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Prof. Jorge Função afim: a função geral de 1º grau.

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1 Prof. Jorge Função afim: a função geral de 1º grau

2 Prof. Jorge A temperatura de uma substância é 30 ºC. Vamos analisar duas situações distintas.

3 Prof. Jorge Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, aumentando 10 ºC por minuto. t(min) T( o C) Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto. A taxa de variação da temperatura é positiva (10 o C/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em o C é, T = t

4 Prof. Jorge Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto. t(min) T( o C) –10– 20 Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto. A taxa de variação da temperatura é negativa (10 o C/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em o C é, T = 30 – 10.t

5 Prof. Jorge Veja os gráficos cartesianos das duas funções t(min) T( o C) t(min)T( o C) T = t

6 Prof. Jorge Veja os gráficos cartesianos das duas funções t(min) T( o C) t(min)T( o C) –10 5–20 – T = 30 – 10.t 60

7 Prof. Jorge Função afim ou de 1º grau é toda função do tipo y = f(x) = ax + b Em que a e b são constantes reais, com a 0. Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, função linear.

8 Prof. Jorge Exemplos y = f(x) = 5x – 3 é uma função afim com a = 5 e b = –3. y = f(x) = –2x é uma função afim, com a = –2 e b = 0 Nesse caso a função é chamada de linear.

9 Prof. Jorge Características da função afim y = f(x) = ax + b. A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau; seu termo independente pode ser nulo ou não. Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada de função linear. A constante real a, não-nula, é o coeficiente angular. Ela é a mesma, qualquer que seja o intervalo considerado.

10 Prof. Jorge Características da função afim y = f(x) = ax + b. A constante real b é o coeficiente linear. Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não conter origem (caso b 0). O crescimento ou o decrescimento da função estão relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0.

11 Prof. Jorge Crescimento e decrescimento. a > 0 função crescente reta ascendente ( sobe da esquerda p/ direita ) a < 0 função decrescente reta descendente ( desce da esquerda p/ direita )

12 Prof. Jorge Exemplos Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x / 2. x y –3–2 – –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –4 4 5 y = x y = x / 2 y = 2x a > 0

13 Prof. Jorge Exemplos Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x / 2 em que x y –3–2 – –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –4 4 5 y = –x y = –x / 2 y = –2x a < 0

14 Prof. Jorge A partir do gráfico da função linear y = ax, podemos obter os gráficos de todas as funções afins y = ax + b. Deslocamos o gráfico da função y = ax para cima ou para baixo, de acordo com o valor da constante b.

15 Prof. Jorge Exemplos Veja o gráficos das funções y = x; y = x + 2 e y = x – 3. x y –3–2 – –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –4 4 5 y = x a > 0 y = x – 3 y = x + 2

16 Prof. Jorge Exemplos Veja o gráficos das funções y = –2x; y = –2x – 3 e y = –2x + 4. x y –3–2 – –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –4 4 5 y = –2x + 4 y = –2x a < 0 y = –2x – 3

17 Prof. Jorge A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções afins do tipo y = f(x) = ax + b. Que relação existe entre o coeficiente b e o ponto onde cada reta corta o eixo y? b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Ou seja, a reta intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b).

18 Prof. Jorge Construir o gráfico da função y = 2x + 3. x y –3–2 – –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –4 4 5 y = 2x + 3 x 0y = = 3 1y = = 5

19 Prof. Jorge Construir o gráfico da função y = –2x – 2. x y –3–2 – –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –4 4 5 y = –2x – 2 x 0y = –2.0 – 2 = –2 1y = –2.1 – 2 = –4

20 Prof. Jorge Dois pontos determinam uma reta. Por isso, se conhecermos dois de seus pontos, podemos obter a função afim que ela representa. Ou seja, podemos obter os coeficientes a e b da função.

21 Prof. Jorge Exemplos A semi-reta da figura mostra a despesa mensal y (em milhares de reais) de uma empresa, para produzir x toneladas no mês. a)Escrever y em função de x. b)Obter a despesa na produção de 76 t. c)Obter o número de toneladas produzidas, para uma despesa de 93 mil reais. x y Despesa (milhares de reais) Produção (t)

22 Prof. Jorge Exemplos Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função. x y A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a 0). Para x = 0 y = 4 Para x = 2 y = 0, substituindo em y = ax + b, temos 0 = a –2a = 4 a = –2 y = –2x + 4 b = 4.

