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Cecília Rocha # 12001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Método Simplex É um procedimento algébrico utilizado para resolução.

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1 Cecília Rocha # 12001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Método Simplex É um procedimento algébrico utilizado para resolução de problemas de programação linear, com base numa interpretação geométrica,cuja compreensão facilita a sua utilização e evidencia as razões da sua simplicidade e eficácia. Neste problema, cada restrição é representada por uma linha que limita a região admissível. Os pontos de intersecção das linhas de restrição são Soluções em Pontos de Quebra (SPQ) do problema. Estas SPQ podem ser SPQ Admissíveis – caso dos pontos (0,0) (4,0) (4,3) (2,6) e (0,6) – ou SPQ Não Admissíveis (6,0) (4,6) e (0,9). Para qualquer problema de programação linear com n variáveis de decisão, diz-se que 2 SPQ Admissíveis são adjacentes se partilham n-1 restrições. As 2 SPQ Admissíveis estão ligadas por um segmento de recta que se situa nas restrições comuns. Esse segmento denomina-se limite da região admissível. Neste caso como n = 2, as SPQA partilham 1 restrição Teste de Optimização Teste de Optimização Considere um problema de programação linear que tem pelo menos uma solução óptima. Se uma SPQA não tem SPQA adjacentes que sejam melhores (considerando Z) então será uma Solução Óptima. Região Admissível (0,9) (4,0) (0,0) (0,6) (6,0) (4,3) (4,6) (2,6) Maximizar Z = 3x 1 + 5x 2 s.a.: x 1 4 2x x 1 + 3x 2 18 X i 0

2 Cecília Rocha # 22001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Procedimentos do Método Simplex Início 1 Escolher o ponto (0,0) como SPQA inicial Teste de Optimização Concluir que o ponto (0,0) não é a Solução Óptima (os pontos adjacentes levam a uma melhor solução) Iterações 1ª Iteração Dos 2 limites que partem de (0,0) escolher a direcção x 2 – dado que tem maior parâmetro em Z, pelo que se chegará mais rapidamente à solução óptima. Parar no próximo limite da região admissível 2 Resolver para a intersecção das duas restrições ponto (0,6) Teste de Optimização Concluir que o ponto (0,6) não é a Solução Óptima 2ª Iteração Dos 2 limites que partem de (0,6) escolher a direcção paralela a x 1 – dado que a outra direcção levaria à uma diminuição do valor de Z Parar no próximo limite da região admissível 3 Resolver para a intersecção das duas restrições ponto (2,6) Teste de Optimização Concluir que o ponto (2,6) é a Solução Óptima Região Admissível (0,9) (4,0) (0,0) (0,6) (6,0) (4,3) (4,6) (2,6) 1 23

3 Cecília Rocha # 32001/2002 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Metodologia do Método Simplex 1º Conceito de Solução O método simplex só analisa Soluções em Pontos de Quebra (SPQ). Para qualquer problema com pelo menos uma solução óptima, só é necessário encontrar a melhor SPQ. 2º Conceito de Solução O método simplex é um procedimento iterativo com a seguinte sequência: Inicializaçãoinício das iterações e procura da SPQ inicial Teste de OptimizaçãoSerá a SPQ actual a Solução Óptima? NãoSim STOP Iteração Fazer uma iteração para procurar uma SPQ melhor. 3º Conceito de Solução Origem Sempre que possível, a inicialização do método simplex é feita na Origem (todas as variáveis de decisão iguais a zero), o que evita a necessidade de calcular algebricamente o valor das variáveis. I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL

