A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Prof. Jorge Funções exponenciais. Prof. Jorge As aparências enganam Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro dia, Hugo, o melhor aluno da sala em Matemática,

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Prof. Jorge Funções exponenciais. Prof. Jorge As aparências enganam Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro dia, Hugo, o melhor aluno da sala em Matemática,"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Jorge Funções exponenciais

2 Prof. Jorge As aparências enganam Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro dia, Hugo, o melhor aluno da sala em Matemática, fez a Mateus uma proposta estranha: ou melhor, as potências potências Durante 10 dias, a partir de hoje, vou lhe dar reais por dia. Em compensação, você me dará 10 reais hoje e, a cada dia até o último dia, o triplo do dia anterior.

3 Prof. Jorge A operação potenciação Se a, b e x são números reais, define-se a operação potenciação, expressa pela igualdade: a x = b a é a base x é o expoente b é a potência De acordo com o tipo de expoente, a potenciação apresenta restrições quanto ao valor da base.

4 Prof. Jorge A operação potenciação Potência de expoente natural Se a é real e n é natural, definimos: a 0 = 1(a 0) a 1 = a a n = a.a.a.....a(n 2) n fatores

5 Prof. Jorge (5) 1 = 5 Exemplos 6 0 = 1 (–2) 5 = (–2).(–2).(–2).(–2).(–2)= –32

6 Prof. Jorge A operação potenciação Potência de expoente inteiro negativo Se a e n são números reais, com a 0, define-se: a –n = 1 a n = 1 a n

7 Prof. Jorge Exemplos 5 –1 = = 1 5. – = –3 8 1 = –3 8

8 Prof. Jorge A operação potenciação Potência de expoente inteiro fracionário racional Se a é real, m e n são números inteiros, com n > 0, define-se: a = m n n a m

9 Prof. Jorge 4 Exemplos 4 1/2 = /2 = = /3 = = = 2

10 Prof. Jorge Propriedades da potenciação

11 Prof. Jorge a y b Propriedades operatórias a x. a y = a x+y a x = a x–y (a x ) y = a x.y (a.b) x = a x.b x a x b x a x =

12 Prof. Jorge Exemplos 4 0,3. 4 0,2 = 4 0,3+0,2 = 4 0,5 = 4 1/2 = 4 = 2 3 2x – 1 = 3 2x 3 1 = (3 x ) 2 3 = 3 1/ = – 1/2 = 3 9/2 5x5x 2 x.3 2x = 5 x 2 x.(3 2 ) x = 5 x 2 x.9 x = x = 5 18 x..

13 Prof. Jorge Crescimento e decrescimento exponencial

14 Prof. Jorge Crescimento exponencial Vamos imaginar o seguinte experimento. A temperatura de um líquido, inicialmente a 10 ºC, aumenta em 30% a cada minuto. Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3).

15 Prof. Jorge Crescimento exponencial Vamos obter as temperaturas em o C, em alguns instantes do experimento. Temperatura inicial: T 0 = 10 1 minuto:T 1 = 10.(1,3) 1 = 10.(1,3) 2 minutos:T 2 = 10.(1,3) 2 = 10.(1,69) = 13 = 16,9 3 minutos:T 3 = 10.(1,3) 3 = 10.(2,2)= 22 4 minutos:T 4 = 10.(1,3) 4 = 10.(2,86)= 28,6 6 minutos:T 6 = 10.(1,3) 6 = 10.(4,83)= 48,3 t minutos:T = 10.(1,3) t

16 Prof. Jorge Crescimento exponencial Veja o gráfico de T em função do tempo t. t(min) T( o C) t(min)T( o C) , ,6 648,3

17 Prof. Jorge Decrescimento exponencial Vamos supor agora a seguinte situação. A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC, diminui em 20% a cada minuto. Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8).

