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Como classificar os máximos e mínimos Capítulo 3 - Aplicações das Derivadas.

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1 Como classificar os máximos e mínimos Capítulo 3 - Aplicações das Derivadas

2 Definição - Extremos Absolutos Seja f uma função de domínio D. Então f(c) é: (a) o máximo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para qualquer que seja x em D. (b)o mínimo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para qualquer que seja x em D.

3 Exemplo 3 - Encontrando Extremos Absolutos FunçãoDomínio DExtremos Absolutos em D (a) Ausência de máximo absoluto. Mínimo absoluto 0 quando x = 0. (b) Máximo absoluto 4 quando x = 2. Mínimo absoluto 0 quando x = 0. (c) Máximo absoluto 4 quando x = 2. Ausência de mínimo absoluto. (d) Ausência de extremos absolutos.

4 Teorema 1 - O Teorema de Valor Extremo para Funções Contínuas Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f assume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I. Ou seja, há números x 1 e x 2 em I tais que f (x 1 ) = m e f (x 2 ) = M e m f(x) M para qualquer outro valor de x em I. (Figura abaixo)

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6 Definição - Extremos Locais Seja c um ponto interior do domínio da função f. Então f (c) será (a) um valor máximo local em c se e somente se f (x) f (c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c. (b) um valor mínimo local em c se e somente se f (x) f (c) para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c. Teorema 2 - Extremos Locais Se uma função f possui valores máximo ou mínimo locais em um ponto c interior de seu domínio e se f existe em c, então f (c) = 0.

7 Definição - Ponto Crítico Um ponto de uma função f onde f = 0 ou f não existe é um ponto crítico de f. Exemplo 5 - Encontrando os Extremos Absolutos em um Intervalo Fechado Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f (x) = 10x(2 - ln x) no intervalo [1, e 2 ]. Solução: A figura 3.6 (próximo slide) sugere que f tem seu valor máximo absoluto próximo de x = 3 e que, quando x = e 2, seu valor mínimo absoluto é 0.

8 Os valores extremos de f (x) = 10x(2 - ln x) ocorrem quando x = e e x = e 2.

9 Calculamos a função nos pontos críticos e nas extremidades e, dentre os valores obtidos, tomamos o maior e o menor. A primeira derivada é O único ponto crítico no domínio [1, e 2 ] é o ponto x = e, onde ln x = 1. Os valores de f nesse único ponto crítico e nas extremidades são Valor no ponto crítico: Valores nas extremidades: A partir dessa lista podemos ver que o máximo absoluto dessa função 10e 2,72. Que ocorre no ponto crítico interior x = e. O mínimo absoluto é 0 e ocorre na extremidade direita, quando x = e 2.

10 Como Determinar os Extremos Absolutos de uma Função Contínua f em um Intervalo Fechado Passo 1: Calcule f em todos os pontos críticos e extremidades. Passo 2: Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos. Exemplo 6 - Determinando Extremos Determine os valores extremos de Solução: A função f possui um mínimo absoluto de aproximadamente 0,5 quando x = 0. Também parece haver haver dois máximos locais quando x = -2 e x = 2. No entanto, nesses pontos a função não está definida e não parece haver nenhum outro valor máximo.

11 A função f está definida apenas para 4 - x 2 > 0, portanto seu domínio é o intervalo aberto (-2, 2). O domínio não tem extremidades, logo todos os extremos da função deverá ocorrer em pontos críticos. Rescrevemos a fórmula de f para determinar f. Assim, O único ponto crítico no domínio (-2, 2) é x = 0. Portanto, o valor É a única possibilidade de valor extremo.

12 Para determinar se 1/2 é um valor extremo de f, examinamos a fórmula À medida que x se afasta de 0 para ambos os lados, os valores de f aumentam e o gráfico sobe. Temos um valor mínimo quando x = 0, e o mínimo é absoluto. A função não possui máximos, nem locais nem absolutos. Isso não vai contra o Teorema 1 (Teorema do Valor Extremo), pois aqui f é definida em um intervalo aberto. Para que haja pontos extremos, o Teorema 1 exige um intervalo fechado.

13 Exemplo 7 - Pontos Críticos não Precisam Gerar Valores Extremos Embora os extremos de uma função possam ocorrer apenas em pontos críticos e extremidades, nem todo ponto crítico ou extremidade indica a presença de um valor extremo. Pontos críticos sem valores extremos: (a) y= 3x 2 é 0 quando x = 0, mas y = x 3 não possui nenhum extremo nesse ponto. (b) y= (1/3)x -2/3 não é definida quando x = 0, mas y = x 1/3 não possui nenhum extremo nesse ponto.

