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Problemas de Forma Não-padrão Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Setembro - 2009.

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Apresentação em tema: "Problemas de Forma Não-padrão Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Setembro - 2009."— Transcrição da apresentação:

1 Problemas de Forma Não-padrão Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Setembro

2 Introdução Nem todos os problemas de programação linear estão no formato padrão, isto é, são problemas de maximização com todas as restrições do tipo menor ou igual. Quando o formato não for o padrão, devemos utilizar diversos métodos antes de podermos utilizar o Simplex.

3 Função objetivo de Minimização Por exemplo: Quando tivermos um problemas em que todas as restrições são do tipo menor ou igual e a função-objetivo for de minimização, devemos alterar o problema como mostrado a seguir.

4 Função objetivo de Minimização Min Z = 3x 1 - 5x 2 Sujeito a: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0 e x 2 0 Max -Z = -3x 1 + 5x 2 Sujeito a: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0 e x 2 0

5 Função objetivo de Minimização Esta modificação se baseia no fato de a igualdade Min Z = Max –Z ser sempre válida (quando a solução ótima existir).

6 Restrição do tipo maior ou igual Nem sempre as modificações são tão simples quanto a anterior. Considere o problema a seguir de maximização simples em que uma das restrições é do tipo maior ou igual. Max Z = 3x 1 - 5x 2 Sujeito a: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0 e x 2 0

7 Restrição do tipo maior ou igual Toda vez que o sinal da restrição for do tipo maior ou igual, definimos uma variável que, em vez de representar a folga, representará o excesso. Max Z = 3x 1 - 5x 2 Sujeito a: x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 – x 5 = 18 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0

8 Restrição do tipo maior ou igual A primeira solução para o problema anterior será: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 4, x 4 = 12, x 5 = -18 Note que o valor de x 5 nesta solução fere a restrição do problema que obriga x 5 a ser maior ou igual a zero; portanto a solução associada é uma solução do problema, porém esta solução não é viável.

9 A maneira de se resolver este e outros problemas em que achar a solução inicial viável não é trivial envolve a utilização de métodos tais como o Big M e Função Objetivo Artificial. Ambos os métodos se baseiam na introdução de variáveis artificiais (que não existem no problema) para facilitar o descobrimento da solução inicial. Restrição do tipo maior ou igual

10 Vamos utilizar o problema a seguir para entendermos o funcionamento do método. Max Z = x 1 - x 2 + x 3 s.a: 2x 1 - x 2 + 2x 3 4 2x 1 - 3x 2 + x x 1 + x 2 - 2x 3 -1 x 1, x 2, x 3 0 Método da Função Objetivo Artificial

11 A primeira solução encontrada será: x 1, x 2, x 3 = 0 x 4 = 4, x 5 = -5, x 3 = -1 Esta solução não é viável então precisamos de um problema artificial Método da Função Objetivo Artificial

12 Min x 0 s.a: 2x 1 - x 2 + 2x 3 - x 0 4 2x 1 - 3x 2 + x 3 - x x 1 + x 2 - 2x 3 - x 0 -1 x 0, x 1, x 2, x 3 0 Max -x 0 s.a: 2x 1 - x 2 + 2x 3 - x 0 4 2x 1 - 3x 2 + x 3 - x x 1 + x 2 - 2x 3 - x 0 -1 x 0, x 1, x 2, x 3 0 Método da Função Objetivo Artificial

13 Max -x 0 s.a: 2x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 - x 0 = 4 2x 1 - 3x 2 + x 3 + x 5 - x 0 = -5 -x 1 + x 2 - 2x 3 + x 6 - x 0 = -1 x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Método da Função Objetivo Artificial

14 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x x Função objetivo original x 4 - x 0 = 4 x 4 = 4 + x 0 x x 0 0 x 0 -4 x 5 - x 0 = -5 x 5 = -5 + x 0 x x 0 0 x 0 5 x 6 - x 0 = -1 x 6 = -1 + x 0 x x 0 0 x 0 1 Max {-4, 5, 1} Escolhemos x 0 para se tornar dependente, mesmo ela sendo negativa na função objetivo

15 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x x Método da Função Objetivo Artificial A função objetivo é igual a -5, mas agora temos uma solução básica viável

16 Método da Função Objetivo Artificial x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x 4 3/2 0 5/2 1 -1/2 -1/2 0 7 x 0 1/4 0 5/4 0 -1/4 -3/4 1 2 x 2 -3/4 1 -3/4 0 -1/4 1/ /4 0 5/4 0 -1/4 -3/ /4 0 1/4 0 -1/4 1/4 0 1

17 Método da Função Objetivo Artificial x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x 3 1/ /5 -3/5 4/5 8/5 x 2 -3/ /5 -1/5 3/5 11/ / /5 2/5 -1/5 3/5

18 Método da Função Objetivo Artificial O fato de não existir mais nenhum coeficiente positivo na função objetivo do problema artificial é porque atingimos a solução ótima do problema artificial. Tanto a função objetivo como a variável artificial assumiram o valor zero na solução ótima, portanto existe uma solução viável para o nosso problema original

19 Devemos portanto a partir do quadro final da primeira fase gerar o primeiro quadro para a segunda fase, isto é, encontrar a solução ótima para o problema original. Primeiramente devemos retirar a coluna referente à variável artificial, já que ela não existe no problema original e foi introduzida apenas para podermos encontrar uma solução viável inicial do problema original. Método da Função Objetivo Artificial

20 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x x 3 1/ /5 -3/5 8/5 x 2 -3/ /5 -1/5 11/5 1/ /5 2/5 3/5

21 Método da Função Objetivo Artificial x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x x 3 4/ /5 2/5 0 17/5 x 2 -2/ /5 -2/5 0 14/5 -1/ /5 -1/5 0 -3/5

22 Resolva o problema abaixo: Min Z = x 1 + x 2 s.a: 2x 1 + x 2 2 x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Método da Função Objetivo Artificial


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