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CÁLCULO DA INVERSA DA BASE Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro - 2009.

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1 CÁLCULO DA INVERSA DA BASE Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro

2 O método simplex revisado não computa a inversa B -1 da base diretamente. A primeira base considerada é sempre uma matriz identidade: B = I B -1 = I A partir dessa base, as demais são calculadas por um procedimento computacional, que será mostrado a seguir. Cálculo da inversa da base

3 Seja uma matriz identidade representada por: I m = (e 1, e 2,..., e m ) Onde e i são vetores identidade, com o elemento 1 na linha i. Sejam x e a variável que entra na base e x s a variável que sai. A próxima inversa da base pode ser calculada, a partir da inversa atual, fazendo-se a seguinte operação:

4 Cálculo da inversa da base B -1 nova = E. B -1 Onde a matriz E é dada por E = (e 1, e 2,..., e s-1, δ, e s+1,..., e m ) e o vetor δ é formado da seguinte forma:

5 Cálculo da inversa da base - a 1e / a se - a 2e / a se : δ = 1/ a se : - a me / a se Onde a ie são os coeficientes atualizados na iteração K da variável que está entrando na base, ou seja, da variável x e, e a se é o pivô.

6 Cálculo da inversa da base Assim, a matriz E é uma matriz identidade onde a coluna s foi substituída pelo vetor calculado acima. Através deste procedimento, as inversas das bases serão calculadas sucessivamente de uma forma computacionalmente simples.

7 SIMPLEX Exemplo para explicação do algoritmo do método simplex revisado Max x 1 + x 2 s.a: 2x 1 + x 2 2 s.a: 2x 1 +x 2 + x 3 =2 x 1 + 3x 2 3 x 1 +3x 2 +x 4 =3 x 1 0 e x 2 0 x 1,x 2,x 3,x 4 0

8 simplex x1 x2 x3 x4 b x ½ 0 0 x E= -½ ½ 0 1 x1 1 ½ ½ /5 0 x4 0 5/2 -½ /5 0 0 ½ -½ /5 1

9 simplex x /5 -1/5 3/5 x /5 2/5 4/ /5 -1/5 -7/5

10 simplex O mesmo exemplo sendo resolvido de forma matricial temos:

11 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo1- solução básica inicial IB={3,4} INB={1,2} A= c B T = (0 0) x B = x c N T = (1 1) x 4 x N = x 1 N= 2 1 B=B -1 = 1 0 b= 2 x

12 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo2 – c N T - c B T B -1 N=(1 1)-(0 0) =(1 1) Como existe c Ni - c B T B -1 N i 0, então a solução ainda não é ótima. X 1 entra na base

13 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo3 – b = B -1 b = = Passo4 – N 1 = B -1 N 1 = = min {b 1 /N 1 ¹, b 2 /N 1 2 }= min {2/2, 3/1}=1 X 3 sai da base

14 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo5 – Achar a nova solução Básica IB={1,4} INB={3,2} B= 2 0 N= 1 1 X B = x x 4 x N = x 3 c B T =(1 0) c N T =(0 1) x 2

15 Como a troca foi de x 1 com x 3, então em B os coeficientes que estão entrando na base são: Como B -1 nova = E. B -1 B -1 nova = O pivôN1N1

16 Retornando ao Passo2.

17 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO c N T - c B T B -1 N =(0 1)-(1 0) ½ =(-½ ½) -½ x 2 entra na base Passo3 – b= B -1 b = ½ 0 2 = 1 -½ 1 3 2

18 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo4 – N ² = B -1 N ² = ½ 0 1 = ½ -½ 1 3 5/2 min {b/N 1 ², b/N 2 ²} min {1/(½), 2/(5/2)}=0,8 x 4 sai da base

19 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo5 – IB={1,2} INB={3,4} B= 2 1 N= x B = x 1 x N = x 3 x 2 x 4 c B T =(1 1) c N T =(0 0)

20 Como a troca foi de x 2 com x 4, então em B os coeficientes que estão entrando na base são: Como B -1 nova = E. B -1 B -1 nova = O pivô N2N2

21 Retornando ao Passo2.

22 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO c N T - c B T B -1 N=(0 0)-(1 1) 3/5 -1/ /5 2/5 0 1 c N T - c B T B -1 N =(-2/5 -1/5) Como não existe c Ni - c B T B -1 N i 0, então a solução é ótima. Calcular x B e Z

23 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO x B = B -1 b x B = 3/5 -1/5 2 = 3/5 -1/5 2/5 3 4/5 Z=c B T B -1 b= (1 1) 3/5 -1/5 2 -1/5 2/5 3 Z= (2/5 1/5) 2 = 7/5 3

24 exercício Max Z = x 1 + x 2 S.a: 2x 1 + x 2 2 6x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0

25 Algoritmo Simplex Revisado Inicialização: Determine uma partição para a matriz A dada por A=[B : N] e em conseqüência para c T =[c B T : c N T ] e x T =[x B T :x N T ], B -1 = B logica verdade Enquanto (logica) faça //teste de otimalidade// Se (c N T - c B T B -1 N j ) < = 0 logica falso Senão b B -1 b N j B -1 N j Se N i j < = 0 i=1,...,m Escreva(Saida p/ ilimitação) halt Senão Min{b i / N i j tal que N i j > 0)} Atualize A, c T e x T E (e 1, e 2,...,e r-1, δ, e r+1,..., e m ) B -1 E.B -1 Fim se Fim enquanto x B B -1 b Z c B T x B escreva (Z, x B ) Fim


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