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MÉTODO BRANCH-AND-BOUND 1. Os problemas de Programação Linear Inteira podem ser entendidos como casos específicos da Programação Linear; Todas, ou parte,

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1 MÉTODO BRANCH-AND-BOUND 1

2 Os problemas de Programação Linear Inteira podem ser entendidos como casos específicos da Programação Linear; Todas, ou parte, das variáveis de decisão devem ser inteiras; Importante se ter mente o grau de dificuldade associado à sua solução; 2

3 Não quer dizer que problemas que exijam computadores com alta capacidade; Mesmo que a solução ótima não seja encontrada, é possível obter boas soluções viáveis ; E mostrar quão próximo da solução ótima podem estar; 3

4 Um problema de programação linear inteira pode apresentar as seguintes situações: Problemas de Programação Linear Inteira Pura – PLIP; Problemas de Programação Linear Inteira Mista – PLIM; Problemas de Programação Linear Inteira Binária – PLIB; Problemas de Programação Linear Inteira Binária Mista – PLIBM. 4

5 Inicialmente, pode-se ignorar a restrição que impõe que as variáveis de decisão devam ser inteiras; Método Simplex (Software LINDO); Caso a resposta não seja um número inteiro, deve-se arredondá-la; A solução arredondada pode ser inviável ou longe da solução ótima; 5

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8 Outra abordagem é o método de enumeração; Um dos maiores entraves para a aplicação deste método é de ser impraticável para problemas reais que geralmente envolvem várias variáveis de decisão; 8

9 Deve-se considerar algumas observações: O número de soluções em um problema de PLI é finito, mas isto não implica que seja fácil de resolver; Num problema de PLIB com n variáveis há 2 soluções, por isso, para alguns problemas, fica impossível enumerar todas as soluções; Os melhores algoritmos não podem garantir a solução de todos os problemas, mesmo relativamente pequenos (< 100 variáveis); 9

10 Os problemas de PLIP tem quantidade finita de soluções possíveis; Considerar a utilização de um método de enumeração para encontrar o valor ótimo; A quantidade de possíveis soluções émuito grande; O método utilizado deve ser estruturado para que apenas uma parte das soluções possíveis sejam examinadas; 10

11 Branch-and-Bound (particionar e limitar as partições); É um algoritmo que apresenta essa qualidade; Dividi-lo em sub-problemas cada vez menores, até que estes possam ser solucionados 11

12 A ideia é desenvolver uma enumeração inteligente dos pontos candidatos (nós); Em busca da solução ótima inteira do problema; Por meio da partição do espaço e avaliação progressiva das soluções; 12

13 A forma de divisão em problemas menores parte do princípio da separação de uma das variáveis; Utilizando-a em restrições contraditórias; Criando ramificações (a partir de um nó), como em uma árvore; 13

14 A forma de divisão em problemas menores parte do princípio da separação de uma das variáveis em um problema relaxado; Utilizando-a em restrições contraditórias; Criando ramificações (a partir de um nó), como em uma árvore; 14

15 Uma das formas de relaxação consiste em ignorar as restrições de integralidade do problema; A partir deste, pode-se usar para resolvê-lo o método Simplex; 15

16 Se o problema relaxado não tem solução viável, então o problema de PLI também não tem; O valor mínimo do problema de PLI não é menor que o valor mínimo do problema relaxado; Se uma solução ótima do problema relaxado é viável no problema de PLI, então ela é uma solução ótima do problema de PLI; 16

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18 A escolha do (nó) para ramificação pode-se ser efetuada nas seguintes técnicas: Jumptracking: implementa uma busca em largura; Um nó com o mínimo limite inferior é selecionado; Backtracking: implementa a busca em profundidade; Nós descendentes de um nó pai são examinados; 18

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20 O problema candidato relaxado (PL) não tem solução viável; Então este nó está sondado; Os resultados dos nós filhos vão ser no melhor caso igual ao resultado do nó pai; 20

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22 Solução Manual (enumeração implícita) para problemas com variáveis binárias; 1ª Etapa: Função Objetivo (Maximização) Coeficientes (+) x = 1; Coeficientes (-) x = 0; Verificar se solução é factível; 2ª Etapa: Restrições () Tentar factibilizar cada restrição; Coeficientes (+) x = 0; Coeficientes (-) x = 1; 22

23 Problema relaxado pelo método Simplex; x 1 =0,83; x 2 =1; x 3 =0; x 4 =1; Z=16,5 23

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30 Para x 1 =1, x 2 =1 e x 3 =1 o modelo se apresenta sem soluções possíveis; Repetir esses passos para cada nó aberto 30

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32 Max Z = 3X 1 + X 2 + 2X 3 - X 4 + X 5 Sujeito a: 2X 1 + X 2 - 3X 4 1 X 1 + 2X 2 - 3X 3 - X 4 + 2X


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