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1 Restrições Não-Estritas / Variáveis Arbitrárias Se algumas das variáveis das restrições iniciais podem tomar valores reais/racionais arbitrários, tal.

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1 1 Restrições Não-Estritas / Variáveis Arbitrárias Se algumas das variáveis das restrições iniciais podem tomar valores reais/racionais arbitrários, tal como no caso anterior, substituem-se todas as desigualdades por igualdades com variáveis de desvio não negativas. Desta forma, um sistema de m restrições lineares com n variáveis é transformado num sistema de m equações a m+n variáveis. Algumas variáveis podem tomar um valor real arbitrário, enquanto outras (as variáveis de desvio e eventualmente algumas variáveis de decisão) só podem tomar valores não negativos. Para as distinguir, vamos renomear essas variáveis como Z e S, em número de z e s, respectivamente (z + s = m + n)

2 2 Restrições Não-Estritas / Variáveis Arbitrárias Se o número de variáveis reais não fôr inferior ao número de restrições (z m), (e sendo assumido que os coeficientes das variáveis das restrições são linearmente independentes, como será sempre assumido), o sistema é sempre possível. Com efeito, é sempre possível reescrever as equações isolando m variáveis arbitrárias (as variáveis básicas-Z; sem perda de generalidade, consideramos serem Z 1 a Z m,) Z i = c i +p i,m+1 Z m p i,z Z z + q i1 X q i,s X s Como as Z i são arbitrárias, uma solução é Z i = c i para i: 1..m Z i = 0 para i: m+1..z S i = 0 para i: 1..s

3 3 Restrições Não-Estritas / Variáveis Arbitrárias Havendo mais restrições m do que as z variáveis reais, podemos isolar os Z i em z das m restrições, obtendo Z i = c i + q i,1 S q i,s S s para i: 1..m Quaisquer que sejam os s i, não negativos, atribuídos às variáveis S i, estas restrições são satisfeitas já que é possível atribuir valores arbitrários às variáveis Z i. As restantes restrições constituem um conjunto de m-z equações a m-z+n variáveis não negativas. Como visto anteriormente, estas restrições são satisfazíveis sse se puderem reescrever na forma resolvida SF0. Assim, quando as restrições não estritas envolvem variáveis arbitrárias, pode definir-se uma forma resolvida SF1 por extensão de SF0.

4 4 Forma Resolvida SF1 (Igualdades) Definição: Um sistema de restrições de igualdade está na forma resolvida SF1 se as suas restrições se dividirem em dois conjuntos E a e E s definidos como: Se z m, E s é vazio e E a constituído por m equações Z i = d i +p i,m+1 Z m p i,z Z z +q i,1 S q i,s S s sendo as variáveis do lado esquerdo as variáveis básicas-Z, e todas as outras variáveis não básicas. Se z < m o conjunto E s é constituido por m-z equações S i = c i +r i,m-z+1 S m-z r i,s S s com c i 0 para i:1.. m-z em que as variáveis no lado esquerdo são variáveis básicas-S e as outras não básicas-S. E a é constituido por z equações Z i = d i +r i,m-z+1 S m-z r i,s S s em que as variáveis básicas-Z são definidas exclusivamente em função de variáveis não básicas-S.

5 5 Forma Resolvida SF1 (Igualdades) Exemplo: X2 X3 = 0 X5 = 0 X4 = 0 Eliminando-se o requisito de não negatividade de X1 e X2 as restrições admitem como forma resolvida SF1 X1 = 5 - X3 - X4 X2 = -2 + X3 + 2 X4 X5 = X3 - 3 X4 Ea:Ea: Es:Es: 2 X1 + X2 8 X1 + X2 3 X1 - X X1 + X2 + X3 = 8 X1 + X2 - X4 = 3 X1 - X2 - X5 = -5

6 6 Forma Resolvida SF1 (Igualdades) Teorema: Um sistema de m equações a m+n variáveis arbitrárias e/ou não negativas é satisfazível sse puder rescrever na forma SF1. Demonstração: Se um sistema se pode escrever na forma SF1 então é satisfazível Trivial. Anulando as variáveis não básicas obtem-se uma solução Se um sistema é satisfazível pode escrever-se na forma SF1. Escolham-se arbitrariamente as variáveis básicas-Z. Se z m, as m equações constituem o sistema E a (sendo E s vazio). Se z < m, então considerem-se z equações para formar E a. Nas restantes equações eliminando-se as variáveis arbitrárias (segundo E a ), obtem-se um sistema apenas em variáveis não-negativas. Se fôr satisfazível pode ser colocado na forma SF0, e corresponde ao conjunto E s.