14 Teorema 3 - O Teorema de Rolle Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] e derivável em todos os pontos de (a, b). Se Então há pelo menos um número c em (a, b) onde f(c) = 0. O Teorema de Rolle diz que uma curva derivável tem ao menos uma tangente horizontal entre dois pontos quaisquer onde a curva cruza o eixo x. Essa curva tem três.

15 Teorema 4 - O Teorema do Valor Médio Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b). Então há pelo menos um ponto c em (a, b) em que Geometricamente, o Teorema do Valor Médio diz que, em algum lugar entre A e B, a curva apresenta pelo menos uma tangente paralela à corda AB.

16 Corolário 1 - Funções com Derivadas Nulas são Funções Constantes Se f (x) = 0 em todos os pontos de um intervalo I, então f (x) = C para qualquer x em I, onde C é uma constante. Definições - Função Crescente, Função Decrescente Seja f uma função definida em um intervalo I. Então, 1. f é crescente em I se, para todos os pontos x 1 e x 2 em I, 2. f é decrescente em I se, para todos os pontos x 1 e x 2 em I,

17 Corolário 3 - Teste da Primeira Derivada para Crescimento e Decrescimento Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f > 0 em todos os pontos de (a, b), então f é crescente em [a, b]. Se f < 0 em todos os pontos de (a, b), então f é decrescente em [a, b]. O Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais 1. Se f é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então f possui um mínimo local em c. 2. Se f é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c, então f possui um máximo local em c. 3. Se f possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então c não é um extremo local de f.

18 O gráfico de f (x) = x 3 é côncavo para baixo em e côncavo para cima em

19 Definição - Concavidade O gráfico de uma função derivável y = f (x) é (a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se y é crescente em I. (b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se y é decrescente em I. Exemplo 3 - Aplicando o Teste de Concavidade A curva y = x 2 é côncava para cima em qualquer intervalo, pois sua segunda derivada y = 2 é sempre positiva.

20 Definição - Ponto de Inflexão Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão. Teorema 5 - O Teste da Segunda Derivada para Extremos Locais 1. Se f (c) = 0 e f (c) < 0, então f possui um máximo local quando x = c. 2. Se f (c) = 0 e f (c) > 0, então f possui um mínimo local quando x = c.

21 Exemplo 9 - Usando o Teste da Segunda Derivada Determine os extremos de f (x) = x x - 5. Solução: Temos que Testando os pontos críticos (não há extremidades), temos que possui um máximo local quando x = -2 e possui um mínimo local quando x = 2.

22 Estratégias para Resolver Problemas de Máximo e Mínimo Passo 1. Compreendendo o Problema Leia o problema atentamente. Identifique as informações necessárias para resolvê-lo. O que é desconhecido? O que é dado? O que é pedido? Passo 2. Desenvolva um Modelo Matemático para o Problema Desenhe figuras e indique as partes que são importantes para o problema. Introduza uma variável para representar a quantidade a ser maximizada ou minimizada. Utilizando essa variável, escreva uma função cujo valor extremo forneça a informação pedida. Passo 3. Determine o Domínio da Função Determine quais valores da variável têm sentido no problema. Se possível, esboce o gráfico da função.

23 Passo 4. Identifique os Pontos Críticos e as Extremidades Determine onde a derivada é zero ou não existe. Utilize aquilo que você sabe sobre a forma do gráfico de uma função e sobre a física do problema. Use a primeira e a segunda derivada para identificar e classificar pontos críticos (onde f = 0 ou não existe). Passo 5. Resolva o Modelo Matemático Se não estiver seguro sobre o resultado, utilize outro método para embasar ou confirmar sua solução. Passo 6. Interprete a solução Traduza seu resultado matemático de volta para a linguagem original do problema e decida se o resultado tem sentido ou não.

24 Exemplo 3 - Inscrevendo Retângulos Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 2. Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são suas dimensões? Solução: Modelo Sejam as coordenadas do vértice do retângulo obtidas colocando-se o retângulo e a semicircunferência no plano cartesiano. O comprimento, a altura e a área do retângulo podem ser expressos em termos da posição x, no canto inferior direito da figura. Altura: Comprimento: Área:

25 Observe que o valor x deve estar no intervalo, onde está o vértice escolhido para o retângulo. Agora nosso objetivo matemático é determinar o valor máximo absoluto da função contínua no domínio [0, 2]. Identificando os Pontos Críticos e as Extremidades A derivada Não é definida quando x = 2 e é igual a zero quando

26 Multiplique ambos os lados por Das duas raízes, e, apenas a primeira está no domínio de A e faz parte da lista de pontos críticos.

27 Os valores de A nas extremidades e no único ponto crítico são Valor no ponto crítico: Valores nas extremidades: Interpretação A área máxima que o retângulo pode ter é 4 quando este tem unidades de altura e unidades de comprimento.


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