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Prof. Jorge Sistemas lineares. Prof. Jorge Sistemas lineares A tabela abaixo mostra a classificação dos quatro candidatos a um emprego: Paulo, Carla,

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1 Prof. Jorge Sistemas lineares

2 Prof. Jorge Sistemas lineares A tabela abaixo mostra a classificação dos quatro candidatos a um emprego: Paulo, Carla, Sara e Ana. Haviam apenas três vagas. Port.Mat.Inf.PontosResultado Carla86347Classif. Paulo67543Classif. Sara48941Classif. Ana49840Desclassif. (17) (18) (21)

3 Prof. Jorge Sistemas lineares Ana utilizou seus conhecimentos de matemática e imaginou os seguintes pesos. Português: x; Matemática: y; Informática: z 8x + 6y + 3z = 47 Carlos 6x + 7y + 5z = 43 Paulo 4x + 8y + 9z = 41 Sara 4x + 9y + 8z = 40 Ana

4 Prof. Jorge As equações que Ana obteve têm muitas coisas em comum. Vamos analisar por exemplo a equação Equações Lineares 4x + 9y + 8z = 40 É uma equação de 1º grau. – Os três termos do 1º membro são de 1º grau. – O termo do segundo membro é de grau zero (independe de qualquer variável). Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.

5 Prof. Jorge Equações lineares De maneira geral, se a 1, a 2, a 3,..., a n, b são constantes reais e x 1, x 2, x 3,..., x n são variáveis reais, uma equação linear é do tipo. a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b x 1, x 2, x 3,..., x n são as incógnitas; a 1, a 2, a 3,..., a n são os coeficientes; b é o termo independente;

6 Prof. Jorge Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos. Equações lineares x, y e z são as incógnitas; 4, 9 e 8 são os coeficientes; 40 é o termo independente;

7 Prof. Jorge Equações lineares Para refletir. analise o grau das equações abaixo. Nenhuma das quatro é linear. Por quê? x 2 + 3y = 5; xy – 3y + z = 12; x + y + z = 1; 2x – 1 y = 0

8 Prof. Jorge Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40 Soluções de uma equação linear x = 1 y = 4 z = = 40 (Verdadeira) x = 3 y = 2 z = (falsa)

9 Prof. Jorge Soluções de uma equação linear Solução de uma equação linear é toda seqüência de valores reais das incógnitas que tornam uma igualdade verdadeira.

10 Prof. Jorge Calcular a constante real a, sabendo que a sequência (1, –3, 4) é solução da equação linear 2x + ay – z = 4. Exemplo Substituindo x = 1; y = –3 e z = 4 na equação, temos a.(–3) – 4 = 4 2 –3a – 4 = 4 –3a = 6 a = –2

11 Prof. Jorge 1ª. Equação: 2x = 8 Número de soluções de uma equação linear 2x = 8 x = 4 Portanto a única solução da equação 2x = 8 é x = 4.

12 Prof. Jorge 2ª. Equação: 0x = 3 Número de soluções de uma equação linear Não existe número real que, multiplicado por 0, resulte 3. Logo, a equação não têm solução.

13 Prof. Jorge 3ª. Equação: x + 3y = 8 Número de soluções de uma equação linear Nessa equação o valor de uma incógnita depende do valor da outra (x = 8 – 3y). y = 3 x = 8 – 3.3 x = –1 (–1, 3) y = 2 x = 8 – 3.2 x = 2 (2, 2) y = 1 x = 8 – 3.1 x = 5 (5, 1) Essa equação tem infinitas soluções.

14 Prof. Jorge Uma equação linear em que o termo independente é 0 (zero) é chamada equação linear homogênea? Equação homogênea 2x – y = 0 é uma equação linear homogênea x + y – 5 = 0 Não é equação linear homogênea x + y = 5 Toda equação linear homogênea admite uma solução óbvia: Aquela em que todas as incógnitas são iguais a 0.

15 Prof. Jorge Uma equação linear que tem todos os coeficientes iguais a 0 (zero) é chamada equação linear nula? Equação nula 0x + 0y + 0z = 0 é uma equação linear nula Toda sequência de n números reais é uma solução de uma equação nula, com n incógnitas.

16 Prof. Jorge Chama-se linear impossível ou incompatível aquela em que Equação impossível ou incompatível todos os coeficientes são iguais a 0. o termo independente é diferente de 0. 0x + 0y = 3 é uma equação linear impossível

17 Prof. Jorge Equação com variáveis naturais Em certos problemas, aparecem equações lineares com restrições ao universo das variáveis. Nesses casos, o número de soluções da equação pode ser finito, mesmo que haja duas ou mais incógnitas.

