A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Copiado do site Departamento Matemática da Universidade de Aveiron Profa. Marli.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Copiado do site Departamento Matemática da Universidade de Aveiron Profa. Marli."— Transcrição da apresentação:

1 Copiado do site Departamento Matemática da Universidade de Aveiron Profa. Marli

2 II. Programação Linear (PL) Capítulo 7.2: Resolução do Problema de Transporte (PT). Obtenção de uma SBA inicial. Método do canto N-W; Método do mínimo da matriz de custos; Método de Vogel. Obtenção da solução óptima. Método de Dantzig.

3 Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Uns dos principais produtos da firma Lactosal é o leite. Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricas e depois são distribuídos de camião para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se: OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE.

4 24 cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas Custo por carga de camião Armazéns Fábricas1234Oferta Procura4767 Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica- armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de camião/dia, são os seguintes:

5 Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total Quadro do Problema de Transporte

6 A SBA verifica o critério de optimalidade? Obtenção de uma SBA inicial FIM !!! a solução é óptima Mover-se para uma SBA "melhor" Sim Não Algoritmo para a resolução do PT.

7 Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial Método do Canto Noroeste A variável básica escolhida é, em cada quadro,a variável situada no canto superior esquerdo (daqui o nome do canto do NW). A primeira variável básica escolhida será sempre x 11, depois consoante tenha sido traçada a coluna 1 ou a linha 1, será escolhida como variável básica x 12 ou x 21 respectivamente, e assim sucessivamente até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas. Este método é de aplicação muito fácil, mas tem como grande inconveniente o facto de não considerar os custos na identificação da SBA inicial.

8 º 1º. x 11 = min (4,6 )= 4 2 2º 2º. x 12 = min (7,2 )= 2 3º 3º. x 22 = min (5,8 )= 5 5 4º 4º. x 23 = min (6,3 )= º 5º. x 33 = min (3,10 )= 3 6º 6º. x 34 = min (7,7 )= 7 4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 SBA inicial: X 0 = ( 4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) ; z 0 = 42 Exemplo Protótipo. Método do Canto Noroeste

9 Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial Método do Mínimo da Matriz dos Custos. A variável básica escolhida é a variável que corresponde ao menor custo(em caso de empate a escolha é arbitrária). A primeira variável básica escolhida será sempre a de menor custo, depois será escolhida como variável básica a de menor custo no quadro resultante consoante o que foi traçado, e assim sucessivamente, até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas. Este método, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução óptima que o método anterior, já que são considerados os custos na identificação da SBA inicial.

10 º: 1º: min ( c ij )= c 31 = 0 x 31 = min ( 4,10 )= 4 1 2º 2º: min ( c ij ) = c 34 = 1 x 34 = min ( 7, 6 )= 6 3º 3º: min ( c i ) = c 12 = c 23 = 2 x 12 = min ( 7, 6 ) = 6 1 4º 4º: min ( c ij ) = c 23 = 2 x 23 = min ( 6, 8 ) = º 5º: min ( c ij ) = c 22 = 3 x 22 = min ( 2, 1 ) = 1 6º 6º: min ( c ij ) = c 24 = 4 x 24 = min (1, 1 ) =1 X 0 0, 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6 SBA inicial: X 0 = ( 0, 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6) ; z = 38 Exemplo Protótipo.Método do Mínimo dos Custos

11 Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial. Método de Vogel A variável básica escolhida é, em cada quadro,a variável que corresponde ao menor custo da linha ou coluna associada à maior das diferenças entre os dois menores custos de cada linha e cada coluna(em caso de empate a escolha é arbitrária). Este método identifica uma SBA inicial, em geral, melhor do que as obtidas pelos métodos anteriores.