18 Prof. Jorge Decrescimento exponencial Vamos obter as temperaturas em o C, em alguns instantes do experimento. Temperatura inicial: T 0 = 70 1 minuto:T 1 = 70.(0,8) 1 = 70.(0,8) 2 minutos:T 2 = 70.(0,8) 2 = 70.(0,64) = 56 = 44,8 3 minutos:T 3 = 70.(0,8) 3 = 70.(0,512)= 35,8 4 minutos:T 4 = 70.(0,8) 4 = 70.(0,41)= 28,7 6 minutos:T 6 = 70.(0,8) 6 = 70.(0,262)= 18,3 t minutos:T = 70.(0,8) t

19 Prof. Jorge Decrescimento exponencial Veja o gráfico de T em função do tempo t. t(min) T( o C) t(min)T( o C) ,8 335,8 428,7 618,3

20 Prof. Jorge Funções exponenciais Funções como a que acabamos de analisar são chamadas de funções exponenciais. Nos dois casos a variável t é expoente de uma potência de base constante. T = 10.(1,3) t T = 70.(0,8) t base (1,3) Crescente. base (0,8) Decrescente.

21 Prof. Jorge Funções exponenciais elementares

22 Prof. Jorge Funções exponenciais De modo geral, se a é uma constante real (a > 0 e a 1), chamamos de função exponencial elementar de base a a função definida por: y = f(x) = a x

23 Prof. Jorge Exemplos y = 5 x base 5 y = (0,3) x base 0,3 y = 2 –x ou y = 1 2 x base 1/2

24 Prof. Jorge x y 0 – –2 Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = 2 x. Exemplos ½–1 ¼–2 y = 2 x x D = R e Im = R + * função é crescente

25 Prof. Jorge x y 0 – –2 Exemplos Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = (1/2) x. ¼2 ½1 10 2–1 4–2 y = (1/2) x x D = R e Im = R + * função é decrescente

26 Prof. Jorge Funções exponenciais - Resumo Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função exponencial elementar y = a x (a > 0 e a 1): O domínio é os Reais; O conjunto imagem é os Reais positivos; Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1. Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1.

27 Prof. Jorge Propriedades da função exponencial elementar

28 Prof. Jorge Propriedades operatórias A função exponencial y = a x (a > 0 e a 1), é injetora. Isso significa que potências de mesma base só são iguais se os expoentes forem iguais. x y 0 – –2 a m = a n m = n y = 2 x

29 Prof. Jorge Exemplos 5 x = 5 3 x = 3 3 x – 1 = 3 2 x – 1 = 2 x = 3

30 Prof. Jorge x y 0 1 Propriedades operatórias Os gráficos de todas as função exponenciais têm apenas em comum o ponto (0, 1). Isso significa que potências de bases diferentes só são iguais apenas se o expoente comum é 0. a m = b m m = 0 y = 2 x y = 4 x y = 2 –x

31 Prof. Jorge Exemplos 3 x = 7 x x = 0 2 x + 1 = 5 x + 1 x + 1 = 0 x = –1 5 3x – 6 = 7 x – 2 (5 3 ) x – 2 = 7 x – x – 2 = 7 x – 2 x – 2 = 0 x = 2

32 Prof. Jorge a m > a n m > n Propriedades operatórias A função exponencial y = a x é crescente em todo o seu domínio, se a > 1. x y 0 – –2 Quanto maior o expoente x maior é a potência a x. Mesmo sentido y = 2 x

33 Prof. Jorge a m > a n m < n Propriedades operatórias A função exponencial y = a x é decrescente em todo o seu domínio, se 0 < a < 1. Quanto maior o expoente x menor é a potência a x. Sentidos contrários x y 0 – –2 y = 2 –x

34 Prof. Jorge Exemplos 3 2 < < 5 (0,7) 3 < (0,7) –2 3 > –2 base > 1, sinal mantido 0 < a < 1, sinal invertido 2 x > 2 –3 x > –3 a > 1, sinal mantido

35 Prof. Jorge Equações e inequções exponenciais

36 Prof. Jorge Equacões exponenciais Chama-se equação exponencial toda equação cuja incognita aparece no expoente. A resolução de uma equação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. a m = a n m = n a m = b m m = 0 P1P1 P2P2