7 7 Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias Se o conjunto de restrições envolver restrições estritas ( e ) é possível reescrever estas restrições em termos não só de igualdades mas também de desigualdades como indicado abaixo (em que os s i 0). a i1 X a in X n b i a i1 X a in X n + S i = b i a i1 X a in X n < b i a i1 X a in X n + S i = b i a i1 X a in X n b i a i1 X a in X n b i a i1 X a in X n - S i = b i a i1 X a in X n > b i a i1 X a in X n - S i = b i a i1 X a in X n b i Obtém-se desta forma um sistema de equações (=) e de disequações (), em que algumas (eventualmente todas as) variáveis são não negativas.

8 8 Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias As disequações são satisfazíveis sempre que as suas variáveis não sejam fixas (constantes). A conversão na forma resolvida SF1 permite verificar que o conjunto de equações é satisfazível, e definir as variáveis básicas em termos das variáveis não básicas. Em geral, as variáveis não-básicas aparecem no lado direito das equações de E a e E s, e podem tomar vários valores. Escrevendo as disequações exclusivamente em função das variáveis não básicas, elas serão satisfazíveis se contiverem pelo menos uma variável não básica. Assim, devemos concentrar-nos nas equações, e verificar se elas impõem ou não a fixação de variáveis não básicas.

9 9 Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias Caso z m: Não havendo mais restrições que variáveis arbitrárias, basta escolher m variáveis arbitrárias para básicas, obtendo-se assim um conjunto E s vazio e E a constituído por m equações Z i = d i +p i,m+1 Z m p i,z Z z +q i,1 S q i,s S s Quaisquer valores arbitrários das variáveis não básicas-Z ( Z i com i: m+1.. z) e não-negativos das variáveis não básicas-S ( s j com j: 1.. s), conduzem a valores das variáveis básicas-Z dentro do seu domínio (arbitrário). Donde, se z m, as variáveis não básicas não são fixadas e as disequações são sempre satisfazíveis.

10 10 Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias Caso z < m: Neste caso todas as variáveis arbitrárias são básicas, originando um conjunto E a é constituido por z equações Z i = d i +r i,m-z+1 S m-z r i,s S s Uma vez obtido E a, continuam a existir m-z equações nas variáveis não-negativas. Assim, a análise da fixação de variáveis é análoga ao caso em que não há variáveis arbitrárias. Para simplificar a notação, vamos estudar o caso de um sistema de m equações a m+n variáveis não negativas.

11 11 Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias Consideremos pois um conjunto E s constituido por S i = c i +r i,m+1 S m r i,m+n S m+n c i 0 ( i:1.. m) No conjunto E s há que verificar se além dos valores nulos das variáveis não básicas-S S j (j: 1.. n), existem outros valores que não tornem negativas as variáveis básicas-S. Se todos os c i forem positivos, existem vizinhanças ε j de 0 para as variáveis não básicas-S que mantêm as variáveis básicas-S não negativas. Assim se todos os c i forem positivos não há variáveis não básicas-S (nem básicas-S) fixadas e, se existirem, as disequações existentes são satisfazíveis.

12 12 Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias Se alguns c i forem nulos, não há garantia de haver essas vizinhanças. Um exemplo permite clarificar este ponto. Exemplo: Verificar que, para S 1 e S 2 não negativos, são insatisfazíveis as restrições S 1 - S 2 0 ; S 1 - S 2 0 e S 1 - S 2 0 Reescrevendo as restrições como equações, obtem-se S 1 -S 2 +S 3 = 0 ; S 1 -S 2 -S 4 = 0 e S 1 - S 2 0 Escolhendo variáveis básicas-S, S 3 e S 4,, a forma SF1 é S 3 = -S 1 +S 2 e S 4 = S 1 -S 2 com a desigualdade S 1 -S 2 0 escrita em função das variáveis (S 1 e S 2 ) não básicas-S,.