12 º: 1º: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente. 2º 2º: Seleccionar a maior das diferenças: max (diferenças) = 3, coluna 4. 3º 3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (c ij : j=4)= c 34 = 1 x 34 = min ( 7, 10 ) = 7 Iteração 1: x 34 = máximo mínimo Exemplo Protótipo.Método de Vogel. Quadro 1

13 º: 1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados 2º 2º: Seleccionar a maior das diferenças: max (diferenças) = 2 e corresponde à linha 3. 3º 3º: Seleccionar o menor dos custos para esta linha: min (c ij : i=3)= c 31 = 0 x 31 = min ( 4, 3 ) = 3 x 31 = 3 Iteração 2: x 31 = 3 máximo mínimo º: 1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados 2º 2º: Seleccionar a maior das diferenças: max (diferenças) = 2 e corresponde à linha 3. 3º 3º: Seleccionar o menor dos custos para esta linha: min (c ij : i=3)= c 31 = 0 x 31 = min ( 4, 3 ) = 3 x 31 = 3 Iteração 2: x 31 = 3 máximo mínimo Exemplo Protótipo. Método de Vogel. Quadro 2

14 º: 1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados 2º 2º: Seleccionar a maior das diferenças : max (diferenças) = 3 e corresponde à coluna 1. 3º 3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (c ij : j=1) = c 11 = 1 x 11 = min ( 1, 6 ) = 1 x 11 = 1 Iteração 3: x 11 = mínimo 5 máximo Exemplo Protótipo. Método de Vogel. Quadro 3

15 x 22 = 2 x 23 = 6 As restantes quadrículas podem ser preenchidas imediatamente: x 22 = 2 x 23 = X 0 1, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7 SBA inicial: X 0 = ( 1, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7) ; z = 36 Exemplo Protótipo. Método de Vogel Quadro 5

16 z 0 z 0 = 36 X 0 1, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 X 0 = ( 1, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7) X 0 4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 X 0 = ( 4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7) X 0 0, 5, 1, 0, 0, 2, 6, 0, 4, 0, 0, 6 X 0 = ( 0, 5, 1, 0, 0, 2, 6, 0, 4, 0, 0, 6) z 0 z 0 = 42 z 0 z 0 = 38 mais fácil menos fácil "pior" SBA "melhor" SBA Método SBA inicial f.o. Canto do NW Mínimo de custos Voguel Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial. Exemplo Protótipo

17 A solução dual é admissível: u i + v j - c ij 0, ( i, j ) I B ? Passar ao passo seguinte FIM a solução é óptima !!! Sim Não Determinar a solução dual complementar u i, v j, ( i=1,2…,m, j=1,2…,n ), por resolução do Sistema de Dantzig: u i + v j = c ij ( i, j ) I B Passo 2: Obtenção da solução óptima Método de Dantzing. Critério de optimalidade

18 Obtenção da solução óptima.Método de Dantzing. Passo 1: Critério de optimalidade. O primeiro passo, que consiste em testar a optimalidade da SBA actual pode ser executado recorrendo à Dualidade. Para o efeito é necessário determinar a correspondente solução dual. Enquanto na apresentação tabular do método simplex esta solução pode ser lida directamente no quadro respectivo, com a apresentação tabular do problema de transporte isso não acontece. Contudo, atendendo à simplicidade da estrutura do problema dual de transporte, é fácil determinar a solução dual.

19 u 1 livre u 2 livre u 3 livre v 1 livre v 2 livre v 3 livre v 4 livre = = = = 6 = 8 = 10 = = = = = 4 = 7 = 6 = x 11 0 x 12 0 x 13 0 x 14 0 x 21 0 x 22 0 x 23 0 x 24 0 x 31 0x 32 0 x 33 0x 34 0 x 11 0 x 12 0 x 13 0 x 14 0 x 21 0 x 22 0 x 23 0 x 24 0 x 31 0 x 32 0 x 33 0 x 34 0 Min z Problema dual Problema primal Problema primal Diagrama de Tucker Max w Formulação do Problema Dual de Transporte.

20 Maximizar w = 6 u u u v v v v 4 sujeito a: u 1 + v 1 1 u 1 + v 2 2 u 1 + v 3 3 u 1 + v 4 4 u 2 + v 1 4 u 2 + v 2 3 u 2 + v 3 2 u 2 + v 4 4 u 3 + v 1 0 u 3 + v 2 2 u 3 + v 3 2 u 3 + v 4 1 u i, v j livres ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 ) Formulação do Problema Dual de Transporte.