4 Cecília Rocha # 42001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Metodologia do Método Simplex 4º Conceito de Solução sempre Cada vez que o método simplex realiza uma iteração para se aproximar de uma SPQ melhor, escolhe sempre uma SPQ adjacente e nunca nenhuma das outras ainda disponíveis. Assim, o percurso percorrido para atingir a solução óptima será ao longo dos limites da Região Admissível. (0,0) SPQ adjacentes (4,0) e (0,6) 5º Conceito de Solução O método simplex analisa os limites da Região Admissível que partem da SPQ actual e levam às SPQ adjacentes, identificando a taxa de crescimento de Z que será obtida pela movimentação em cada limite. Das taxas de crescimento positivas, o método simplex escolha a maior. TC (4,0) = 3 e TC (0,6) = 5 próxima SPQ = (0,6) 6º Conceito de Solução A existência de uma taxa de crescimento positiva em Z indica que há uma SPQ adjacente melhor que a actual, enquanto que uma taxa de crescimento negativa indica uma SPQ pior que a actual. Então, o teste de optimização consiste em verificar se a taxa de crescimento em Z para cada um dos limites que saem da SPQ actual é positiva. Se não existir nenhuma positiva então a SPQ é a Solução Óptima. TC (4,3) 0 e TC (0,6) 0 Solução Óptima SPQ = (2,6) Região Admissível (0,9) (4,0) (0,0) (0,6) (6,0) (4,3) (4,6) (2,6) 1 TC = 5 TC = 3 2 TC 0 3

5 Cecília Rocha # 52001/2002 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Preparação do Método Simplex Procedimento Algébrico Variáveis de Folga Envolve a resolução de sistemas de equações, pelo que será necessário converter as restrições sob a forma de desigualdade em igualdade. Esta conversão é feita pela introdução de Variáveis de Folga. Retomando o mesmo exemplo: Problema InicialForma Aumentada do Problem a Variáveis de DecisãoVariáveis de Folga A Forma Aumentada do Problema é constituída pelas Variáveis de Decisão e pelas Variáveis de Folga Solução Básica Uma Solução Básica (SB) é uma solução em ponto de quebra aumentada Solução Básica Admissível Uma Solução Básica Admissível (SBA) é uma solução em ponto de quebra admissível aumentada Maximizar Z = 3x 1 + 5x 2 s.a.: x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 x i 0 Maximizar Z = 3x 1 + 5x 2 s.a.: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x i 0 Introduzir Variáveis de Folga (x 3, x 4, x 5 ) I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL

6 Cecília Rocha # 62001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Preparação do Método Simplex A Solução Básica Admissível (SBA) é constituída por: Variáveis básicas – VB Variáveis não básicas – VNB (são iguais a zero) Uma Solução Básica tem as seguintes propriedades Cada variável é designada por VB ou VNB ; O número de VB é igual ao número de restrições e o número de VNB é igual ao número de variáveis menos o número de restrições; As VNB são iguais a zero; Os valores das VB são obtidos pela resolução do sistema de equações das restrições; Se as VB satisfazem a restrição de não- negatividade, a SB é uma SBA. Duas Soluções Básicas Admissíveis (SBA) são adjacentes se todas menos uma das VNB são as mesmas. Assim, todas menos uma das VB também são as mesmas, embora possam ter valores numéricos diferentes.

7 Cecília Rocha # 72001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Exemplo de Aplicação do Método Simplex – Resolução Algébrica Inicialização Maximizar Z = 3x 1 + 2x 2 s.a.: x 1 4 x 1 + x 3 = 4 x 1 + 3x 2 15 x 1 + 3x 2 + x 4 = 15 2x 1 + x x 1 + x 2 + x 5 = 10 x i 0 Solução Básica Admissível Inicial Resolução do sistema na Forma Aumentada Se x 1 = 0 e x 2 = 0 x 3 = 4; x 4 = 15 e x 5 = 10 SBA inicial (0, 0, 4, 15, 10) SBA inicial (0, 0, 4, 15, 10) Teste de Optimização Taxas de crescimento em x 1 e x 2 (são ambas positivas) TC (x 1 ) = 3 TC (x 2 ) = 2 Determinação da direcção do movimento Como a Taxa de Crescimento em x 1 é superior, x 1 deixará de ser VNB e passará a variável básica de entrada Adicionar Variáveis de Folga