13 13 Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias Aparentemente o sistema é satisfazível, pois foi possível escrever as equações na forma SF1 e colocar a disequação em termos das variáveis não básicas-S. No entanto, uma análise mais cuidada permite verificar que as variáveis S 1 e S 2 têm um valor fixo de 0, o que torna impossível a disequação. Com efeito, somando as duas equações de E s, S 3 = -S 1 +S 2 e S 4 = S 1 -S 2 obteríamos S 3 + S 4 = 0. Sendo S 3 e S 4 variáveis não negativas, ambas devem ser nulas.

14 14 Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias Escolhendo outra combinação de variáveis básicas-S (S 1, S 3 e S 4 ) poderíamos ter reescrito a forma SF1 como S 1 = S 2 ;S 3 = 0 e S 4 = 0 Eliminando a variável básica S 1, da disequação S 1 - S obtemos S 2 - S que se simplifica para a desigualdade trivial 0... o que torna evidente a insatisfazibilidade da restrição de desigualdade.

15 15 Restrições Estritas / Variáveis Arbitrárias Analisando a razão pela qual a fixação de variáveis não foi detectada na primeira forma SF1, pode constatar-se que o problema reside na utilização de uma expressão -S 1 +S 2 e da sua simétrica S 1 - S 2 no lado direito de equações do conjunto E s da forma SF1 em que os termos independentes eram nulos. S 3 = -S 1 +S 2 e S 4 = S 1 -S 2 É para impedir estas situações que se define a forma SF2 (para o caso m > z) com uma condição adicional em relação à forma SF1.

16 16 Forma Resolvida SF2 (Restrições) Definição SF2: Um sistema m restrições = e, com z variáveis arbitrárias (z < m) e s+t (s = m-z) variáveis não negativas está na forma resolvida SF2 se as suas restrições se dividirem nos seguintes conjuntos, E a,E s, D: D: O conjunto D é constituido por desigualdades do tipo r i,1 T r i,t T t a i sendo um dos termos r i,t não nulo. As t variáveis Tj são as variáveis não básicas-S. E a : O conjunto E a é constituido por z igualdades Z i = d i + p i,1 T p i,t T t Sendo as variáveis arbitrárias Z i,variáveis básicas-Z.

17 17 Forma Resolvida SF2 (Restrições) Definição SF2 (cont.): E s : O conjunto E s é constituido por s = m-z igualdades do tipo S i = c i +q i,1 T q i,t T t com c i 0 para i:1..s em que as variáveis S i e T j, respectivamente básicas-S e não básicas-S, são variáveis não negativas. Para as variáveis T j, não básicas-S, define-se uma ordem arbitrária pela qual elas devem ser escritas nas igualdades. Nestas igualdades, ou o termo c i é positivo ou, sendo c i =0, o primeiro coeficiente r i,j não nulo deve ser positivo.

18 18 Forma Resolvida SF2 (Restrições) As condições impostas no conjunto E s garantem que qualquer variável não negativa que deva tomar valores fixos é considerada como variável básica-S na forma SF2, permitindo explicitar as variáveis fixas. Teorema: A forma resolvida SF2 detecta as variáveis fixas, como variáveis básicas-S. Demonstração: Basta provar que nenhuma variável não básica-S é fixa (a 0), i.e. dadas as igualdades de E s S i = c i +q i,1 T q i,t T t com c i 0 para i:1..s existirão, para além da solução S i = c i e T j = 0, soluções S i = c i +q i,1 ε q i,t ε t e T j = ε j com ε j > 0 para j: 1..t

19 19 Forma Resolvida SF2 (Restrições) Consideremos a seguinte partição das igualdades de E s E s = R 0 R 1... R t em que a R 0 pertencem todas as restrições com c k > 0, e a R j (para j>0 ) pertencem todas as restrições em que o primeiro coeficiente não nulo (donde, positivo) é r j,k. Para E s = R 0 uma solução T j > 0 é obtida fazendo T j = ε, sendo ε qualquer valor que satisfaça as condições (|q i,1 | +...+|q i,t |) ε c i para todo o i Indices(R 0 ) ou seja 0 < ε min i (c i )/max i (|q i,1 |+...+|q i,t |) para i Indices(R 0 )

20 20 Forma Resolvida SF2 (Restrições) Considere-se agora o caso em que E s = R 0 R 1. Neste caso pode construir-se uma solução T > 0 da seguinte forma. Primeiro obtém-se um valor ε 1 tal que (|q i,1 | ε 1 < c i para todo o i Indices(R 0 ) garantindo-se que c k +q k,1 ε 1 é sempre positivo, qualquer que seja a igualdade de E s. As outras variáveis T j (j > 1) podem assim tomar qualquer valor ε, positivo, tal que 0 < ε min i (c i +q i,1 ε)/max i (|q i,2 |+...+|q i,t |) para todo o i Indices(R 0 R 1 )

