A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Cecília Rocha # 12001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula 8ª Aula Método Simplex aplicado ao Problema de Transportes Como os Problemas de Transportes.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Cecília Rocha # 12001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula 8ª Aula Método Simplex aplicado ao Problema de Transportes Como os Problemas de Transportes."— Transcrição da apresentação:

1 Cecília Rocha # 12001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula 8ª Aula Método Simplex aplicado ao Problema de Transportes Como os Problemas de Transportes são um dos tipos de problemas de programação linear, por isso, é possível resolvê-los pelo método Simplex dado nas 2 aulas anteriores. No entanto, dada a especificidade destes problemas, o método simplex pode ser simplificado – Método Simplex dos Transportes. Preparação do Método Após construir o quadro dos coeficientes das restrições para o método simplex, converter a função objectivo para a forma de maximização e introduzir as variáveis artificiais z1, z2,..., zm+n, obter-se-á o seguinte quadro simplex: Variáveis Básicas Equação Coeficientes Lado Direito Z...x ij...zizi z m+j... Z(0)c ij MM0 (1)... zizi (i)011sisi... z m+j (m+j)011djdj... (m+n)

2 Cecília Rocha # 22001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Preparação do Método Falta agora realizar algumas operações algébricas antes da 1ª iteração para eliminar os coeficientes das variáveis (artificiais) básicas iniciais da linha (0) que sejam diferentes de zero. Após essas operações, a nova linha (0) terá a seguinte forma: Onde: u i u i – múltiplo da linha original (i) que tem de ser subtraído (directa ou indirectamente) à linha original (0) no método simplex, durante todas as operações que levam ao quadro actual v j v j – múltiplo da linha original (m+j) que tem de ser subtraído (directa ou indirectamente) à linha original (0) no método simplex, durante todas as operações que levam ao quadro actual Se x ij é uma variável não básica, então c ij – u i – v j é interpretada como a taxa a que Z se irá alterar à medida que x ij aumenta Variáveis Básicas Equação Coeficientes Lado Direito Z...x ij...zizi z m+j... Z(0)C ij – u i - v j M - u i M - v j

3 Cecília Rocha # 32001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Preparação do Método Em primeiro lugar, não são necessárias variáveis artificiais porque se pode obter uma solução básica inicial com métodos auxiliares simples A linha (0) pode ser obtida sem utilizar qualquer outra linha, calculando os valores actuais de ui e vj directamente. Dado que cada variável básica tem de ter coeficiente zero na linha (0), os valores de ui e vj podem ser obtidos pela resolução de um conjunto de equações: A variável básica de saída pode ser identificada facilmente sem utilizar os coeficientes das variáveis básicas de entrada, assim como, a nova SBA pode ser detectada imediatamente sem se realizarem nenhumas operações algébricas. Deste modo podemos prescindir de quase todo o quadro do método simplex. Quadro Simplex dos Transportes Além dos dados de base (parâmetros c ij, oferta s i e procura d j ), o método simplex dos transportes só precisa da SBA inicial, dos valores actuais de u i e v j e dos valores resultantes da operação c ij – u i – v j para as variáveis não básicas x ij. Estes dados podem ser organizados num quadro denominado – Quadro Simplex dos Transportes. c ij – u i – v j = 0 para cada i e j em que x ij é variável básica

4 Cecília Rocha # 42001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Preparação do Método F ormato do quadro simplex dos transportes Origem Iteração ? Destino Ofertau i = c ij - v j n 1 c11c12c1n s1 2 c21c22c2n s2... m cm1cm2cmn sm Procurad1d2dn Z = V j = c ij - u i c ij c ij – u i - v j x ij Variável Básica Variável Não Básica

5 Cecília Rocha # 52001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Inicialização do Método dos Transportes e de Distribuição O objectivo da inicialização é obter uma Solução Básica Admissível (SBA) inicial. Antes de começar este processo de inicialização, temos de garantir que: A razão para esta situação é que as restrições têm a forma de igualdades e o conjunto das m+n restrições tem uma que é dispensável (por exemplo, uma das restrições de procura é igual à soma das restrições de oferta menos as outras restrições de procura). Assim, qualquer solução básica aparece no Quadro dos Transportes com m+n-1 variáveis rodeadas com um círculo, em que a soma em linha e coluna, corresponde à oferta e procura, respectivamente. Procedimento para obter uma Solução Básica Inicial Das linhas e colunas em consideração seleccionar a próxima VB, de acordo com algum critério Atribuir à VB um valor que corresponda à oferta ou procura remanescente, a que for menor Eliminar essa linha ou coluna dos cálculos seguintes (se a linha e colunas se anularem em simultâneo, escolha a linha para ser eliminada, posteriormente, a coluna servirá para atribuir o valor zero a uma variável degenerada) Se só resta uma linha ou coluna, então o processo termina com a consideração de todas as variáveis ainda sem valor atribuído. Número de Variáveis Básicas = m + n - 1

