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MATRIZES É uma tabela disposta em m linhas e n colunas.

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1 MATRIZES É uma tabela disposta em m linhas e n colunas.

2 Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.

3 Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero. Ex: diagonal principal

4 Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal. Traço: = 12 Matriz Triangular : é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

5 Matriz Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais. Matriz Anti-Simétrica : Os elementos da diagonal principal são iguais a zero. Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.

6 Operações com Matrizes: Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem. Dadas as matrizes, e, calcule: A + B C=

7 Multiplicação de Matrizes Só podemos multiplicar duas matrizes entre si, quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e número de colunas da segunda matriz. = =

8 Matriz Inversa: O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Sendo, determine det A = 12 – 10 det A = 2

9 I – Definição É um número associado a uma matriz quadrada. II – Determinante de uma matriz de 2ª ordem Seja a matriz A =, então: det A = DETERMINANTES

10 Ex: det = 2. (- 4) – 1. (- 3) det = det = -5

11 III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) Ex: det = 3.(-3) (-1) – (-1).(-3).(2) – – det = – 45 – – 6 – 18 – 20 det = – 42

12 IV – Menor Complementar (D ij ) É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento a ij considerado. Ex. Sendo, calcule D 12 det = det = 13 D 12 = 13

13 V – Cofator Ex. Dada a matriz, calcule C 21

14 Propriedades dos Determinantes: 1ª propriedade: Se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, o seu determinantes será zero. Ex.

15 2ª propriedade: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, o seu determinante será zero. Ex.

16 3ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o determinante é o simétrico do anterior. Ex. det = 15 – 8 det = 7 det = 8 – 15 det = -7

17 4ª propriedade: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número k. Obs: Conseqüência da propriedade:, onde n é a ordem da matriz. Ex: Sendo A 3x3, e det A = 5, calcule det (2A). det (2A) = 2 3. det A det (2A) = 8. 5 det (2A) = 40

18 5ª propriedade: O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta. 6ª propriedade: O determinante de uma matriz A igual ao inverso do determinante da matriz inversa de A.

19 7ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Ex: det = (-3) det = - 48

20 8ª propriedade: Teorema de Binet Sendo A e B duas matrizes quadradas temos que: det (A.B) = det A. det B e B= calcule det (A.B). Dadas as matrizes A = det (A. B) = det A. det B det (A. B) = (-14). 6 det (A. B) = -84

21 4º) (UFAL – 2007) Considere o conjunto A, formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise as afirmações que seguem. (00) Com os elementos de A é possível escrever números de 5 algarismos distintos entre si. __ __ __ __ __ = X

22 (11) De todos os números de 4 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 3120 são pares. __ __ __ __ __ ____ 0 2,4,6, = = Total = 2296 X

23 (22) De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 176 são menores do que 350. __ __ __ < __ __ __ 72 __ _____ __ 0,1,2, Total = 176 X

24 (33) Com os elementos ímpares de A é possível escrever exatamente 60 números de 3 algarismos distintos entre si. 1, 3, 5, 7, 9 __ __ __ X

25 (44)De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 150 são divisíveis por 5. Para um número ser divisível por 5, tem que terminar em 0 ou 5 1º caso: terminação 0 __ __ __ º caso: terminação 5 __ __ __ Total=136 X


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