21 21 Forma Resolvida SF2 (Restrições) A situação em que E s = R 0 R 1 R 2 pode ser tratada de forma semelhante. Primeiro obtem-se um valor ε 1 tal que (|q i,1 | ε 1 < c i para todo o i Indices(R 0 ) Em seguida obtém-se um valor ε 2 tal que |q i,1 |ε 2 c i + q i,1 ε 1 para todo o i Indices(R 0 R 1 ) garantindo-se c k +q k,1 ε 1 +q k,2 ε 2 > 0 qualquer que seja a igualdade de E s. As outras variáveis T j (j > 2) podem tomar qualquer valor ε, tal que 0 < ε min i (c i +q i,1 ε 1 +q i,2 ε 2 )/max i (|q i,3 |+...+|q i,t |) para todo o i Indices(R 0 R 1 R 2 )

22 22 Forma Resolvida SF2 (Restrições) Este procedimento pode generalizar-se até ao caso em que E s = R 0 R 1... R k com k < t em que os valores ε j (j k) para as variáveis T j são obtidas como neste ultimo caso, garantido que p i = c i +q i,1 ε q i,t-1 ε t-1 > 0 para todo o i Indices(E s ) As outras variáveis T l (j > k) podem tomar qualquer valor ε, positivo, tal que ε min i (p i )/ max i (|q i,k+1 |+...+|q i,t |) para i Indices(E s ) o que conclui a demonstração de que a forma resolvida SF2 não esconde variáveis fixas, e torna-as explícitas como igualdades s i = K i.

23 23 Passagem à Forma Resolvida SF2 A conversão de um conjunto de restrições lineares na forma SF2, de uma forma incremental, é explicada através de um exemplo. R1: -X 1 + 3X 2 9 R2: X 1 + X 2 11 R3: 2X 1 + X 2 18 R4: 2X 1 - X 2 2 X 1,X 2 0

24 24 Cada restrição é introduzida resolvendo em ordem à variável de desvio. No caso de restrições nada mais é necessário fazer. R1: -X 1 + 3X 2 9 -X 1 + 3X 2 + S 1 = 9 S 1 = 9 + X 1 - 3X 2 R2: X 1 + X 2 11 X 1 + X 2 + S 2 = 11 S 2 = 11 - X 1 - X 2 R3: 2X 1 + X X 1 + X 2 + S 3 = 18 S 3 = X 1 - X 2 O vértice definido implicitamente é a origem. Passagem à Forma Resolvida SF2

25 25 No caso de restrições a origem não pertence à região admissível, pelo que há que fazer uma mudança de base. S 1 = 9 + X 1 - 3X 2 S 2 = 11 - X 1 - X 2 S 3 = X 1 - X 2 R4: 2X 1 - X 2 2 2X 1 - X 2 - S 4 = 2 S 4 = X 1 - X 2 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Donde S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Passagem à Forma Resolvida SF2

26 26 Em geral a mudança de base pode fazer-se de uma forma sistemática por minimização de uma variável artificial (1ª fase do método de 2 fases do SIMPLEX). Exemplo: R5: X 1 + 2X 2 12 Z 5 = 12 - X 1 - 2X 2 Z 5 = X 2 /2 - S 4 /2 Agora há que minimizar Z 5, através de sucessivas mudanças de base. Passagem à Forma Resolvida SF2 S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2

27 27 Passagem à Forma Resolvida SF2 Min Z 5 S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Z 5 = X 2 /2 - S 4 /2 Como Z 5 / X 2 = -5/2 e Z 5 / S 4 = -1/2 existe um maior decréscimo de Z 5 com X 2, pelo que X 2 entra na base. Por outro lado, como S 1 = 0 = X 2 /2 => X 2 = 4 S 2 = 0 = X 2 /2 => X 2 = 20/3 (6.666) S 3 = 0 = X 2 => X 2 = 8 X 1 = 0 = 1 + X 2 /2 => X 2 = -2 Z 5 = 0 = X 2 /2 => X 2 = 22/5 (4.400 ) a variável S 1 sai da base, já que é a primeira variável a anular-se para valores crescentes de X 2.