6 Cecília Rocha # 62001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Exercício Exemplo (recordar) Suponha que Inglaterra, França e Espanha produzem todo o trigo, cevada e aveia disponível no mundo. A procura mundial de trigo corresponde à produção de 125 milhões de acres de solo. Com o mesmo objectivo são necessários 60 milhões de acres para cevada e 75 milhões de acres para aveia. O total de solo agrícola disponível para este propósito, em Inglaterra, França e Espanha é de, respectivamente, 70 milhões, 110 milhões e 80 milhões de acres. O número de horas de trabalho necessárias para produzir 1 acre de trigo é de 18h em Inglaterra, 13 em França e 16 em Espanha. No caso do cevada são necessárias 15h em Inglaterra e 12h em França e em Espanha. Para o aveia são precisas 12h em Inglaterra, 10 em França e 16 em Espanha. O custo da hora de trabalho para produção de trigo é de 3 u.m., 2.4 u.m. e 3.3 u.m., respectivamente em Inglaterra, França e Espanha. Para a produção de cevada o custo da hora de trabalho será de 2.7 u.m., 3.0 u.m. e 2.8 u.m. em Inglaterra, França e Espanha. No caso da aveia haverá um custo da hora de trabalho de 2.3 u.m. em Inglaterra, 2.5 u.m. em França e 2.1 u.m. em Espanha. O problema é definir a melhor distribuição da produção em cada país, de forma a satisfazer as necessidades mundiais de trigo, cevada e aveia mas minimizando o custo de produção total. a) Formular este problema como um Problema de Transportes, construindo o quadro de custos e requisitos; b) Utilize uma rotina automática do SOLVER para encontrar um solução óptima para o problema; c) Utilize o método de Vogel e o método do Custo Mínimo para determinar uma solução básica admissível inicial; d) Resolva pelo Método dos Transportes.

7 Cecília Rocha # 72001/2002 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Alternativas para escolher uma Solução Básica Inicial Método do Canto Noroeste Começar pela variável x 11 Se houver ainda oferta disponível, passar para a variável x i+1, j Se só houver procura disponível, passar para a variável x i, j+1 Prosseguir até obter todas as variáveis básicas (as que têm um círculo) e todas as outras variáveis (não básicas) serão zero. O valor da Função Objectivo Z = 54* * * * *75 = u.m. I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL Destinos Ofertauiui 123 Origens Procura Z = vjvj

8 Cecília Rocha # 82001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Alternativas para escolher uma Solução Básica Inicial Método de Vogel Calcular as diferenças, em linha e coluna, entre os 2 valores menores Seleccionar a maior diferença global (considerando as linhas e colunas em conjunto) Na coluna da maior diferença, escolher o menor custo e atribuir à variável correspondente o menor valor entre a oferta e a procura Eliminar a linha ou coluna respectiva Repetir o procedimento Destinos Oferta Diferença entre linhas 123 Origens – 27.6 = – 31.2 = – 33.6 = 0 Procura Seleccionar x 21 = 110 Diferença entre colunas 52.8 – 31.2 = – 33.6 = – 25 = 2.6 Eliminar a linha (2) Destinos Oferta Diferença entre linhas 123 Origens – 27.6 = – 33.6 = 0 Procura Seleccionar x 13 = 70 Diferença entre colunas 54 – 52.8 = – 33.6 = – 27.6 = 6.0 Eliminar a linha (1)

9 Cecília Rocha # 92001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Alternativas para escolher uma Solução Básica Inicial Método de Vogel Destinos Oferta Diferença entre linhas 123 Origens – 33.6 = 0 Procura15605 Seleccionar x 31 = 15 Diferença entre colunas Seleccionar x 32 = 60 Seleccionar x 33 = 5 Z = (repetido) Destinos Oferta Diferença entre linhas 123 Origens – 27.6 = – 33.6 = 0 Procura Seleccionar x 13 = 70 Diferença entre colunas 54 – 52.8 = – 33.6 = – 27.6 = 6.0 Eliminar a linha (1)

10 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Alternativas para escolher uma Solução Básica Inicial Método do Custo Mínimo Seleccionar o menor custo de todo o Quadro de Custos (atribuir à variável x 23 = 75 ) Procurar sequencialmente os menores valores possíveis (x 13 não pode ser, dado que já se satisfez toda a procura) ( x 21 = 35, valor excedente da oferta) ( x 32 = 60, satisfaz toda a procura) ( x 12 e x 22, não podem ser, dado que já se satisfez toda a procura) ( x 31 = 20, valor excedente da oferta) ( x 11 = 70, valor da oferta) Destinos Oferta 123 Origens Procura Z =

