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©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo 1 II. Programação Linear (PL) Capítulo 7.1: O problema de transporte (PT). Definição e apresentação sobre forma de rede.

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1 © Prof.ª Gladys Castillo 1 II. Programação Linear (PL) Capítulo 7.1: O problema de transporte (PT). Definição e apresentação sobre forma de rede. Formulação do caso equilibrado e não equilibrado. Exemplos Propriedades fundamentais.

2 © Prof.ª Gladys Castillo 2 Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Um dos principais produtos da firma Lactosal é o leite. Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricas e depois são distribuídos de camião para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se: OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE.

3 © Prof.ª Gladys Castillo 3 Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de camião/dia, são os seguintes: 24 cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas Custo por carga de camião Armazéns Fábricas1234Oferta Procura4767

4 © Prof.ª Gladys Castillo 4 Minimizar z = x x x x x x x x x x 33 + x 34 sujeito a: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 6 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 8 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 10 x 11 + x 21 + x 31 = 4 x 12 + x 22 + x 32 = 7 x 13 + x 23 + x 33 = 6 x 14 + x 24 + x 34 = 7 x ij 0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 ) Formulação do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo.

5 © Prof.ª Gladys Castillo 5 x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 A= Matriz de Restrições do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo. A matriz das restrições do problema de transporte para o exemplo protótipo apresenta a seguinte estrutura:

6 © Prof.ª Gladys Castillo 6 Fábricas Armazéns c 11 x 11 c 34 x 34 Problema de Transporte sob a forma de Rede. Exemplo Protótipo.

7 © Prof.ª Gladys Castillo 7 Cargas de leite Unidades de um produto 3 fábricas 3 fábricas m origens 4 armazéns 4 armazéns n destinos Produção da fábrica Produção da fábrica i a i oferta da origem i a i oferta da origem i Procura no armazém Procura no armazém j b j procura no destino j b j procura no destino j Custo de transporte por carga da fábrica para o armazém Custo de transporte por carga da fábrica i para o armazém j c ij custo por unidade transportada da origem i para o destino j Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT

8 © Prof.ª Gladys Castillo 8 x ij cargas a distribuir da fábrica para o armazém x ij cargas a distribuir da fábrica i para o armazém j x ij unidades a distribuirda origem i para o destino j o plano óptimo de distribuição diária do leite a minimização do custo total Determinar o plano óptimo de distribuição diária do leite das fábricas pelos armazéns tendo como objectivo a minimização do custo total o plano óptimo de distribuição desse produto minimização do custo total Determinar o plano óptimo de distribuição desse produto das origens pelos destinos tendo como objectivo a minimização do custo total Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT

9 © Prof.ª Gladys Castillo 9 Oferta total = Procura total Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso contrário está não equilibrado. Problema de Transporte. Caso Equilibrado.

10 © Prof.ª Gladys Castillo 10 Oferta total = Procura total Destino Origem Oferta Procura = x 11 x 12 x 14 x 21 x 22 x 24 3 x 13 2 x x 31 x 32 x 34 2 x 33 Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total. Este problema está equilibrado. Problema de Transporte.Caso equilibrado. Exemplo protótipo

11 © Prof.ª Gladys Castillo 11 Minimizar sujeito a: restrições de oferta restrições de procura Problema de Transporte. Formulação como problema de PL.

12 © Prof.ª Gladys Castillo 12 Origens Destinos c 11 x 11 c ij x ij c mn x mn a1a1a1a1 aiaiaiai amamamam b1b1b1b1 bjbjbjbj bnbnbnbn 11 ii mm jj nn Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rede representados por nodos e arcos. Os nodos representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos através dos quais o produto pode ser transportado. Problema de transporte sob a forma de rede.

13 © Prof.ª Gladys Castillo 13 O problema de transporte apresenta uma estrutura especial evidenciada pela disposição das restrições: A matriz dos coeficientes das restrições é apenas constituída por uns (1) e zeros (0). Cada variável x ij tem como coeficientes apenas 2 uns : um na linha associada à origem i e outro na linha relativa ao destino j x 11 x x 1n x 21 x x 2n … x m1 x m2... x mn A=... restrições dos destinos restrições das origens Problema de Transporte. Estrutura especial da matriz de restrições.