18 Prof. Jorge Tenho uma nota de 50 reais, e quero trocá-la por notas de 10 reais e 5 reais. Preciso de pelo menos uma de cada tipo. De quantas formas posso receber o troco? Exemplo x, número de notas de 10 reais e y, número de notas de 5 reais. 10x + 5y = 50 2x + y = 10 x = 1 y = 8 x = 2 y = 6 x = 3 y = 4 x = 4 y = 2

19 Prof. Jorge Sistemas lineares

20 Prof. Jorge Sistemas lineares Um conjunto formado apenas por equações lineares é chamado de sistema linear. x + 2y = 3 Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y). x – y = 5 2x – y +z – t = 0 Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t). x – 2y + t = 0 3x + y – 2z = 0

21 Prof. Jorge Sistemas lineares Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial. 2x + y = 3 x – 2y = 0 5x + y = –2 51 A = x Y X = B = Matriz dos coeficientes Matriz das incógnitas Matriz dos termos independentes

22 Prof. Jorge Sistemas lineares Veja a representação matricial do sistema abaixo. 2x + y = 3 x – 2y = 0 5x + y = –2 51 A.X = B x Y =

23 Prof. Jorge Soluções de um sistema linear Se uma seqüência é solução de todas as equações de um sistema, dizemos que ela é uma solução do sistema.

24 Prof. Jorge No sistema linear Exemplos x + y = 5 2x – y = 1 (2, 3) é solução = 5 (V) 2.2 – 3 = 1 (V) (3, 2) não é solução = 5 (V) 2.2 – 3 = 1 (F)

25 Prof. Jorge Calcular a e b, para que a sequência (3, 1) seja solução do sistema linear Exemplos x + ay = 1 ax – y = b + 3 Vamos fazer x = 3 e y = 1 nas duas equações. 1ª equação:3 + a.1 = 1 a = –2 2ª equação:–2.3 – 1 = b + 3 –7 = b + 3 b = –10

26 Prof. Jorge Soluções de um sistema linear homogêneo Num sistema linear homogêneo, todas as equações são homogêneas. Por isso admite a solução trivial, a sequência (0, 0, 0,..., 0).

27 Prof. Jorge O sistema linear abaixo é homogêneo. Exemplos x – 2y = 0 –3x + 6y = 0 (0, 0) é solução 0 – 2.0 = 0 (V) – = 0 (V) (2, 1) também é solução 2 – 2.1 = 0 (V) – = 0 (V)

28 Prof. Jorge Número de soluções de um sistema linear

29 Prof. Jorge Número de soluções de um sistema linear x – 3y = 4 –2x + 6y = 3 Na 1.ª equação, x = 4 + 3y. Subst. na 2.ª equação, –2(4 + 3y ) + 6y = 3 –8 – 6y + 6y = 3 0y = 11 Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado sistema impossível (SI).

30 Prof. Jorge Número de soluções de um sistema linear x – 3y = 4 –2x + 6y = 3 Veja a análise geométrica do sistema x y O r1r1 r2r2

31 Prof. Jorge Número de soluções de um sistema linear 3x – y = 5 x + y = 7 Na 1.ª equação, y = 3x – 5. Subst. na 2.ª equação, x + 3x – 5 = 7 4x = 12 Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é chamado sistema possível e determinado (SPD). x = 3 y = 3.3 – 5 y = 4 Solução (3, 4)

32 Prof. Jorge Número de soluções de um sistema linear Veja a análise geométrica do sistema 3x – y = 5 x + y = 7 x y O r1r1 r2r2 3 4

33 Prof. Jorge Número de soluções de um sistema linear x – 2y = –5 –2x + 4y = 10 Na 1.ª equação, x = 2y – 5. Subst. na 2.ª equação, –2(2y – 5) + 4y = 10 –4y y = 10 Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é chamado sistema possível e indeterminado (SPI). 0y = 0

34 Prof. Jorge Número de soluções de um sistema linear Veja a análise geométrica do sistema x – 2y = –5 –2x + 4y = 10 x y O r 1 r 2

35 Prof. Jorge Número de soluções de um sistema linear Sistema linear (S) Tem solução? Não Impossível (SI) Sim Possível (SP) Quantas? Apenas uma Determinado (SPD) Infinitas Indeterminado (SPI)

36 Prof. Jorge Sistemas escalonados

37 Prof. Jorge Sistemas Escalonados Observe os sistemas lineares abaixo. 2x + 5y = 4 0x – 3y = 6 2x – 3y + z – 5t = 3 0x + 5y – z + 3t = 1 0x + 0y + 0z – t = 2 Sistemas que aparecem dessa forma são chamados de sistemas escalonados

38 Prof. Jorge Os sistemas a seguir são escalonados. Analisar se eles são possíveis ou impossíveis. Exemplos a) x – 2y + z = 3 0x + y – z = 2 0x + 0y + 0z = 3 a) 2x – y + z = 3 0x + y – 3z = 1 0x + 0y + 0z = 0 Sistema impossível (SI) Sistema possível (SP)

39 Prof. Jorge Da análise dos sistemas vistos, tiramos as seguintes regras: Regras – sistemas escalonados Regra 1 Em um sistema escalonado, as equações nulas devem ser eliminadas, já que influenciam na resolução do sistema. Regra 2 Um sistema escalonado é impossível só quando apresenta uma equação impossível; caso contrário o sistema é possível.