8 Cecília Rocha # 82001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Exemplo de Aplicação do Método Simplex – Resolução Algébrica (cont.) 1ª Iteração Determinar a VB que passará a Variável Básica de Saída (VBS), ou seja, qual a VB que tomará o valor zero em primeiro lugar Se x 2 = 0, então mínimo x 1 + x 3 = 4 x 3 = 4 – x 1 0 x 1 4 mínimo x 1 + 3x 2 + x 4 = 15 x 4 = 15 – x 1 0 x x 1 + x 2 + x 5 = 10 x 5 = 10 – 2x 1 0 x 1 5 teste do rácio mínimo VBS x 3 O teste do rácio mínimo indica que a VBS será x 3 Encontrar a nova SBA Se x 2 = 0 e x 3 = 0, então (para anular x 1 em todas as equações menos uma) (0) Z – 3x 1 – 2x 2 = 0 (1) x 1 + x 3 = 4 (2) x 1 + 3x 2 + x 4 = 15 (3) 2x 1 + x 2 + x 5 = 10 Realizando as operações indicadas à esquerda, obtemos: (0)+3(1) (2º) Z – 3x 1 – 2x 2 + 3(x 1 + x 3 ) = 0 + 3*4 Z - 2x 2 + 3x 3 = 12 (1) (1º) x 1 + x 3 = 4 x 1 + x 3 = 4 (2)-(1) (3º) x 1 + 3x 2 + x 4 - (x 1 + x 3 ) = 15 – 4 3x 2 – x 3 + x 4 = 11 (3)-2(1) (4º) 2x 1 + x 2 + x 5 – 2(x1 + x3) = 10 – 2*4 - x x 3 + x 5 = 2

9 Cecília Rocha # 92001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Exemplo de Aplicação do Método Simplex – Resolução Algébrica (cont.) Encontrar a nova SBA Se x 2 = 0 e x 3 = 0 então x 1 = 4; x 4 = 11; x 5 = 2 e Z = 12 SBA intermédia (4, 0, 0, 11, 2) SBA intermédia (4, 0, 0, 11, 2) Teste de Optimização Taxas de crescimento em x 2 e x 3 TC (x 2 ) = 2 TC (x 3 ) = -3 Determinação da direcção do movimento Como a Taxa de Crescimento em x 2 é positiva, x 2 deixará de ser VNB e passará a variável básica de entrada 2ª Iteração Determinar a VB que passará a Variável Básica de Saída (VBS), ou seja, qual a VB que tomará o valor zero em primeiro lugar Se x 3 = 0, então x 1 + x 3 = 4 x 1 = 4 0 x 1 = 3x 2 – x 3 + x 4 = 11 x 4 = 11 – 3x 2 0 x 2 11/3 mínimo x 2 – 2x 3 + x 5 = 2 x 5 = 2 – x 2 0 x 2 2 mínimo teste do rácio mínimo VBS x 5 O teste do rácio mínimo indica que a VBS será x 5

10 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Exemplo de Aplicação do Método Simplex – Resolução Algébrica (cont.) Encontrar a nova SBA Se x 3 = 0 e x 5 = 0, então (para anular x 2 em todas as equações menos uma) (0) Z - 2x 2 + 3x 3 = 12 (1) x 1 + x 3 = 4 (2) 3x 2 – x 3 + x 4 = 11 (3) - x x 3 + x 5 = 2 Realizando as operações indicadas à esquerda, obtemos: (0)+2(3) (2º) Z – 2x 2 + 3x 3 + 2(-x 2 – 2x 3 + x 5 ) = *2 Z – x 3 + 2x 5 = 16 (1)-0(3) (3º) x 1 + x 3 = 4 x 1 + x 3 = 4 (2)-3(3) (4º) x 1 + 3x 2 + x 4 - 3(-x 2 –2x 3 + x 5 ) = 11 – 3*2 5x 3 + x 4 – 3x 5 = 5 (3) (1º) - x 2 + 2x 3 + x 5 = 2 x 2 – 2x 3 + x 5 = 2 Encontrar a nova SBA Se x 3 = 0 e x 5 = 0 então x 1 = 4; x 2 = 2; x 4 = 5 e Z = 16 SBA intermédia (4, 2, 0, 5, 0) SBA intermédia (4, 2, 0, 5, 0) Teste de Optimização Taxas de crescimento em x 3 e x 5 TC (x 3 ) = 1 TC (x 5 ) = -2 Determinação da direcção do movimento Como a Taxa de Crescimento em x 3 é positiva, x 3 deixará de ser VNB e passará a variável básica de entrada