28 28 Passagem à Forma Resolvida SF2 Por entrada na base de X 2, por troca com S 1, S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Z 5 = X 2 /2 - S 4 /2 converte-se em X 2 = 4 - 2S 1 /5 + S 4 /5 S 2 = 4 + 3S 1 /5 - 4S 4 /5 S 3 = 8 + 4S 1 /5 - 7S 4 /5 X 1 = 3 - S 1 /5 + 3S 4 /2 Z 5 = 1 + S 1 - S 4 Continuando a minimização de Z 5, e pelo raciocínio anterior, S 4 entra da base, por troca com Z 5. Passagem à Forma Resolvida SF2

29 29 Passagem à Forma Resolvida SF2 Tendo-se anulado a variável artificial Z 5, o sistema pode reescrever-se substituindo essa variável pela variável de desvio S 5 = -Z 5. Assim, por entrada na base de S 4, por troca com -S 5, X 2 = 4 - 2S 1 /5 + S 4 /5 S 2 = 4 + 3S 1 /5 - 4S 4 /5 S 3 = 8 + 4S 1 /5 - 7S 4 /5 X 1 = 3 - S 1 /5 + 3S 4 /2 Z 5 = 1 + S 1 - S 4 converte-se na forma SF2 X 2 = 21/5 - S 1 /5 + S 5 /5 S 2 = 16/5 - S 1 /5 - 4S 5 /5 S 3 = 33/5 - 3S 1 /5 - 7S 5 /5 X 1 = 18/5 + 2S 1 /5 + 3S 5 /5 S 4 = 1 + S 1 + S 5

30 30 Se houver lugar à fixação de variáveis, esta é detectada na conversão para a forma SF2. Esta fixação é ilustrada no seguinte exemplo. Dadas as 4 primeiras restrições S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Adicionar a nova restrição: R6: X 1 + 2X 2 16 Z 6 = 16 - X 1 - 2X 2 Z 6 = X 2 /2 - S 4 /2 Tal como anteriormente, há que minimizar Z 6, através de sucessivas mudanças de base. Variáveis Fixas em SF2

31 31 Variáveis Fixas em SF2 Min Z 6 S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Z 6 = X 2 /2 - S 4 /2 Como anteriormente, Z 5 / X 2 = -5/2 e Z 5 / S 4 = -1/2, pelo que existe um maior decréscimo de Z 5 com X 2, e X 2 entra na base. Igualmente, S 1 = 0 = X 2 /2 => X 2 = 4 S 2 = 0 = X 2 /2 => X 2 = 20/3 (6.666) S 3 = 0 = X 2 => X 2 = 8 X 1 = 0 = 1 + X 2 /2 => X 2 = -2 Z 6 = 0 = X 2 /2 => X 2 = 6 Sendo igualmente a variável S 1 a sair da base.

32 32 Por entrada na base de X 2, por troca com S 1, S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Z 6 = X 2 /2 - S 4 /2 converte-se em X 2 = 4 - 2S 1 /5 + S 4 /5 S 2 = 4 + 3S 1 /5 - 4S 4 /5 S 3 = 8 + 4S 1 /5 - 7S 4 /5 X 1 = 3 - S 1 /5 + 3S 4 /5 Z 6 = 5 + S 1 - S 4 Na minimização de Z 6, agora S 4 entra da base, por troca ou com Z 6 ou com S 2 ! Variáveis Fixas em SF2

33 33 Variáveis Fixas em SF2 Com efeito, pretendendo-se obter o Min Z 6 X 2 = 4 - 2S 1 /5 + S 4 /5 S 2 = 4 + 3S 1 /5 - 4S 4 /5 S 3 = 8 + 4S 1 /5 - 7S 4 /5 X 1 = 3 - S 1 /5 + 3S 4 /5 Z 6 = 5 + S 1 - S 4 S 4 entra na base, e portanto deve verificar-se X 2 = 0 = 4 + S 4 /5 => S 4 =-20 S 2 = 0 = 4 - 4S 4 /5 => S 4 = 5 S 3 = 0 = 8 - 7S 4 /5 => S 4 = 40/7 (5.714) X 1 = 0 = 3 + 3S 4 /5 => S 4 = -5 Z 6 = 0 = 5 - S 4 => S 4 = 5 Pelo que quer Z 6 quer S 2 se anulam para S 4 = 5.