21 x 11 = 4 u 1 + v 1 = 1 x 12 = 2 x 12 = 2 u 1 + v 2 = 2 x 22 = 5 x 22 = 5 u 2 + v 2 = 3 x 23 = 3 u 2 + v 3 = 2 x 33 = 3 u 3 + v 3 = 2 x 34 = 7 u 3 + v 4 = 1 Para a SBA inicial obtida pelo Método do Canto N-W X 0 = ( 4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) tem-se: De acordo com a propriedade dos desvios complementares, a cada variável básica do problema primal se encontra associada uma restrição saturada no problema dual. Sistema de Dantzig para a SBA actual Exemplo Protótipo. Sistema de Dantzing

22 u 1 + v 1 = 1 u 1 + v 2 = 2 u 2 + v 2 = 3 u 2 + v 3 = 2 u 3 + v 3 = 2 u 3 + v 4 = 1 u 1 =0 Dado que uma das (m+n) restrições do problema primal é redundante, este sistema de equações é indeterminado de grau 1, pelo que a sua resolução é efectuada atribuindo um valor arbitrário a qualquer das variáveis duais e calculando a partir desta as restantes ( é habitual fazer u 1 =0 ) v 1 =1 v 2 =2 u 2 =1 v 3 =1 u 3 =1 v 4 =0 u 1 =0 1º. 1º. Determinar a solução dual. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Passo 1: Critério de Optimalidade

23 Obtenção da solução óptima. Passo 1: Critério de Optimalidade Esta solução para as variáveis duais pode ser obtida directamente no quadro de transporte correspondente à SBA em presença. Em síntese, fixando u 1 =0, desloca-se em linha através das quadrículas correspondentes às variáveis básicas, para obter os v j. Uma vez obtidos estes, desloca-se em coluna através das quadrículas correspondentes às variáveis básicas para obter os u i. 1º. 1º. Determinar a solução dual.

24 v 1 =1 v 2 =2 v 3 =1v 4 =0 u 3 =1 u 2 =1 u 1 =0 ( 1 ) ( 1 ) u 1 + v 1 =1 0 + v 1 =1 ( 2 ) ( 2 ) u 1 + v 2 =2 0 + v 2 =2 ( 4 ) ( 4 ) u 2 + v 3 =2 1 + v 3 =2 ( 6 ) ( 6 ) u 3 + v 4 =1 1 + v 4 =1 ( 3 ) ( 3 ) u 2 + v 2 =3 u =3 ( 5 ) ( 5 ) u 3 + v 3 =2 u 3 + 1=2 1º. 1º. Determinar a solução dual. Obtenção da solução óptima. Passo 1: Critério de Optimalidade

25 Obtenção da solução óptima. Passo 1: Critério de Optimalidade Como são satisfeitas as restrições duais de igualdade do Sistema de Dantzig que correspondem às variáveis primais básicas, resta apenas verificar se as restantes restrições duais de desigualdade correspondentes às variáveis primais não básicas do primal, são igualmente satisfeitas, o que significa que a solução dual é admissível e consequentemente a solução primal em presença é óptima. Isto é equivalente a verificar que todos os custos reduzidos para as variáveis não básicas sejam não positivos. u i + v j c ij, ( i, j ) I B (u i + v j ) - c ij 0, A verificação de que u i + v j c ij, ( i, j ) I B, é equivalente a (u i + v j ) - c ij 0, sendo o primeiro membro desta expressão de obtenção imediata no quadro de transporte.

26 v 1 =1 v 2 =2 v 3 =1v 4 =0 u 3 =1 u 2 =1 u 1 = u i + v j - c ij Esta solução não é óptima, pois existem valores positivos para u i + v j - c ij nas quadrículas (3,1) e (3,2), o que significa que as correspondentes restrições duais não estão satisfeitas. 3º. u i + v j - c ij > 0, ( i, j ) I B ? 3º. Existe algum u i + v j - c ij > 0, ( i, j ) I B ? Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Passo 1: Critério de Optimalidade

