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Capítulo 2.3 Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 2ª Edição © Gerson Lachtermacher,2005 Programação Linear e Seus Teoremas.

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1 Capítulo 2.3 Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 2ª Edição © Gerson Lachtermacher,2005 Programação Linear e Seus Teoremas

2 Capítulo 2.3 Conteúdos do Capítulo Programação Linear e Convexidade Teoremas Fundamentais Caso LCL Produtos Farmacêuticos S.A.

3 Capítulo 2.3 Conjunto Convexo em R 2 Para quaisquer dois pontos do conjunto, todos os pontos que formam o segmento de reta que os unem faz parte do conjunto. Conjunto Convexo em R 2 Para quaisquer dois pontos do conjunto, todos os pontos que formam o segmento de reta que os unem faz parte do conjunto. Conjunto Convexo Conjunto não Convexo Programação Linear e Convexidade

4 Capítulo 2.3 Método Simplex Teoremas Fundamentais Teorema I O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de Programação Linear formam um conjunto convexo. Teorema II Toda solução compatível básica, do sistema de equações lineares de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções. Teorema I O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de Programação Linear formam um conjunto convexo. Teorema II Toda solução compatível básica, do sistema de equações lineares de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções.

5 Capítulo 2.3 Considere a solução gráfica do problema x2x2 x1x1 (0,4) (1,4) (0,0)(3,0) (3,3) 21=5x 1 +2x 2 z pontos extremos A B C D E AB C D E Solução Viável Método Simplex Teoremas Fundamentais

6 Capítulo 2.3 Teorema III Se a função-objetivo possui um ótimo finito, então pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo de soluções viáveis. Se a função-objetivo assume o ótimo em mais de um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, então ela toma o mesmo valor para qualquer ponto do segmento da reta que une esses pontos extremos. Método Simplex Teoremas Fundamentais

7 Capítulo 2.3 Verificação Geométrica do Teorema III 1 a parte x2x2 x1x1 (0,4) (1,4) (0,0) (3,0) (3,3) Mínimo =A B C = máximo D E Solução Viável O valor da função-objetivo varia quando esta se desloca. Logo, o valor ótimo (mínimo ou máximo) será obtido deslocando-se o máximo ou o mínimo a função-objetivo.

8 Capítulo 2.3 Verificação Geométrica do Teorema III 2 a parte x2x2 x1x1 (0,4) (1,4) (0,0) (3,0) (3,3) B D E Solução Viável Entretanto, a função-objetivo pode assumir uma inclinação tal que no ponto ótimo ela coincida com a inclinação de alguma restrição. Soluções Múltiplas Em todos os pontos do segmento de reta CD, o valor da função-objetivo é o mesmo A C

9 Capítulo 2.3 Considere a solução gráfica do problema x2x2 x1x1 (0,4) (1,4) (0,0)(3,0) (3,3) z pontos extremos A B C D E AB C D E Solução Viável Método Simplex Teoremas Fundamentais

10 Capítulo 2.3 Caso LCL Produtos Farmacêuticos As indústrias LCL Produtos Farmacêuticos Ltda. desejam produzir dois medicamentos, um analgésico e um antibiótico, que dependem de duas matérias primas A e B, que estão disponíveis em quantidades de 5 e 8 toneladas, respectivamente. Na fabricação de uma tonelada de analgésico são empregadas uma tonelada da matéria A e uma tonelada da matéria B, e na fabricação de uma tonelada de antibiótico são empregadas uma tonelada de A e quatro toneladas de B. Sabendo que cada tonelada de analgésico é vendida a $8,00 e de antibiótico a $5,00, encontre, através da determinação dos pontos extremos do conjunto de soluções viáveis, a quantidade de toneladas de medicamentos a serem produzidas pelas indústrias LCL de maneira a maximizar seu lucro.

11 Capítulo 2.3 Caso LCL Produtos Farmacêuticos Hipótese Assumida Quantidade Produzida = Quantidade Vendida Variáveis de Decisão x 1 – Quantidade de Toneladas de Analgésico a ser produzida. x 2 – Quantidade de Toneladas de Antibiótico a ser produzida.

12 Capítulo 2.3 Função-Objetiva – Maximizar o Lucro Restrições de Matéria Prima Restrições de não negatividade xxMax xx xx 0 ; 0 21 xx Caso LCL Produtos Farmacêuticos

13 Capítulo 2.3 Caso LCL Produtos Farmacêuticos Solução Gráfica 371, 4 400, 5 102, 0 00, zxx zxx zxx zxx xxz (0;0) (0;2) (5;0) (4;1)


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