23 Prof. Jorge Exemplos Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função. A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a 0). Para x = 0 y = 1 Para x = –2 y = –1, substituindo em y = ax + b, temos –1 = a.(–2) + 1 2a = 2 a = 1 y = x + 1 b = 1. x y 0 –2 1 –1

24 Prof. Jorge Raízes e sinal da função afim

25 Prof. Jorge Nos gráficos das funções de 1º grau, a reta sempre corta o eixo x. A abscissa do ponto por onde o gráfico da função intercepta esse eixo é chamada de zero ou raiz da função. Raiz da função é o valor de x tais que f(x) = 0.

26 Prof. Jorge Exemplos Encontrar as raízes das funções de IR em IR definidas por f(x) = 3x – 6 e g(x) = –2x – 2. Queremos obter os valores de x que anulam as duas funções. f(x) = 0 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 2 g(x) = 0 –2x – 2 = 0 –2x = 2 x = –1

27 Prof. Jorge Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico abaixo. x y 0 – –– – Raiz: y = 0 para x = –2 Sinais: y < 0 para x < –2 y > 0 para x < –2

28 Prof. Jorge x y 0 –– – Raiz: y = 0 para x = 1 Sinais: y < 0 para x > 1 y > 0 para x < Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico abaixo.

29 Prof. Jorge Estudar o sinal de uma função é determinar para que valores do domínio (valores de x) a função é positiva, negativa ou nula.

30 Prof. Jorge Exemplos Estudar o sinal da função definida por f(x) = 3x – 6. Queremos saber para que valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. f(x) = 0 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 2 Primeiro vamos achar sua raiz. x 2 – + Portanto, y = 0 para x = 2 y > 0 para x > 2 y < 0 para x < 2

31 Prof. Jorge Exemplos Estudar o sinal da função definida por g(x) = –2x + 2. g(x) = 0 –2x + 2 = 0 – 2x = –2 x = 1 Primeiro vamos achar sua raiz. x 1 – + Portanto, y = 0 para x = 1 y > 0 para x < 1 y < 0 para x > 1

32 Prof. Jorge Inequações de 1º grau

33 Prof. Jorge Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas funções reais. Chamamos Inequação de incógnita x toda desigualdade condicional que apresenta uma das formas seguintes: f(x) > g(x)f(x) < g(x) f(x) g(x)f(x) g(x)

34 Prof. Jorge Solução e Conjunto-solução Solução de uma inequação é cada valor real de x que a satisfaz. Conjunto-solução de uma inequação é o conjunto de todas as soluções. Resolver uma inequação é encontrar o seu conjunto solução.

35 Prof. Jorge Equivalência de inequações Princípios de equivalência

36 Prof. Jorge Princípios de equivalência Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois membros de uma inequação. Isso equivale a transpor um termo de um membro para outro, invertendo o seu sinal. 3x + 5 > 2 3x > 2 – 5 3x > –3 x > –1 Troca de sinal –3x 6 – 4x –3x + 4x 6 x 6 Troca de sinal

37 Prof. Jorge Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k 0). No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. 3x > –12 x > –12/3 x > – 4 Manteve o sentido

38 Prof. Jorge Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k 0). No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. –5x – 15 x –15/–5 x 3 Inverteu o sentido

39 Prof. Jorge Princípios de equivalência < 3 x + 1 > 3.(–2) x + 1 > –6 Inverteu o sentido Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k 0). No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. x > –7

40 Prof. Jorge Analisando inequações graficamente A linha vermelha da figura é o gráfico da função y = f(x). Ele é formado por duas semi-retas. A partir dele, resolver as inequações f(x) > 0 e f(x) 0. x y 0 2 –4 Raízes: – 4 e 2. f(x) = 0 para x = – 4 ou x = 2 f(x) 0 para – 4 x 2 f(x) > 0 para x < – 4 ou x > 2


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