A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Teorema Fundamental da Programação Linear Dado um problema de Programação Linear na forma padrão min c.x s.a. Ax = b x 0 onde A é uma matriz (m x n) de.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Teorema Fundamental da Programação Linear Dado um problema de Programação Linear na forma padrão min c.x s.a. Ax = b x 0 onde A é uma matriz (m x n) de."— Transcrição da apresentação:

1 Teorema Fundamental da Programação Linear Dado um problema de Programação Linear na forma padrão min c.x s.a. Ax = b x 0 onde A é uma matriz (m x n) de rank m, i) se existir uma solução factível, existe uma solução básica factível; ii) se existir uma solução factível óptima, existe uma solução básica factível óptima. Teorema da Equivalência entre pontos extremos e soluções básicas Seja A uma matriz m x n e b um vector de m componentes. Seja K o polítopo convexo consistindo de todos os vectores x de tamanho n que satisfazem Ax = b x 0 Um vector x é um ponto extremo de K sse x é uma solução básica factível. A04-1

2 Corolário 1:Se o conjunto convexo K correspondente a Ax = b x 0 é não vazio, possui pelo menos um ponto extremo. Corolário 2:Se existir uma solução óptima finita para um problema de programação linear, existe uma solução óptima fini- ta que é um extremo do conjunto de restrições. Corolário 3:O conjunto de restrições K correspondente a Ax = b, x 0 possui, no máximo, um número finito de pontos extremos. Corolário 4:Se o conjunto K (polítopo convexo) for limitado, então K é um poliedro convexo, i.e., K consiste de pontos que são combinações lineares de um número finito de pontos. Proposição:Uma função objectivo linear, cx, atinge o seu mínimo sobre um poliedro convexo K num ponto extremo de K. A04-2

3 Teorema:Dada uma solução básica factível não degenerada com custo z 0, suponha-se que para algum j se verifica c j - z j < 0. Então existe uma solução factível com custo z < z 0. Se a coluna a j puder ser substituída por algum vector na base original que conduza a uma nova solução básica factível, esta nova solução tem z < z 0. Se a j não puder ser substituída, então o conjunto K de soluções factíveis é não limitado e a função objectivo pode ser feita arbitrariamente pequena. Teorema:Se para alguma solução básica factível c j - z j 0 para todo o j, então a solução é óptima. A05-1

4 Passo1:Calcular os coeficientes de custo relativo r = c D - c B B -1 D. Primeiro calcular = c B B -1 e depois o vector de custo relativo c D - D. Se r 0 parar; a solução presente é óptima. Passo 2:Determinar que vector a j entra na base selecionando aquele para o qual o custo relativo é mais negativo; calcular y j = B -1 a j que expressa a j na base presente. Passo 3:Calcular os valores y i0 /y ij para determinar que vector sai da base. Passo 4:Actualizar B -1 e a solução presente é B -1 b. Voltar ao Passo 1. Dados de partida: Uma base e B -1 correspondente com a solução respectiva dada por x B = y 0 = B -1 b. O método Simplex A07-1

5 Lema 1:Se x e são factíveis para (1) e (2), respectivamente, então cx b. PRIMAL min c.x s.a. Ax = b(1) x 0 DUAL min b s.a. A c(2) Corolário:Se x 0 e 0 são factíveis para (1) e (2), respectivamente, e se cx 0 = 0 b, então x 0 e 0 são óptimos para os seus problemas respectivos. PORQUÊ?... Teorema da Dualidade: Se qualquer dos problemas (1) ou (2) possuir uma solução óptima finita, também o outro a possui, e os valores das funções objectivo são iguais. Se qualquer dos problemas tiver uma função objectivo não limitada, o outro não tem qualquer solução factível. A07-2

6 Teorema: Seja o problema de programação linear (1) com uma solução básica factível óptima correspondente à base B. Então o vector = c B B -1 é uma solução óptima para o problema dual (2). Os valores óptimos para ambos os problemas são iguais. (Complementary Slackness - forma assimétrica) Teorema 1: (Complementary Slackness - forma assimétrica) Seja x e soluções factíveis para o problema primal e dual, na forma assimétrica, respectivamente. Uma condição necessária e suficiente para que ambas sejam óptimas é que para todo o i: i) x i > 0 a i = c i ii) x i = 0 a i < c i em que a i é a i-ésima coluna de A. (Complementary Slackness - forma simétrica) Teorema 2: (Complementary Slackness - forma simétrica) Sejam x e soluções factíveis para o problema primal e dual, na forma simétrica, respectivamente. Uma condição necessária e suficiente para que ambas sejam óptimas é que para todo o i e j: i)x i > 0 a i = c i ii)x i = 0 a i < c i iii) j > 0 a j x = b j iv) j = 0 a i x > b j em que a j é a j-ésima linha de A e a i é a i-ésima coluna de A. A07-3


Carregar ppt "Teorema Fundamental da Programação Linear Dado um problema de Programação Linear na forma padrão min c.x s.a. Ax = b x 0 onde A é uma matriz (m x n) de."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google