27 maxu i + v j - c ij : u i + v j - c ij > 0 } max {u i + v j - c ij : u i + v j - c ij > 0 } A variável a entrar na base é escolhida de acordo com o critério: Em caso de empate a escolha é arbitrária v 1 =1 v 2 =2 v 3 =1v 4 =0 u 3 =1 u 2 =1 u 1 = máximo A variável a entrar é x 31 Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Passo 2: Critério de Entrada

28 Obtenção da solução óptima. Passo 3: Critério de Saída 0 01º. Seleccionar o percurso relativo à variável que entra atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou +. Ao incrementar a variável básica que entra desde zero até um valor positivo 0, inicia-se um processo em cadeia" que garante que as restrições de oferta e procura continuem satisfeitas. Este processo segue um percurso no quadro a partir da quadrícula da variável que entra, onde são identificadas quais são as quadrículas onde será preciso subtrair o valor 0, (com sinal -) e aquelas onde será preciso adiciona-lo (com sinal +). Tudo com o objectivo de as somas em cada linha e coluna permanecerem inalteradas. : x ij = 0 2º. Seleccionar a variável que sai de acordo com o critério: min { x ij percurso relativo à variável que entra : x ij tem sinal -} = 0 Em caso de empate a escolha é arbitrária.

29 1º 1º. Seleccionar o percurso relativo à variável x 31 atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou +. 2º. 0 = x 3 2º. Seleccionar a variável que sai: 0 = min ( 4, 5, 3 ) = 3 a variável x 33 sai - x Determinar a variável que sai. mínimo Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Passo 3: Critério de Saída

30 0 A nova SBA obtém-se adicionando e subtraindo às variáveis que formam o ciclo o valor de 0, consoante estejam afectadas com ou, respectivamente; as restantes variáveis mantêm os seus valores inalterados. - + Obtenção da solução óptima. Passo 4: Obtenção de uma nova SBA

31 x x 13 = 3 3 x 11 =4 -3 = 1 x 12 =2 + 3 = 5 x 22 =5 -3 = 2 x 23 =3 +3 = 6 x 23 =3 -3 = 0 1, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 X 1 = ( 1, 5, 0, 0, z 1 = 36 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 ) Exemplo Protótipo.Obtenção da solução óptima. Passo 4: Obtenção de uma nova SBA

32 v 1 =1 v 2 =2 v 3 =1v 4 =2 u 3 =-1 u 2 =1 u 1 =0 ( 1 ) ( 1 ) u 1 + v 1 =1 0 + v 1 =1 ( 2 ) ( 2 ) u 1 + v 2 =2 0 + v 2 =2 ( 4 ) ( 4 ) u 2 + v 3 =2 1 + v 3 =2 ( 6 ) ( 6 ) u 3 + v 4 = v 4 =1 ( 3 ) ( 3 ) u 2 + v 2 =3 u =3 ( 5 ) ( 5 ) u 3 + v 1 =0 u 3 + 1=0 3 1º. 1º. Determinar a solução dual. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Iteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade.

33 v 1 =1 v 2 =2 v 3 =1v 4 =2 u 3 =-1 u 2 =1 u 1 =0 0 ( 6 ) ( 6 ) u 3 + v 3 -2 = = -2 ( 3 ) ( 3 ) u 2 + v 1 -4 = =-2 ( 5 ) ( 5 ) u 3 + v 2 -2 = = ( 1 ) ( 1 ) u 1 + v 3 -3 = =-2 ( 2 ) ( 2 ) u 1 + v 4 -4 = =-2 (4 ) (4 ) u 2 + v 4 -4 = =-1 3 2º. 2º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Iteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade

34 u i + v j - c ij 0 Esta solução é óptima, pois para todas as variáveis não básicas u i + v j - c ij v 1 =1 v 2 =2 v 3 =1v 4 =2 u 3 =-1 u 2 =1 u 1 = , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7z 1 = 36 Solução óptima: X 1 =(1, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7); z 1 = 36 3º. u i + v j - c ij > 0, ( i, j ) I B ? 3º. Existe algum u i + v j - c ij > 0, ( i, j ) I B ? Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Iteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade


Carregar ppt "Copiado do site Departamento Matemática da Universidade de Aveiron Profa. Marli."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google