Prof. José Junior Barreto TEORIA DOS DETERMINANTES

Apresentação em tema: "Prof. José Junior Barreto TEORIA DOS DETERMINANTES"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. José Junior Barreto TEORIA DOS DETERMINANTES
COLÉGIO CONTEC 2º ano MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto TEORIA DOS DETERMINANTES

2 Determinante de uma matriz quadrada
A toda matriz quadrada A está associado um número real, chamado determinante de A. Ele é obtido por meio de certas operações com os elementos da matriz. O determinante de uma matriz A pode ser indicado por det A ou, ainda, substituído-se os parênteses ou colchetes da matriz por barras. MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

3 O determinante da matriz P abaixo pode ser indicado
Exemplo O determinante da matriz P abaixo pode ser indicado –5 –1 4 P = Por det P; –5 –1 4 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

4 Determinantes de 1ª e 2ª ordem
O determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem (matriz 1 x 1) é igual ao valor de seu único elemento. A = [a11] ⇒ det A = a11 Exemplo A = 2  det A = 2 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

5 Determinantes de 1ª e 2ª ordem
O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem (matriz 2 x 2) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, menos o produto dos elementos da diagonal secundária. a11 a12 a21 a22 = a11 . a22 – a12 . a21 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

6 Exemplos Calcule o determinante das matrizes M e N abaixo. M = N =
2 3 5 1 –5 –1 4 M = N = 2 3 5 1 Det M = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13 –5 –1 4 Det N = = (–5).4 – 0.(–1) = –20 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

7 Exemplos x 2 x + 1 Resolver a equação = 2. x.(x + 1) – 2.x x 2 x + 1 =
 x2 – x – 2 = 0  x = –1 ou x = 2 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

8 Determinantes de 3ª ordem
Para calcular determinantes de 3ª ordem, usamos um dispositivo chamado Regra de Sarrus. Veja os passos a serem seguidos, em que tomamos um determinante de uma matriz genérica A. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A = MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

9 Determinantes de 3ª ordem
1o passo: Copiamos ao lado da matriz A as suas duas primeiras colunas a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 A = MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

10 Determinantes de 3ª ordem
2o passo: Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Seguindo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras “diagonais”. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 A = Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

11 Determinantes de 3ª ordem
3o passo: Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido. Seguindo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras “diagonais”, também trocando o sinal dos produtos. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 A = Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

12 Determinantes de 3ª ordem
4o passo: Somamos todos os resultados obtidos. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 A = Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

13 Exemplos Calcule o determinante da matriz A abaixo. A = Det A = 1 –3 2
4 –2 3 A = 1 –3 2 4 –2 3 1 –3 4 2 –2 1.2.3 + (–3).0.(–2) = = 14 –[2.2.(–2)] –[1.0.1] –[(–3).4.3] = 8 – = 44 Det A = = 58 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

14 Exemplos Encontrar os valores de x que anulam o determinante Det A = x
2 3 –1 4 –3 1 x 2 3 –1 4 –3 1 x 2 –1 –3 x.x.1 + 2.4.(–3) + 3.(–1).0 = x2 – 24 –[3.x.(–3)] –[x.4.0] –[2.(–1).1] = 9x + 2 x = –11 ou x = 2 Det A = x2 + 9x – 22  x2 + 9x – 22 = 0  MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

15 Propriedades dos Determinantes
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16 Propriedades dos determinantes
P1. O determinante de uma matriz vale zero se ele tem: Uma linha (ou coluna) nula. –1 2 3 5 1 = 0 Duas linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais. 1 5 2 –4 3 1 3 2 6 –3 4 12 = 0 = 0 2º coluna x 3 1º coluna =3o MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

17 Propriedades dos determinantes
P2. se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou colunas) de um determinante, ele troca de sinal. 2 –1 3 1 4 –2 3 –1 2 4 1 –2 = –1 = 1 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

18 Propriedades dos determinantes
P3. Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de um determinante por uma constante k, ele fica multiplicado por k. 2 –5 1 4 = 13 2.3 –5 1.3 4 6 –5 3 4 = = 39 13. 3 = 39 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

19 Propriedades dos determinantes
P4. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. Det At  det A Exemplo 3 1 –4 2 3 –4 1 2 A =  At = Det A = 10 Det At = 10 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

20 Propriedades dos determinantes
P5. Se forem nulos todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal, o determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo 2 3 –1 A = Det A = 2.(–1).3 = –6 A matriz A é triangular. MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

21 Propriedades dos determinantes
P6. O determinante do produto de duas matrizes é o produto de seus determinantes (teorema de Binet). det (AB) = det A . det B Exemplo 3 1 4 2 2 –3 4 1 10 –8 16 –10 A = B = AB = Det A = 2 Det B = 14 Det AB = 28 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

22 Propriedades dos determinantes
P7. Um determinante não se altera se substituirmos uma de suas filas por ela própria somada com uma outra paralela multiplicada por uma constante (Teorema de Jacobi). Exemplo 1 2 3 5 = 1.5 – 2.3 = 5 – 6 = –1 1 + (–2).2 2 3 + (–2).5 5 –3 2 –7 5 = = –15 – (–14) = –1 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto