(2) = R(x) = 0. Então:

26 Observe, Fazendo, temos: Briot-Ruffini para o binômio (ax + b) Casos em que:

27 Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para obtemos e, em que r também é o resto de na divisão de P(x) por (ax + b) e será o quociente. Veja que se: Resulta então que:

28 Resolução: em (2x - 1) vamos colocar o 2 em evidência, obtendo: EXEMPLO 15: Dividir P(x) = 2x 3 - 4x 2 + 6x – 2 por (2x - 1)

29 Agora você deve lembrar que: Substituindo então Q 1 (x), teremos: e

30 Resolução: lembre-se, nesse caso, R(x) = P(1). Então: EXEMPLO 16: Qual o resto da divisão de P(x) = x 40 - x - 1 por (x - 1)? Logo:

31 7.7 Divisão pelo produto (x – a).(x – b) Consideremos um polinômio P(x) com grau maior ou igual a dois, que, dividido por (x – a) e por (x – b) apresenta restos iguais a r 1 e r 2, respectivamente. Vamos Calcular o resto da divisão de P(x) pelo produto (x – a). (x – b). Como os restos na divisão de P(x) por (x – a) e por (x – b) são r 1 e r 2, respectivamente, temos: O resto da divisão de P(x) por (x – a). (x – b) é um polinômio R(x) = mx + n de grau máximo igual a 1, já que o divisor tem grau 2. Assim:

32 Como: Temos:

33 Com as sentenças obtidas montamos um sistema: Resolvendo esse sistema e calculando os valores de m e n, obtemos: Agora substituindo os valores de m e n encontrados na sentença: Obtemos:

34 Observações: I) Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b) temos: Então: Ou seja: CONCLUSÃO: Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b), então P(x) será também divisível pelo produto: (x – a). (x – b) (x – a). (x – b).

35 Resolução: Primeiro vamos lembrar que, EXEMPLO 17: Verificar se o polinômio P(x) = x 3 - 4x 2 + 4x - 1 é divisível por B(x) = x Mas, para que P(x) seja divisível por B(x), é necessário que P(x) seja divisível por (x + 1) e também por (x – 1). Então devemos ter: Vamos então calcular P(1) e P(-1):

36 Temos, então, que P(x) não é divisível por (x + 1) EXEMPLO 18: Calcule a e b para que P(x) = x 3 + 2x 2 + ax - b seja divisível por (x - 1) e por (x - 2). E portanto podemos concluir que P(x) não é divisível por B(x) Resolução: Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0.

37 Agora, vamos resolver o sistema obtido.

38 EXEMPLO 19: Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1, qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto (x - 1).(x - 2)? Resolução: observe que: 1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1) = 2 e P(2) = 1. 2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um polinômio do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1. Então: A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos:

39 Resolvendo o sistema: Encontramos: e. Assim:

40 7.8 Divisões Sucessivas Consideremos um polinômio P(x) divisível por B(x) = (x – a).(x – b), e que o quociente na divisão de P(x) por B(x) é um polinômio Q(x). Assim: Vamos chamar (x – b).Q(x) de Q 1 (x). Observe a sentença obtida, Veja que P(x) é divisível por (x – a) e o quociente na divisão de P(x) por (x – a) é Q 1 (x) = (x – b). Q(x)

41 Então, podemos concluir que Q 1 (x) é divisível por (x – b) e o quociente na divisão de Q 1 (x) por (x – b) é Q(x). Mas, se Vamos tentar simplificar:

42 Deste modo, podemos concluir que:

43 EXEMPLO 20: Verificar se P(x) = x 3 + 2x x + 10 é divisível por (x – 1).(x – 2) Resolução: Dividimos sucessivamente P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado por (x – 2) Como P(x) é divisível por (x - 1) e o quociente desta divisão é divisível por (x – 2), concluímos, então, que P(x) é divisível por (x - 1).(x - 2) Coeficientes do Quociente Q(x)

44 EXEMPLO 21: Calcular a e b para que P(x) = x 4 + x 2 + ax + b seja divisível por (x – 1) 2 Resolução: Dividimos P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado por (x – 1) novamente. Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então,

45 EXEMPLO 22: Para que o polinômio P(x) = x 3 - 8x + mx - n seja divisível por (x + 1)(x - 2), o produto m.n deve ser igual a: Resolução: Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é divisível por (x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto significa dizer que, e

46 Resolvendo o sistema: e Obtemos, Agora, podemos responder a proposição inicial do problema, EXEMPLO 23: Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter o valor numérico da expressão a + b. Resolução: Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6, então,

47 e Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b, então, daí,


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