14 © Prof.ª Gladys Castillo 14 Destino Origem 1 2 … n n+1 Oferta m2...m112...m2...m a1 a2...ama1 a2...ama1 a2...ama1 a2...am Procura b 1 b 2 … b n a i - b j a i - b j c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn x 11 x 12 x 1n … x 21 x 22 x 2n … x m1 x m2 x mn … x 1 n+1 x 2 n+1 x m n+1 Adicionar destino fictício Problema de Transporte. Oferta total superior à procura total

15 © Prof.ª Gladys Castillo 15 Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. Uma multinacional produz aviões comerciais para diversas companhias de aviação. A última etapa no processo de produção é a produção de motores seguido da sua instalação no avião. Para cumprir os contratos estabelecidos deve ser determinado o plano óptimo de produção dos motores para os próximos quatro meses.

16 © Prof.ª Gladys Castillo 16 os custos em milhões de dólares Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. Os dados para o plano da produção para os quatro meses futuros são os seguintes: Mês Instalações programadas Produção máxima Custo unitário de produção Custo unitário de armazenamento

17 © Prof.ª Gladys Castillo 17 Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como: Origem i - produção de motores no mês i (i =1,2,3,4) Destino j - instalação de motores no mês j ( j=1,2,3,4 ) x ij - quantidades de motores produzidos no mês i a serem instalados no mês j x ij = 0, se i > j (primeiro produzir, depois instalar) c ij - custo por unidade de produção e armazenamento c ij = M, se i>j, como não existe custo real associado com estes dados, podem ser penalizados com um M arbitrariamente grande.

18 © Prof.ª Gladys Castillo 18 x 11 + x 12 + x 13 + x x 21 + x 22 + x 23 + x x 31 + x 32 + x 33 + x x 41 + x 42 + x 43 + x Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade. Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de ofertas. As restrições de oferta correspondem à produção de motores para cada mês i. Estas restrições são de desigualdade limitadas pela capacidade máxima de produção por mês.

19 © Prof.ª Gladys Castillo 19 x 11 + x 21 + x 31 + x 32 = 10 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 15 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 25 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 20 Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal como no método do big M. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de procuras. As restrições de procura correspondem ao plano de instalação para cada mês j. Estas restrições são de igualdade, correspondendo ao número de instalações requisitadas para cada mês.

20 © Prof.ª Gladys Castillo 20 Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro: x , Os custos são calculados tomando os dados dos custos de produção e de armazenamento. Por exemplo para a variável x 24 que representa o número de motores produzidos no mês 2 a serem instalados no mês 4, o custo correspondente c 24 = =1.140 Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total -Procura Total = = 30 u. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Quadro do problema de transporte.

21 © Prof.ª Gladys Castillo 21 Destino Origem 1 2 … n Oferta m m+1 a1 a2...ama1 a2...ama1 a2...ama1 a2...am Procura b 1 b 2 … b n b j - a i b j - a i c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn x 11 x 12 x 1n … x 21 x 22 x 2n … x m1 x m2 x mn … x m+1,1 x m+1,2 x m+1,n … Origem fictícia Problema de Transporte. Oferta total inferior à procura total

22 © Prof.ª Gladys Castillo 22 Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de agua. Uma empresa administra a distribuição de água duma região. Para isto é preciso canalizar a água de 3 rios que estão situados fora da região e distribui-la para 4 cidades. Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a água disponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a pelo menos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma, minimizando o custo total.

23 © Prof.ª Gladys Castillo 23 Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes: os custos por unidade de medida. A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível. Neste caso é preciso penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande. A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. Cidade Rio 1234Fornece Necessidades mínimas Procura507030

24 © Prof.ª Gladys Castillo 24 Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como: Origem i – o rio i (i =1,2,3) Destino j – a cidade j ( j=1,2,3,4 ) x ij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j c ij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j

25 © Prof.ª Gladys Castillo 25 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 50 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 60 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 50 Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de ofertas. As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios (origens). Como deverá ser distribuída toda a água disponível dos 3 rios, estas 3 restrições são de igualdade, uma por cada rio.