11 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Exercício Exemplo (recordar) Suponha que Inglaterra, França e Espanha produzem todo o trigo, cevada e aveia disponível no mundo. A procura mundial de trigo corresponde à produção de 125 milhões de acres de solo. Com o mesmo objectivo são necessários 60 milhões de acres para cevada e 75 milhões de acres para aveia. O total de solo agrícola disponível para este propósito, em Inglaterra, França e Espanha é de, respectivamente, 70 milhões, 110 milhões e 80 milhões de acres. O número de horas de trabalho necessárias para produzir 1 acre de trigo é de 18h em Inglaterra, 13 em França e 16 em Espanha. No caso do cevada são necessárias 15h em Inglaterra e 12h em França e em Espanha. Para o aveia são precisas 12h em Inglaterra, 10 em França e 16 em Espanha. O custo da hora de trabalho para produção de trigo é de 3 u.m., 2.4 u.m. e 3.3 u.m., respectivamente em Inglaterra, França e Espanha. Para a produção de cevada o custo da hora de trabalho será de 2.7 u.m., 3.0 u.m. e 2.8 u.m. em Inglaterra, França e Espanha. No caso da aveia haverá um custo da hora de trabalho de 2.3 u.m. em Inglaterra, 2.5 u.m. em França e 2.1 u.m. em Espanha. O problema é definir a melhor distribuição da produção em cada país, de forma a satisfazer as necessidades mundiais de trigo, cevada e aveia mas minimizando o custo de produção total. a) Formular este problema como um Problema de Transportes, construindo o quadro de custos e requisitos; b) Utilize uma rotina automática do SOLVER para encontrar um solução óptima para o problema; c) Utilize o método de Vogel e o método do Custo Mínimo para determinar uma solução básica admissível inicial; d) Resolva pelo Método dos Transportes.

12 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Teste de Optimização Assim, só é necessário calcular todos os valores de c ij – u i – v j Deve-se iniciar o cálculo pela linha ou coluna que tenha mais variáveis básicas, como forma de facilitar os cálculos Esta já é a Solução Óptima, no caso de utilizarmos como Solução Básica Inicial a obtida pelo Método de Vogel Uma Solução Básica Admissível é óptima se e só se c ij – u i – v j 0, para todo (i, j) em que x ij é variável não básica. Destinos Ofertauiui 123 Origens U1 = C13-V = U2 = C21-V = U3 = Procura Z = vjvj V1 = 52.8V2 = 33.6V3 =

13 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Processo Iterativo Teste de Optimização Ainda não é a solução óptima ! Escolher a VB Entrada Como c ij – u i – v j representa a taxa a que a função objectivo irá evoluir à medida que a variável não básica x ij aumenta, a VBE deverá ter um coeficiente c ij – u i – v j negativo para diminuir o custo total. A VBE será a que tem coeficiente c ij – u i – v j mais negativo, ou seja, x 13 Destinos Ofertauiui 123 Origens U1 = U2 = U3 = Procura Z = vjvj V1 = 0V2 = 33.6 – 52.8 = -19.2V3 = 33.6 – 52.8 =

14 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Processo Iterativo Escolher a VB Saída Aumentar a VBE irá provocar uma reacção em cadeia, na cadeia por nós definida. Assim, passaremos a ter células receptoras e células fornecedoras, representadas no Quadro dos Transportes pelos sinais + e – Neste caso iremos utilizar a cadeia marcada a vermelho O valor a transferir das células fornecedoras para as receptoras é dado pelo mínimo (x 11 = 70, x 23 = 75), ou seja, 70 VBE = x 11 Destinos Ofertauiui 123 Origens U1 = U2 = U3 = Procura Z = vjvj V1 = 0V2 = 33.6 – 52.8 = -19.2V3 = 33.6 – 52.8 =

15 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.) Processo Iterativo Identificar a nova SB Admissível Destinos Ofertauiui 123 Origens U1 = C13-V = U2 = U3 = Procura Z = vjvj V1 = 0V2 = 33.6 – 52.8 = -19.2V3 = 25 – 31.2 = Destinos Ofertauiui 123 Origens U1 = C13-V = U2 = U3 = Procura Z = vjvj V1 = 0V2 = 33.6 – 52.8 = -19.2V3 = 33.6 – 52.8 =

16 Cecília Rocha # /2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula (cont.) 8ª Aula (cont.)


Carregar ppt "Cecília Rocha # 12001/2002 I NVESTIGAÇÃO O PERACIONAL 8ª Aula 8ª Aula Método Simplex aplicado ao Problema de Transportes Como os Problemas de Transportes."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google