Cecília Rocha # 12001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula 2ª Aula Programação Linear A programação linear utiliza um modelo matemático para descrever.

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1 Cecília Rocha # 12001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula 2ª Aula Programação Linear A programação linear utiliza um modelo matemático para descrever o problema em análise. Todas as funções que compõem esse modelo são funções lineares. O seu principal objectivo é o planeamento de actividades para obter um resultado óptimo, ou seja, que permita atingir os resultados pretendidos. A aplicação mais comum da programação linear refere-se à distribuição de recursos por diversas actividades, no entanto, muitas vezes também é utilizada para resolver problemas de natureza diferente.

2 Cecília Rocha # 22001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Exercício Modelo Exercício Modelo Uma empresa produz produtos em vidro de boa qualidade, incluindo portas e janelas em vidro. As suas instalações têm 3 pisos. Os caixilhos de alumínio e as ferragens são produzidas no piso 1, no piso 2 são feitas as caixilharias em madeira e no piso 3 é produzido o vidro e feita a junção dos diferentes sub- componentes. Como houve uma quebra nos lucros a administração decidiu reformular a linha de produção. Os produtos que não traziam lucro deixaram de ser fabricados e a capacidade produtiva libertada possibilita o lançamento de 2 novos produtos com boas perspectivas de venda: Produto 1 Produto 1 : Porta de vidro com caixilharia de alumínio e largura de 2.40m Produto 2 Produto 2 : Janela de vidro com caixilharia de madeira de 1.20*1.80 m O produto 1 necessita de capacidade produtiva nos pisos 1 e 3 e o produto 2 só requer recursos dos pisos 2 e 3. A equipa de marketing concluiu que toda a produção possível destes 2 produtos terá escoamento imediato no mercado. Contudo, devido à competição interna, em termos de capacidade produtiva do piso 3, não está ainda decidido o número de peças de cada produto a ser produzido para alcançar o máximo lucro. Para este efeito (determinar o n.º de peças de cada produto) foram contratados consultores de IO.

3 Cecília Rocha # 32001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Após encontro com a administração para esclarecer os objectivos finais do trabalho e a recolha de dados referente a: N.º de horas de produção semanal disponíveis em cada piso para os 2 novos produtos N.º de horas de produção utilizadas em cada piso para a produção de cada elemento dos 2 novos produtos lucro obtidolucro por elemento produzido * N.º elementos produzidos Lucro previsto com a venda de cada elemento dos 2 novos produtos (dado que não existem custos significativos de início de produção e marketing, o lucro obtido será aproximadamente igual ao lucro por elemento produzido * N.º elementos produzidos) que se resumem no quadro seguinte: Tempo de produção por elemento, horas Tempo de produção semanal disponível, horas PisoProduto 1Produto 2 1104 20212 33218 Lucro por elemento3 000 u.m.5 000 u.m.

4 Cecília Rocha # 42001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Formulação como um Problema de Programação Linear Variáveis de decisão x 1 – N.º de elementos do produto 1 produzidos semanalmente x 2 – N.º de elementos do produto 2 produzidos semanalmente Função Objectivo Z – Lucro semanal total resultante da produção dos 2 novos produtos Max Z = 3 x 1 + 5 x 2 Maximizar Z = 3000 x 1 + 5000 x 2, ou seja Max Z = 3 x 1 + 5 x 2 Restrições x 1 4 2 x 2 12 3 x 1 + 2 x 2 18, x 1 0 e x 2 0

5 Cecília Rocha # 52001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Resolução Gráfica Problema Bidimensional (só duas variáveis de decisão) Gráfico em que os eixos de representação serão as variáveis x 1 e x 2 A primeira restrição a impor será a Não Negatividade das variáveis de decisão A segunda restrição corresponderá ao máximo de 4 horas semanais, no piso 1, para produzir x 1 A terceira restrição refere-se à restrição de 12 horas no piso 2 para produzir o produto 2 A última restrição relaciona-se com a restrição a 18 horas no piso 3 disponíveis para os 2 produtos X1 0 X2 0 2x2 12 x2x2 x1x1 X1 4 3x1 + 2x2 18

6 Cecília Rocha # 62001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Resolução Gráfica Problema Bidimensional (só duas variáveis de decisão) A área sombreada corresponde à Região das Solução Admissíveis A etapa final deste método consiste em encontrar o ponto da Região das Soluções Admissíveis que maximiza o valor da função objectivo. Este ponto encontra-se por tentativas após atribuir um valor à função objectivo e desenhar a recta correspondente a esse valor. Seguidamente, por observação do gráfico e tentativas atinge(m)-se o(s) ponto(s) pretendido(s). Neste caso a solução óptima corresponde a um lucro de 36 000 u.m. distribuído por 2 elementos do produto 1 e 6 elementos do produto 2. x2x2 x1x1 Z = 10 Z = 20 Z = 36 = 3x1 + 5x2