26 © Prof.ª Gladys Castillo 26 x 11 + x 21 + x Cidade 1 Cidade 1: procura > necessidade x 11 + x 21 + x limite inferior limite superior Cidade 2 Cidade 2: procura = necessidade x 12 + x 22 + x 32 = 70 x 13 + x 23 + x Cidade 3 Cidade 3: procura > necessidade limite superior Cidade 4 Cidade 4: procura > necessidade x 14 + x 24 + x limite inferior x 14 + x 24 + x limite superior = 60 O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado como a diferença entre a oferta total ( =160) e a soma das necessidades mínimas para as restantes cidades ( =100) = 60 unidades. (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4 para além da necessidade mínima ) Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de procura. As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (excepto a cidade 2, onde coincidem a procura com a necessidade mínima).

27 © Prof.ª Gladys Castillo 27 Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a: Procura Total -Oferta Total = = 50 unidades. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Quadro do problema de transporte.

28 © Prof.ª Gladys Castillo 28 Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re-analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício. Cidade 3 Cidade 3: Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada. Cidade 4 Cidade 4: procura > necessidade (60 > 10). Como o rio fictício fornece apenas 50 unidades, pelo menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício.

29 © Prof.ª Gladys Castillo 29 Cidade 2 Cidade 2: procura = necessidade Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício. Para isto é preciso penalizar com M o percurso que une o rio fictício com a cidade 2. Cidade 1 Cidade 1: procura > necessidade Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo. Cidade 1 Cidade 1: procura > necessidade Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício.

30 © Prof.ª Gladys Castillo 30 O rio fictício está penalizado para a cidade 2 A cidade 1 foi dividida em duas para garantir as necessidades mínimas de 30 unidades. O rio fictício está penalizado para a cidade 1'. Este é o quadro final dos custos para o problema de distribuição da água, formulado como problema de transporte: Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Formulação como P.T.

31 © Prof.ª Gladys Castillo 31 Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(1). Se um problema de transporte está equilibrado, i.e., a oferta total é igual à procura total, então tem sempre soluções admissíveis. Se um problema de transporte não está equilibrado,i.e., a oferta total não é igual à procura total, então pode ser introduzida uma origem ou um destino fictício para converter as restrições de desigualdade em igualdade e poder obter assim um problema equilibrado. O problema de transporte tem sempre óptimo finito. Qualquer SBA do problema de transporte tem no máximo m+n-1 variáveis básicas Do total de m+n equações só m+n-1 são linearmente independentes, existindo sempre uma equação redundante, i.e., uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes.

32 © Prof.ª Gladys Castillo … … … … … 0 1 B= Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(2). A base correspondente a qualquer SBA do problema de transporte é uma matriz triangular. Se as quantidades das ofertas e procuras são valores inteiros, então qualquer SBA tem sempre valores inteiros. Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e 1, a resolução do sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumem apenas valores inteiros, pois apenas exige adições e subtracções.

33 © Prof.ª Gladys Castillo 33 B Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n-1=6, qualquer base B tem dimensão 6x6. Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P 11, P 12, P 22, P 23, P 33, P 34 e eliminando à restrição 4. P 11 P 12 P 13 P 14 P 21 P 22 P 23 P 24 P 31 P 32 P 33 P 34 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) A= P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) (2) (3) (5) (6) (7) B = P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) (5) (2) (6) (3) (7) B = Base e Solução Básica Admissível para o PT. B Trocando as linhas obtém-se uma matriz B triangular

34 © Prof.ª Gladys Castillo 34 X B x 11 x 12 x 22 x 23 x 33 x = X= (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7) Uma SBA do problema é: X = (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7) Como a matriz B é triangular a solução do sistema é imediata: P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) (5) (2) (6) (3) (7) x 34 =7 x 33 + x 34 =10 x 23 + x 33 = 6 x 33 =3 x 23 =3 x 22 + x 23 = 8 x 22 =5 x 12 + x 22 = 7 x 12 =2 x 11 + x 12 = 6 x 11 =4 Uma Solução básica Admissível para o PT.


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