34 34 Variáveis Fixas em SF2 Escolhendo S2 para sair da base, por troca com S 4, X 2 = 4 - 2S 1 /5 + S 4 /5 S 2 = 4 + 3S 1 /5 - 4S 4 /5 S 3 = 8 + 4S 1 /5 - 7S 4 /5 X 1 = 3 - S 1 /5 + 3S 4 /5 Z 6 = 5 + S 1 - S 4 converte-se em X 2 = 5 - S 1 /4 - S 2 /4 S 4 = 5 + 3S 1 /4 - 5S 2 /4 S 3 = 1 - S 1 /4 - 7S 2 /4 X 1 = 6 + S 1 /4 - 3S 2 /4 Z 6 = 0 + S 1 /4 + 5S 2 /4 Tendo Z6 o valor 0, pode ser substituído por -S6. Mas a restrição S 6 = 0-S 1 /4-5S 2 /4 não está na forma SF2!

35 35 Variáveis Fixas em SF2 Mas reescrevendo a restrição S 6 = 0-S 1 /4-5S 2 /4 como S 1 + 5S S 6 = 0 Verifica-se que deve ser S 1 = S 2 = S 6 = 0 Convertendo-se... X 2 = 5 - S 1 /4 - S 2 /4 S 4 = 5 + 3S 1 /4 - 5S 2 /4 S 3 = 1 - S 1 /4 - 7S 2 /4 X 1 = 6 + S 1 /4 - 3S 2 /4 S 6 = 0 - S 1 /4 - 5S 2 /4... na forma SF2, evidenciando-se a fixação de variáveis S 1 = S 2 = S 6 = 0 X 1 = 6 X 2 = 5 S 4 = 5S 3 = 1

36 36 Sistemas Impossíveis Se o conjunto de restrições fôr insatisfazível, esta situação é igualmente detectada na conversão para a forma SF2, sendo esta feita de uma forma incremental, como ilustrado no seguinte exemplo. Dadas as 4 primeiras restrições, S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 adicionar a nova restrição: R7: X 1 + 2X 2 18 Z 6 7 Z 7 = X 2 /2 - S 4 /2 Como anteriormente, há que minimizar Z 7.

37 37 Sistemas Impossíveis Min Z 7 S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Z 7 = X 2 /2 - S 4 /2 Como anteriormente, Z 7 / X 2 = -5/2 e Z 7 / S 4 = -1/2, pelo que existe um maior decréscimo de Z 7 com X 2, e X 2 entra na base. Igualmente, S 1 = 0 = X 2 /2 => X 2 = 4 S 2 = 0 = X 2 /2 => X 2 = 20/3 (6.666) S 3 = 0 = X 2 => X 2 = 8 X 1 = 0 = 1 + X 2 /2 => X 2 = -2 Z 7 = 0 = X 2 /2 => X 2 = 34/5 (6.800) Continuando a ser a variável S 1 a sair da base.

38 38 Por entrada na base de X 2, por troca com S 1, S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Z 7 = X 2 /2 - S 4 /2 converte-se em X 2 = 4 - 2S 1 /5 + S 4 /5 S 2 = 4 + 3S 1 /5 - 4S 4 /5 S 3 = 8 + 4S 1 /5 - 7S 4 /5 X 1 = 3 - S 1 /5 + 3S 4 /5 Z 7 = 7 + S 1 - S 4 Na minimização de Z 7, agora S 4 entra da base, por troca com S 2 ! Sistemas Impossíveis

39 39 Sistemas Impossíveis Com efeito, pretendendo-se obter o Min Z 7 X 2 = 4 - 2S 1 /5 + S 4 /5 S 2 = 4 + 3S 1 /5 - 4S 4 /5 S 3 = 8 + 4S 1 /5 - 7S 4 /5 X 1 = 3 - S 1 /5 + 3S 4 /5 Z 7 = 7 + S 1 - S 4 S 4 entra na base, e portanto deve verificar-se X 2 = 0 = 4 + S 4 /5 => S 4 =-20 S 2 = 0 = 4 - 4S 4 /5 => S 4 = 5 S 3 = 0 = 8 - 7S 4 /5 => S 4 = 40/7 (5.714) X 1 = 0 = 3 + 3S 4 /5 => S 4 = -5 Z 7 = 0 = 5 - S 4 => S 4 = 7 Pelo que quer S 2 é o primeiro a anular-se para valores crescentes de S 4 (para S 4 = 5).