7 Cecília Rocha # 72001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Modelo de Programação Linear Os termos chave deste modelo são os Recursos disponíveis e as Actividades a desenvolver, em que m será o número de diferentes recursos que poderão ser utilizados e n o número de actividades a considerar. Exemplo de recursos: Dinheiro Equipamentos Máquinas Veículos Pessoal Exemplo de actividades: Investimento em projectos Operações de marketing Transporte de bens O tipo mais comum de problemas desta natureza (programação linear) corresponde a distribuir recursos por actividades. A quantidade de recursos disponíveis é limitada, por isso, é importante fazer uma distribuição de recursos cuidada, correspondente ao nível de actividade pretendido para atingir o melhor desempenho possível

8 Cecília Rocha # 82001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Modelo de Programação Linear (cont.) Neste modelo utilizam-se as seguintes variáveis: Z – Valor da medida de desempenho x j – nível de actividade pretendido c j – aumento do desempenho resultante do aumento de uma unidade no nível de actividade b i – quantidade de recurso i disponível para as diferentes actividades a ij – quantidade de recurso i utilizado por unidade de actividade j x i são as variáveis de decisão c j, b i e a ij são os parâmetros Recursos Utilização de Recursos por unidade de actividade Quantidade de recursos disponível Actividades 12...n 1a 11 a 12 a 1n b1b1 2a 21 a 22 a 2n b2b2... ma m1 a m2 a mn bmbm Contribuição para Z por unidade de actividade c1c1 c2c2...cncn

9 Cecília Rocha # 92001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Modelo de Programação Linear (cont.) Forma Standard Função Objectivo Maximizar Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n Restrições a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n b m x 1 0 ; x 2 0 ;... ; x n 0

10 Cecília Rocha # 102001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Modelo de Programação Linear (cont.) Outras Formas Minimizar a função objectivo Algumas das restrições tomam a forma: a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a in x n b i Algumas das restrições tomam a forma: a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a in x n = b i Algumas das variáveis não cumprem a restrição de não negatividade

11 Cecília Rocha # 112001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Modelo de Programação Linear (cont.) Termos mais utilizados Solução Admissível (todas as restrições são satisfeitas) Solução Não Admissível (pelo menos uma restrição não é satisfeita) Região Admissível (conjunto de todas as soluções admissíveis) Solução Óptima (é a solução admissível que conduz ao maior valor possível no caso da maximização e ao menor valor possível para a minimização) Solução Admissível em Ponto de Quebra (solução num canto da região admissível) Relação entre Soluções Óptimas e Soluções Admissíveis em Pontos de Quebra Considerando um problema de programação linear com soluções admissíveis e uma região admissível limitada, então, o problema tem soluções admissíveis em pontos de quebra e uma delas será a solução óptima. Se o problema tem uma solução óptima ela será um ponto de quebra Se o problema tem soluções múltiplas pelo menos duas serão pontos de quebra

12 Cecília Rocha # 122001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Exercício Uma indústria de fabrico de televisores tem de decidir o número de aparelhos de TV de 20 e 27 a produzir nas suas instalações. A pesquisa de mercado efectuada indica que, no máximo, podem ser vendidas 40 unidades de 27 e 10 unidades de 20 por mês. O número máximo de horas disponíveis para a produção é de 500 horas mensais. Um televisor de 27 demora 20 horas de trabalho e o de 20 requer 10 horas de trabalho. Cada televisor de 27 vendido permite obter um lucro de 120 u.m. e o de 20 um lucro de 80 u.m.. Um vendedor concordou em comprar todos os televisores produzidos se o seu número não exceder o máximo indicado na pesquisa de mercado. a) Formular um modelo de programação linear para este problema. método gráfico. b) Resolver este problema pelo método gráfico.

13 Cecília Rocha # 132001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Exercício A direcção escolar de uma cidade tomou a decisão de fechar uma das suas escolas secundárias (6º, 7º e 8º ano) no fim do ano escolar, distribuindo os seus alunos pelas outras escolas. A direcção regional providenciará o transporte de todos os estudantes que tenham de percorrer um trajecto superior a 1 milha, por isso, a direcção escolar pretende definir um plano de distribuição dos alunos que minimize o custo total de transporte. O custo anual do transporte por aluno de cada uma das 6 áreas residenciais para cada uma das escolas é dado no quadro seguinte, em que 0 indica que não há necessidade de transporte e – que não é possível efectuar o transporte. Custo de Transporte por Aluno (u.m.) ÁreaN.º Alunos% no 6º Ano% no 7º Ano% no 8º AnoEscola 1Escola 2Escola 3 1450323830300 0 700 2600372835 - 400500 3550303238600300200 4350284032200500 - 5 393427 0- 400 6450342838500300 0 Capacidade da Escola9001 1001 000

14 Cecília Rocha # 142001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 2ª Aula (cont.) 2ª Aula (cont.) Exercício (cont.) A direcção escolar também impôs restrições na percentagem de alunos que integram cada ano escolar, devendo esta percentagem situar-se entre 30 e 35% do total de alunos de cada escola. O quadro anterior indica as percentagens de alunos que frequentarão cada nível de escolaridade no próximo ano lectivo. Os alunos de cada área poderão ser distribuídos por mais do que uma escola, mantendo-se a proporcionalidade de alunos em cada ano. a) Formule um modelo de programação linear para este problema