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Programação Linear Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Agosto - 2009.

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1 Programação Linear Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Agosto

2 Introdução Diremos que um problema de programação linear está em sua forma padrão se tivermos uma Maximização da função objetivo e se todas as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não-negativos. Matemáticamente podemos representar um problema padrão por:

3 Introdução Maximizar: Z = c 1 x 1 + c 2 x C n x n Sujeito a: a 11 x 1 + a 12 x a 1 n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 : : : a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1, x 2,... x n 0

4 Introdução ou na forma reduzida: Maximizar: Z = Sujeito a: x 1, x 2,..., x n 0

5 Introdução ou na forma matricial, equivalentemente Max C T x s.a: Ax b x0 Onde A mxn matriz, e

6 Resolução Gráfica Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente. Imagine o seguinte problema de programação linear:

7 Resolução Gráfica (exemplo 1) Max Z = 5x 1 + 2x 2 Sujeito a: x 1 3 x 2 4 x 1 + 2x 2 9 x 1 0 e x 2 0

8 Resolução Gráfica (exemplo 2) Max Z = x 1 + x 2 Sujeito a: 2x 1 + x 2 2 6x 1 + x 2 3 x 1 0 e x 2 0

9 Min 7x 1 + 9x 2 s.a: -x 1 + x 2 2 x 1 5 x 2 6 3x 1 + 5x x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Resolução Gráfica (exemplo 3)

10 Min 6x x 2 s.a: -x 1 + x 2 2 x 1 + 2x 2 1 x 1 5 x 2 6 3x 1 + 5x x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Resolução Gráfica (exemplo 3) Restrições Redundantes: restrições que não participam da determinação do conjunto de soluções viáveis.

11 Min 6x x 2 s.a: -x 1 + x 2 2 x 1 5 x 2 6 3x 1 + 5x x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Resolução Gráfica (exemplo 4) Multiplicidade de Soluções: o problema apresenta mais de uma solução ótima

12 Max 6x x 2 s.a: -x 1 + x 2 2 x 2 6 3x 1 + 5x x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Resolução Gráfica (exemplo 5) Problema Ilimitado: Quando existem infinitas soluções viáveis, porém não se consegue determinar a ótima.

13 Max x 1 + x 2 s.a: x 1 + x 2 12 x 1 + x 2 20 x 1, x 2 0 Resolução Gráfica (exemplo 6) Conjunto de soluções viáveis vazio (problema inviável)

14 Resolução Analítica Para se utilizar o método de resolução Analítica não existe um limite de variávies. Vamos resolver o exemplo abaixo: Max x 1 + x 2 s.a: 2x 1 + x 2 2 x 1 + 3x 2 3 x 1, x 2 0

15 Exemplo 2: Max 4x 1 + 8x 2 s.a: 3x 1 + 2x 2 18 x 1 + x 2 5 x 1 4 x 1, x 2 0 Resolução Analítica

16 Exemplo 3: Max 2x 1 + 6x 2 s.a: 4x 1 + 3x x 1 + x 2 8 x 1, x 2 0 Resolução Analítica


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