40 Prof. Jorge Exemplos O sistema abaixo é escalonado e possível. Resolvê-lo e verificar se ele é determinado ou indeterminado. x – y + z = 4 0x + y – z = 2 0x + 0y + 3z = 3 Número de equações (3) é igual ao número de incógnitas (3) SPD 3.ª equação:3z = 3 z = 1 2.ª equação:y – z = 2 y – 1 = 2 y = 3 1.ª equação:x – y + z = 4 x – = 4 x = 6 Solução (6, 3, 1)

41 Prof. Jorge Exemplos O sistema a seguir também é escalonado e possível. Resolvê-lo e analisar se ele é determinado ou indeterminado. x – y + z = 3 0x + y – 2z = 3 0x + 0y + 0z = 0 A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada. x – y + z = 3 0x + y – 2z = 3 O número de equações restantes (2) é menor que o número de incógnitas (3) SPI

42 Prof. Jorge Exemplos x – y + z = 3 0x + y – 2z = 3 Incógnita livre: z Incógnita livre:z = k 2.ª equação:y – 2z = 2 y – 2k = 3 y = 2k ª equação:x – y + z = 3 x – (2k + 3) + k = 3 x – 2k – 3 + k = 3 x = k + 6 Solução geral: (k + 6, 2k + 3, k) k = 1 (7, 5, 1) k = –1 (5, 1, –1)...

43 Prof. Jorge Da análise dos dois últimos problemas, tiramos a seguinte regra: Regras – sistemas escalonados Regra 3 De um sistema possível, retiram-se as equações nulas. Se m é o número de equações restantes e n é o número de incógnitas, o sistema é determinado, se m = n. indeterminado, se m < n.

44 Prof. Jorge Discussão de um sistema escalonado Existe alguma equação do tipo impossível Sim Impossível (SI) Não Possível (SP) m = n? Determinado (SPD) m < n? Indeterminado (SPI)

45 Prof. Jorge Sistemas com coeficientes paramétricos

46 Prof. Jorge Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema Exemplo x – 2y + z = 3 0x + y – 5z = 7 0x + 0y + mz = n – 1 O sistema está escalonado. Para discuti-lo, vamos analisar as três hipóteses possíveis, a partir da última equação.

47 Prof. Jorge Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema Exemplo x – 2y + z = 3 0x + y – 5z = 7 0x + 0y + mz = n – 1 Sistema impossível (SI) m = 0 n – 1 0 m = 0 n 1 A última equação deve ser impossível.

48 Prof. Jorge Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema Exemplo x – 2y + z = 3 0x + y – 5z = 7 0x + 0y + mz = n – 1 Sistema possível e determinado (SPD) m 0 n deve ser um número real qualquer. Número de equações igual ao de incógnitas.

49 Prof. Jorge Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema Exemplo x – 2y + z = 3 0x + y – 5z = 7 0x + 0y + mz = n – 1 Sistema possível e indeterminado (SPI) m = 0 n – 1 = 0 A última equação deverá ser nula. m = 0 n = 1

50 Prof. Jorge Escalonamento de sistemas

51 Prof. Jorge Permite transformar um sistema linear qualquer em outro equivalente (de mesma solução), porém na forma escalonada. São feitas transformações no sistema linear, baseadas em alguns princípios de equivalência de sistemas. Método de eliminação de Gauss

52 Prof. Jorge Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções são chamados sistemas equivalentes. Sistemas equivalentes 2x + y = 5 x – y = 1 e x + y = 3 3x + y = 7 Ambos os sistemas são possíveis e determinados. A solução é a sequência (2, 1).

53 Prof. Jorge Princípios de equivalência de sistemas 1.º Princípio Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema. 2.º Princípio Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por uma constante não-nula.

54 Prof. Jorge Princípios de equivalência de sistemas 3.º Princípio Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real não-nula.

