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Prof. Jorge. Determinante de uma matriz quadrada A toda matriz quadrada A está associado um número real, chamado determinante de A. Ele é obtido por meio.

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1 Prof. Jorge

2 Determinante de uma matriz quadrada A toda matriz quadrada A está associado um número real, chamado determinante de A. Ele é obtido por meio de certas operações com os elementos da matriz. O determinante de uma matriz A pode ser indicado por det A ou, ainda, substituído-se os parênteses ou colchetes da matriz por barras. MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

3 Prof. Jorge Exemplo O determinante da matriz P abaixo pode ser indicado –50 –14 P = Por det P; –50 –14 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

4 Prof. Jorge Determinantes de 1ª e 2ª ordem O determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem (matriz 1 x 1) é igual ao valor de seu único elemento. Exemplo 2 det A = 2 A = A = [a 11 ] det A = a 11 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

5 Prof. Jorge Determinantes de 1ª e 2ª ordem O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem (matriz 2 x 2) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, menos o produto dos elementos da diagonal secundária. a 11 a 12 a 21 a 22 =a 11. a 22 – a 12. a 21 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

6 Prof. Jorge Exemplos Calcule o determinante das matrizes M e N abaixo M = –50 –14 N = Det M = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15= –13 –50 –14 Det N = = (–5).4 – 0.(–1) = –20 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

7 Prof. Jorge Exemplos Resolver a equação x2 xx + 1 = 2. x2 x = x.(x + 1) – 2.x = x 2 + x – 2x= x 2 – x x 2 – x = 2 x 2 – x – 2 = 0 x = –1 ou x = 2 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

8 Prof. Jorge Determinantes de 3ª ordem Para calcular determinantes de 3ª ordem, usamos um dispositivo chamado Regra de Sarrus. Veja os passos a serem seguidos, em que tomamos um determinante de uma matriz genérica A. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A = MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

9 Prof. Jorge Determinantes de 3ª ordem a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 A = 1 o passo: Copiamos ao lado da matriz A as suas duas primeiras colunas MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

10 Prof. Jorge Determinantes de 3ª ordem 2 o passo: Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Seguindo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras diagonais. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 Det A = A = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

11 Prof. Jorge Determinantes de 3ª ordem 3 o passo: Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido. Seguindo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras diagonais, também trocando o sinal dos produtos. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 Det A = A = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 – a 31.a 22.a 13 – a 32.a 23.a 11 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

12 Prof. Jorge Determinantes de 3ª ordem a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 Det A = A = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 – a 31.a 22.a 13 – a 32.a 23.a 11 – a 33.a 21.a 12 4 o passo: Somamos todos os resultados obtidos. MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

13 Prof. Jorge 1– –213 Exemplos Calcule o determinante da matriz A abaixo. A = 1– –213 1–3 42 – (–3).0.(–2) = = 14 –[2.2.(–2)] –[1.0.1]–[(–3).4.3] = 8 – = 44 Det A = = 58 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

14 Prof. Jorge x23 –1x4 –301 Exemplos Encontrar os valores de x que anulam o determinante x23 –1x4 –301 x2 –1x –30 x.x (–3) + 3.( – 1).0= x 2 – 24 –[3.x.(–3)] –[x.4.0]–[2.(–1).1] = 9x + 2 Det A = x 2 + 9x – 22 x 2 + 9x – 22 = 0 x = –11 ou x = 2 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

15 Prof. Jorge Propriedades dos Determinantes MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

16 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P1. O determinante de uma matriz vale zero se ele tem: Uma linha (ou coluna) nula. – = 0 Duas linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais – = –3412 = 0 2 º coluna x 3 1 º coluna =3 o MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

17 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P2. se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou colunas) de um determinante, ele troca de sinal. 2– –21 = –1 3– –23 = 1 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

18 Prof. Jorge 2.3– –5 14 Propriedades dos determinantes P3. Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de um determinante por uma constante k, ele fica multiplicado por k. = 13 6–5 34 == = 39 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

19 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P4. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. Det A t det A Exemplo 31 –42 A = 3–4 12 A t = Det A = 10Det A t = 10 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

20 Prof. Jorge 200 3– Propriedades dos determinantes P5. Se forem nulos todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal, o determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo A = Det A = 2.(–1).3= –6 A matriz A é triangular. MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

21 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P6. O determinante do produto de duas matrizes é o produto de seus determinantes (teorema de Binet). det (AB) = det A. det B Exemplo A = 2–3 41 B = 10–8 16–10 AB = Det A = 2 Det B = 14Det AB = 28 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

22 Prof. Jorge 1 + (–2) (–2).55 Propriedades dos determinantes P7. Um determinante não se altera se substituirmos uma de suas filas por ela própria somada com uma outra paralela multiplicada por uma constante (Teorema de Jacobi). Exemplo =1.5 – 2.3 = 5 – 6= –1 = –32 –75 = –15 – (–14)= –1 MATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto


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