11 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Exemplo de Aplicação do Método Simplex – Resolução Algébrica (cont.) 3ª Iteração Determinar a VB que passará a Variável Básica de Saída (VBS), ou seja, qual a VB que tomará o valor zero em primeiro lugar Se x 5 = 0, então x 1 + x 3 = 4 x 1 = 4 - x 3 0 x 3 4 mínimo 5x 3 + x 4 – 3x 5 = 5 x 4 = 5 – 5x 3 0 x 3 1mínimo x 2 – 2x 3 + x 5 = 2 x 2 = 2 – 2x 3 0 x 3 2 teste do rácio mínimo VBS x 4 O teste do rácio mínimo indica que a VBS será x 4 Encontrar a nova SBA Se x 4 = 0 e x 5 = 0, então (para anular x 3 em todas as equações menos uma) (0) Z – x 3 + 2x 5 = 16 (1) x 1 + x 3 = 4 (2) 5x 3 + x 4 – 3x 5 = 5 (3) x 2 – 2x 3 + x 5 = 2 Realizando as operações indicadas à esquerda, obtemos: (0)+(2) (2º) Z – x 3 + 2x 5 + (x 3 + 1/5x 4 – 3/5x 5 ) = Z + 1/5x 4 + 7/5x 5 = 17 (1)-(2) (3º) x 1 + x 3 – (x 3 + 1/5x 4 – 3/5x 5 ) = 4 – 1 x 1 - 1/5x 4 + 3/5x 5 = 4 (2) 5 (1º) x 3 + 1/5x 4 – 3/5x 5 = 1 x 3 + 1/5x 4 – 3/5x 5 = 1 (3)+2(2) (1º) - x 2 + 2x 3 + x 5 + 2(x 3 + 1/5x 4 – 3/5x 5 ) = 2 + 2*1 x 2 + 2/5x 4 – 1/5x 5 = 4

12 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Exemplo de Aplicação do Método Simplex – Resolução Algébrica (cont.) Encontrar a nova SBA Se x 4 = 0 e x 5 = 0 então x 1 = 3; x 2 = 4; x 3 = 1 e Z = 17 SBA intermédia (3, 4, 1, 0, 0) SBA intermédia (3, 4, 1, 0, 0) Teste de Optimização Taxas de crescimento em x 4 e x 5 TC (x 4 ) = - 1/5 TC (x 5 ) = - 7/5 Determinação da direcção do movimento Como as Taxas de Crescimento são negativas, já temos a solução óptima pois qualquer incremento nas VNB vai levar à diminuição do valor da função objectivo. Solução Final ( 3, 4, 1, 0, 0 ) Z = 17 Solução Final ( 3, 4, 1, 0, 0 ) Z = 17

13 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 4ª Aula (cont.) 4ª Aula (cont.) Exercício Proposto Considere o seguinte problema: Maximizar Z = x1 + 2x2 s.a.: x1 2 x2 2 x1 + x2 3 xi 0 a)Resolva graficamente e marque todas as soluções em ponto de quebra admissíveis b)Introduza variáveis de folga para escrever a forma aumentada do problema c)Para cada SPQ Admissível, identifique a SB Admissível calculando o valor das variáveis de folga. Para cada SBA utilize os valores das variáveis para identificar as VB e as VNB d)Resolva este problema, pelo método simplex, utilizando a resolução algébrica e)Confirme o resultado pelo SOLVER - Excel


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