40 40 Sistemas Impossíveis Saindo S2 da base, por troca com S 4, X 2 = 4 - 2S 1 /5 + S 4 /5 S 2 = 4 + 3S 1 /5 - 4S 4 /5 S 3 = 8 + 4S 1 /5 - 7S 4 /5 X 1 = 3 - S 1 /5 + 3S 4 /5 Z 7 = 7 + S 1 - S 4 converte-se em X 2 = 5 - S 1 /4 - S 2 /4 S 4 = 5 + 3S 1 /4 - 5S 2 /4 S 3 = 1 - S 1 /4 - 7S 2 /4 X 1 = 6 + S 1 /4 - 3S 2 /4 Z 7 = 2 + S 1 /4 + 5S 2 /4 Reescrevendo-a como S 1 + 5S 2 +4 S 7 = -8 esta última restrição, não só mostra que Z 7 não pode tomar o valor 0, como que é insatisfazível!

41 41 Sistemas Impossíveis A conversão na forma SF2 permite ainda detectar Conjuntos Mínimos de Restrições Insatisfazíveis (Irreducible Impossible Sets). Estes conjuntos são identificados pelas suas variáveis de desvio que podem ser vistas como testemunhas. Exemplo: S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 -X 1 +2X X 1 +2X 2 -S 8 = 10 X 2 = 22/3 + S 4 /3 +2S 8 /3

42 42 Sistemas Impossíveis Substituindo no sistema abaixo X 2 = 22/3 + S 4 /3 +2S 8 /3 S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 obtemos, S 1 = -25/3 - S 4 /3 - 5S 8 /3 que pode ser reescrito como 3S 1 + S 4 + 5S 8 = -25 O que mostra que não só o sistema inicial é impossível, mas que existe um conjunto mínimo de restrições incompatíveis constituído pelas restrições R 1, R 4 e R 8.

43 43 Sistemas Impossíveis Os conjuntos IIS não são únicos. Substituindo no sistema abaixo X 2 = 22/3 + S 4 /3 +2S 8 /3 S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 Obteríamos igualmente, S 2 = -1 - S 4 - S 8 que pode ser reescrito como S 2 + S 4 + S 8 = -1 o que identifica outro conjunto mínimo de restrições incompatíveis constituído pelas restrições R 2, R 4 e R 8.

44 44 Sistemas Impossíveis Outros conjuntos IIS podem permanecer escondidos na conversão para a forma SF2. A restrição obtida anteriormente S 1 = -25/3 - S 4 /3 - 5S 8 /3 pode reescrever-se como S 4 = S 1 - 5S 8 que, com as anteriores, X 2 = 22/3 + S 4 /3 +2S 8 /3 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 origina X 1 = S 1 - 3S 8 ou X 1 + 2S 1 + 3S 8 = -12, revelando ainda outro conjunto mínimo constituído pelas restrições R 1, R 8 e X 1 (>= 0).

45 45 Sistemas Impossíveis Igualmente das restrições X 2 = 22/3 + S 4 /3 +2S 8 /3 S 4 = S 1 - 5S 8 obtem-se, com as anteriores, X 2 = 1 - S 1 - S 8 ou seja X 2 + S 1 + S 8 = 1, revelando outro conjunto mínimo constituído pelas restrições R 1, R 8 e X 2 >0. (De notar que a determinação de todos os conjuntos mínimos é um problema NP-hard).

46 46 Restrições Redundantes É fácil de mostrar que, dado um conjunto de restrições satisfazíveis, se uma restrição a i X i > K ou a i X i - S i = K é impossível, então a restrição a i X i < K ou a i X i + S r = K é redundante ( a igualdade a i X i + S r = K pode ser analisada facilmente) Das equações anteriores tira-se Sr + Si = 0. Se se obtiver uma condição de impossibilidade S i + p j V j = - C então a condição de redundância é S r = C + p j V j

47 47 Restrições Redundantes Exemplo: Dadas as restrições S 1 = X 2 /2 + S 4 /2 S 2 = X 2 /2 - S 4 /2 S 3 = X 2 - S 4 X 1 = 1 + X 2 /2 + S 4 /2 a restrição -X 1 +2X X 1 +2X 2 +S 9 = 10 é redundante. Das equações acima tira-se S 1 = -25/3 - S 4 /3 + 5S 9 /3 S 9 = 5 + 3S 1 /5 + S 4 /5 Pelo que a última restrição é redundante face a R1 e R4


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