55 Prof. Jorge Escalonar o sistema linear Exemplo y – z = 5 4x + y + z = 15 –x – y + 8z = 0 y – z = 5 4x + y + z = 15 –x – y + 8z = 0 4. E 3 y – z = 5 4x + y + z = 15 –4x – 4y + 32z = 0 E 3 + E 1 y – z = 5 4x + y + z = 15 –3y + 33z = 15

56 Prof. Jorge Escalonar o sistema linear Exemplo E 3 +3.E 2 y – z = 5 4x + y + z = 15 –3y + 33z = 15 y – z = 5 4x + y + z = 15 30z = 30

57 Prof. Jorge Matriz completa de um sistema A todo sistema linear podemos associar uma matriz, chamada matriz completa do sistema. Veja x – 2y + 3z = 1 2y + z = 7 –x + z = 5 1x – 2y + 3z = 1 0x + 2y + 1z = 7 –1x + 0y + 1z = 5 1– –1015 Matriz completa:

58 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y = 5 x + 3y = 1 3x – y = 4 2– –13 3– –100 3–

59 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y = 5 x + 3y = 1 3x – y = 4 1–100 3– –700 30– – – A matriz está escalonada. A última linha representa a equação 0x + 0y = –23 SI

60 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema x – y + z = 1 2x + y – 3z = 5 x – 4y + 6z = –2 1–111 21–35 1–46–2 L 2 – 2L 1 5 –5 1 –3– –11 L 3 – L 1 5 –5 1 – –11 L 3 + L 2 0 – –11

61 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema x – y + z = 1 2x + y – 3z = 5 x – 4y + 6z = –2 0 – –11 A matriz está escalonada. A última linha representa a equação 0x + 0y + 0z = 0 SPI x – y + z = 1 3y – 5z = 3

62 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa x – y + z = 1 3y – 5z = 3 Incógnita livre:z = k 2.ª equação:3y – 5z = 3 3 y – 5k = 3 y = 3 + 5k 3 1.ª equação:x – y + z = 1 x = y – z + 1 x = 3 + 5k 3 – k + 1 x = 2k Solução geral: 2k k 3, k,

63 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5 3x + ay = b 1–25 3ab L 2 – 3L 1 b – 15a –21 Sistema impossível (SI) a + 6 = 0 b – 15 0 a = –6 b 15

64 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5 3x + ay = b 1–25 3ab L 2 – 3L 1 b – 15a –21 Sistema possível e determinado (SPD) a a –6

65 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5 3x + ay = b 1–25 3ab L 2 – 3L 1 b – 15a –21 Sistema possível e indeterminado (SPI) a + 6 = 0 b – 15 = 0 a = –6 b = 15

66 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função do parâmetro m, o sistema x + my = 1 mx + y = 1 1m1 m11 mL 1 – L 2 m – 1m 2 – 10 1m1 Sistema impossível (SI) m 2 – 1 = 0 m – 1 0 m = ± 1 m 1 m = –1

67 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função do parâmetro m, o sistema x + my = 1 mx + y = 1 1m1 m11 mL 1 – L 2 m – 1m 2 – 10 1m1 Sistema possível e determinado (SPD) m 2 – 1 0 m ± 1

68 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função do parâmetro m, o sistema x + my = 1 mx + y = 1 1m1 m11 mL 1 – L 2 m – 1m 2 – 10 1m1 Sistema possível e indeterminado (SPI) m 2 – 1 = 0 m – 1 = 0 m = ± 1 m = 1 m = 1

69 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função do parâmetro k, o sistema homogêneo 2x – y + z = 0 x + y – 3z = 0 x + 4y + kz = 0 2–110 21–30 14K0 2L 2 – L 1 k + 3 – –12 L 3 – L 2 k + 3 – –12 L 3 – L 2 k + 10 – –12

70 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y + z = 0 x + y – 3z = 0 x + 4y + kz = 0 k+10 – –12 Sistema possível e determinado (SPD) k k 10

71 Prof. Jorge Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y + z = 0 x + y – 3z = 0 x + 4y + kz = 0 k+10 – –12 Sistema possível e indeterminado (SPI) k + 10 = 0 k = 10

72 Prof. Jorge Regra de Cramer

73 Prof. Jorge Regra de Cramer Processo de resolução de sistemas lineares por meio de determinantes. (Gabriel Cramer 1750) A Regra de Cramer é indicada para sistemas possíveis e determinados, com número de equações igual ao número de incógnitas.

74 Prof. Jorge Regra de Cramer Suponhamos o sistema linear abaixo com duas equações e duas incógnitas. a 1 x + b 1 y = m a 2 x +b 2 y = n a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 = = a 1.b 2 – a 2.b 1 ma2a2 nb2b2 x = = m.b 2 – a 2.n a1a1 m b1b1 n y = = a 1.n – m.b 1 x = x y = y

75 Prof. Jorge Exemplo Resolver pela regra de Cramer o sistema 3x + y = 5 5x – 2y = –2 = = 3.(–2) – –2 x = = 5.(–2) – y = = 3.12 – 5.5 = –11 = –22 = 11 x = –22 –11 y = 11 –11 = 2 = –1


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