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CÁLCULO DA INVERSA DA BASE
Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro
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Cálculo da inversa da base
O método simplex revisado não computa a inversa B-1 da base diretamente. A primeira base considerada é sempre uma matriz identidade: B = I B-1 = I A partir dessa base, as demais são calculadas por um procedimento computacional, que será mostrado a seguir.
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Cálculo da inversa da base
Seja uma matriz identidade representada por: Im = (e1, e2 , ... , em) Onde ei são vetores identidade, com o elemento 1 na linha i. Sejam xe a variável que entra na base e xs a variável que sai. A próxima inversa da base pode ser calculada, a partir da inversa atual, fazendo-se a seguinte operação:
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Cálculo da inversa da base
B-1nova = E . B-1 Onde a matriz E é dada por E = (e1 , e2 , ... , es-1 , δ , es+1 , ... , em) e o vetor δ é formado da seguinte forma:
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Cálculo da inversa da base
- a1e/ ase - a2e/ ase : δ = 1/ ase - ame/ ase Onde aie são os coeficientes atualizados na iteração K da variável que está entrando na base, ou seja, da variável xe, e ase é o pivô.
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Cálculo da inversa da base
Assim, a matriz E é uma matriz identidade onde a coluna s foi substituída pelo vetor calculado acima. Através deste procedimento, as inversas das bases serão calculadas sucessivamente de uma forma computacionalmente simples.
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SIMPLEX Exemplo para explicação do algoritmo do método simplex revisado Max x1 + x Max x1 + x2 s.a: 2x1 + x2 ≤ s.a: 2x1+x2 + x3=2 x1 + 3x2 ≤ x1+3x2+x4=3 x1≥0 e x2≥ x1,x2,x3,x4≥0
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simplex x1 x2 x3 x4 b x ½ x E= -½ ½ x ½ ½ /5 0 x /2 -½ /5 0 0 ½ -½ /5 1
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simplex x /5 -1/5 3/5 x /5 2/5 4/5 /5 -1/5 -7/5
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simplex O mesmo exemplo sendo resolvido de forma matricial temos:
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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo1- solução básica inicial IB={3,4} INB={1,2} A= cBT = (0 0) xB = x3 cNT = (1 1) x4 xN = x1 N= B=B-1= b= x2
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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo2 – cNT- cBTB-1N=(1 1)-(0 0) =(1 1) Como existe cNi- cBTB-1Ni ≥ 0, então a solução ainda não é ótima. X1 entra na base
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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo3 – b’ = B-1b = = 2 Passo4 – N1 = B-1N1 = = 2 min{b’1/N1¹, b’2/N12}=min{2/2, 3/1}=1 X3 sai da base
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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo5 – Achar a nova solução Básica IB={1,4} INB={3,2} B= N= XB = x1 x4 xN = x3 cBT=(1 0) cNT=(0 1) x2
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Como a troca foi de x1 com x3, então em B os coeficientes que estão entrando na base são:
Como B-1nova = E . B-1 B-1nova = N1 O pivô
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Retornando ao Passo2.
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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
cNT- cBTB-1N=(0 1)-(1 0) ½ =(-½ ½) -½ x2 entra na base Passo3 – b’= B-1b = ½ = 1 -½
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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo4 – N² = B-1N²= ½ = ½ -½ /2 min{b’/N1², b’/N2²} min{1/(½), 2/(5/2)}=0,8 x4 sai da base
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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo5 – IB={1,2} INB={3,4} B= N= 1 0 xB = x1 xN = x3 x x4 cBT=(1 1) cNT=(0 0)
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Como a troca foi de x2 com x4, então em B os coeficientes que estão entrando na base são:
Como B-1nova = E . B-1 B-1nova = N2 O pivô
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Retornando ao Passo2.
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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
cNT- cBTB-1N=(0 0)-(1 1) 3/5 -1/ -1/5 2/ cNT- cBTB-1N =(-2/5 -1/5) Como não existe cNi- cBTB-1Ni ≥ 0, então a solução é ótima. Calcular xB e Z
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SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
xB = B-1b xB = 3/5 -1/ = 3/5 -1/5 2/ /5 Z=cBTB-1b= (1 1) 3/5 -1/5 2 -1/5 2/5 3 Z= (2/5 1/5) 2 = 7/5 3
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exercício Max Z = x1 + x2 S.a: 2x1 + x2 ≤ 2 6x1 + x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0
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Algoritmo Simplex Revisado
Inicialização: Determine uma partição para a matriz A dada por A=[B : N] e em conseqüência para cT=[cBT : cNT] e xT=[xBT:xNT], B-1 = B logica verdade Enquanto (logica) faça //teste de otimalidade// Se (cNT - cBTB-1Nj) < = 0 logicafalso Senão b’ B-1b N j B-1Nj Se Nij < = 0 i=1,...,m Escreva(“Saida p/ ilimitação”) halt Min{b’i / Nij tal que Nij > 0)} Atualize A, cT e xT E (e1, e2, ...,er-1, δ, er+1, ..., em) B-1 E.B-1 Fim se Fim enquanto xB B-1b Z cBT xB escreva (Z, xB) Fim
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