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1 PARTIÇÃO DE DE BENDERS BENDERS Secundino Soares Filho Unicamp.

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1 1 PARTIÇÃO DE DE BENDERS BENDERS Secundino Soares Filho Unicamp

2 2 Método para otimização de problemas mistos e de grande dimensão Minimizar s.a. variáveis reais variáveis cri-cri (zero – um, inteira, etc)

3 3 Idéia Particionar (decompor) (1) em dois problemas independentes

4 4 Hipótese: (1) tem solução ótima finita PROJEÇÂO: Vamos projetar (1) sobre as variáveis Y MIN O mínimo é dado pelo PL: (MIN) PRIMAL

5 5 Note que para algum é possível que (3) seja infactível Vamos procurar uma condição em que (3) seja sempre factível Vamos tomar o dual de (3). Seja a variável dual (MAX) SUBPROBLEMA

6 6 Devido a hipótese (1), esta forma dual do subproblema é sempre factível, como garante a teoria da Dualidade em Programação Linear: O primal (dual) é factível se o seu dual (primal) tem solução ótima finita dual (MAX) primal (MIN) ótimo

7 7 Sejamos pontos extremos e os raios extremos de Então, como RESULTADO da teoria de dualidade, o primal (3) é factível se o dual (4) tem solução ótima finita, ou seja, se A condição (5) assegura que o dual (4) é sempre finito o primal (3) é sempre factível

8 8

9 9 Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DA DUALIDADE (1), o dual (4) e o primal (3) têm solução ótimas iguais Então MIN A restrição garante solução ótima finita para o dual (4).

10 10 MIN Sujeito a: é equivalente a

11 11 O problema (6) é equivalente a MIN Sujeito a: Pois o MÁXIMO é o menor limite superior. Note que (7) é equivalente a (1)

12 12 (7) tem um grande número de restrições que não são conhecidas a priori IDÉIA:Usar RELAXAÇÃO. Ou seja, construir um problema mestre relaxado com somente algumas restrições, e aplicar a estratégia da RELAXAÇÃO. PROBLEMA MESTRE RELAXADO MIN s.a.

13 13 Seja uma solução ótima de (8). Dois casos são possíveis: 1)Se satisfaz todas as restrições de (7), então é solução ótima de (7), e portanto solução de (MIN) são a solução ótima de (1).

14 14 2) Se viola alguma restrição de (7), então a solução não é ótima. Violação:

15 15 A restrição mais violada é aquela que (MAX) (9) é equivalente a (4) (MAX) SUBPROBLEMA

16 16 Seja uma solução ótima finita do subproblema (4). Então, a restrição mais violada a ser acrescentada ao programa mestre é: Caso (4) seja ilimitado, a restrição mais violada é do tipo raio extremo Com sendo um raio extremo de (4).

17 17 CONCLUSÃO:O sub-problema serve para testar a factibilidade/otimalidade de uma proposta do problema mestre.

18 18 PROBLEMA NA VARIÁVEL PROBLEMA MESTRE SUB-PROBLEMA PROBLEMA NA VARIÁVEL Testa as propostas do mestre Gera propostas de

19 19 ALGORITMO Note que a resolução de um problema mestre relaxado (8) fornece um valor ótimo que é um limitante inferior (LI) do problema original (1). Por quê? ( Note que a seqüência é monótona não decrescente ). Note que o valor ótimo fornecido pela resolução de um subproblema (4) para umfixo e adicionado do valorfornece um limitante superior (LS) do problema original (1) ( se for melhor que a incumbente – melhor solução até o momento )

20 20 INÍCIO LS = LI = - SELECIONE UM VALOR INICIAL PARA GERE UMA NOVA RESTRIÇÃO PARA O PROBLEMA MESTRE: DE PONTO EXTREMO DE RAIO EXTREMO RESOLVA O SUBPROBLEMA (4) PARA OBTER MELHOROU LS? SE SIM, CORRIJA O VALOR DE LS RESOLVA UM PROBLEMA MESTRE PARA OBTER NOVO LI LS=LI RESOLVA O SUBPROBLEMA PARA E OBTENHA FIM SIMNÃO

21 21 [1] Benders, J. F., Partitionning Procedures for Solving Mixed-Variables Programming Problems, Numerische Mathematik, 4, , [2] Salkin, H. N., Integer Programming, Addison Wesley Publ. Co., [3] Hu, T. C., Integer Programming and Network Flows, Addison Wesley Publ. Co., [4] Geoffrion, A. M., Generalized Benders Decomposition, Journal of Optimization Theory and Application, 10, , 1972.

22 22 Resolver o problema abaixo aplicando o método de Benders Minimizar s.a. Solução: Projetando P 1 sobre a variável, temos: (P1)

23 23 Minimizar s.a. Temos o seguinte sub-problema primal Minimizar s.a. (SPP) (P2)

24 24 O dual (SPP) é: Maximizar s.a. (SPP) O politopo das restrições do dual é limitado e, portanto, não possui raio extremo. 4 pontos extremos

25 25 O problema P 2 pode ser reescrito como: Minimizar s.a. (P 3 ) Escrevendo o sub-problema em função dos pontos extremos do politopo do dual, temos: (P 4 ) np = número total de pontos extremos

26 26 P 4 é equivalente ao problema Minimizar s.a. Problema mestre Supondo que não conhecemos os pontos extremos, vamos aplicar a estratégia de relaxação: Minimizar s.a.

27 27 Inicialização: Iteração 1: Problema mestre 1: (irrestrito) Minimizar A solução é:

28 28 Sub-problema 1 Minimizar s.a. Resolvendo pelo método simplex:

29 29 Calculando o valor da função objetivo da solução: A restrição mais violada do problema mestre é: (1) Note que a solução viola (1)

30 30 Iteração 1: Problema mestre 2: Minimizar A solução é: s.a. (1)

31 31 Sub-problema 2 Minimizar s.a. Resolvendo pelo método simplex:

32 32 Calculando o valor da função objetivo da solução: A restrição mais violada do problema mestre é: (2) Note novamente que a solução viola (2)

33 33 Iteração 3: Problema mestre 3: Minimizar A solução é: s.a. (1) (2)

34 34 Sub-problema 3 Minimizar s.a. Resolvendo pelo método simplex:

35 35 Calculando o valor da função objetivo da solução: A solução ótima é:


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