37 Prof. Jorge Exemplos Resolver as equações exponenciais. a) 3 x = 27 3 x = 27 3 x = 3 3 x = 3 b) 5 2x – 1 = x – 1 = x – 1 = 5 3 2x – 1 = 3 2x = 4 x = 2

38 Prof. Jorge Exemplos Resolver as equações exponenciais. c) 2 2x.2 x – x = 1 2 2x.2 x – x 2 2x + x + 7 – (3 – x) = x + 4 = 2 0 4x + 4 = 0 4x = –4 x = –1

39 Prof. Jorge Exemplos Resolver as equações exponenciais. d) 2 3 x + 1 = x + 1 = x + 1 = 2 3 –2 x + 1 = –2 x = –3

40 Prof. Jorge Exemplos Resolver as equações exponenciais. e) 2 x + 1 – 2 x x – 2 = 14 2 x.2 1 – 2 x x.2 –2 = 14 Vamos isolar em toda equação a potência 2 x. Fazendo 2 x = y. 2y – y + 3. y 4 = 14 8 y – 4y + 3y = 56 7 y = 56 y = 8 2 x = 8 2 x = 2 3 x = 3

41 Prof. Jorge Exemplos Resolver as equações exponenciais. f) 9 x + 3 x + 1 = 4 (3 2 ) x + 3 x.3 = 4 Vamos isolar em toda equação a potência 3 x. Fazendo 3 x = y. y 2 + 3y – 4 = 0 y = –4 e y = 1 3 x = –4 (impossível) 3 x = 1 3 x = 3 0 (3 x ) x.3 = 4 x = 0

42 Prof. Jorge Inequacões exponenciais Chama-se inequação exponencial toda inequação cuja incognita aparece no expoente. A resolução de uma inequação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. P3P3 P4P4 a m > a n m > n Mesmo sentido a m > a n m < n Sentidos contrários p ara a > 1 p ara 0 < a < 1

43 Prof. Jorge Exemplos Resolver as inequações exponenciais. a) 5 3x – 1 > 25 x x – 1 > (5 2 ) x x – 1 > 5 2x + 4 3x – 1 > 2x + 4 base > 1, mantém-se o sentido 3x – 2x > 4 – 1 x > 3

44 Prof. Jorge Exemplos Resolver as inequações exponenciais. b) (0,9) 2x – 1 (0,9) x + 2 (0,9) 2x – 1 (0,9) x + 3 2x – 1 x + 3 base < 1, inverte-se o sentido 2x – x x 4

45 Prof. Jorge Exemplos Resolver as inequações exponenciais. c) 9 x – 3 x + 1 – 3 x (3 2 ) x – 3 x.3 1 – 3 x Vamos isolar em toda equação a potência 3 x. Fazendo 3 x = y. (3 x ) 2 – 3 x.3 – 3 x y 2 – 3y – y y 2 – 4y y x x x 1

46 Prof. Jorge Calculando juros compostos ou capitalizados

47 Prof. Jorge Exemplos Cláudia tomou um empréstimo de R$ 1 000,00, pagando juros a uma taxa de 5% a.m. Mas no final de cada mês sua dívida é acrescida dos juros relativos o mês. Qual será o montante M da dívida após t meses? 1º mês:M 1 = ,05 2º mês:M 2 = M 1.1,05= (1,05) 2 3º mês:M 3 = M 2.1,05= (1,05) 3 4º mês:M 4 = M 3.1,05= (1,05) t meses: M = (1,05) t 100% + 5% = 105% (1 + i) = 1,05

48 Prof. Jorge Calculando juros compostos Para um capital inicial C e uma taxa mensal i, o fator de aumento é (1 + i). O montante M, após t meses, no sistema de juros compostos é calculado pela fórmula: M = C.(1 + i) t Nessa fórmula, é importante que a taxa i e o tempo t estejam expressos na mesma unidade de tempo.

49 Prof. Jorge Exemplos Um agiota emprestou R$ 6 000,00 a Paulo, a uma taxa fixa de 5% ao mês. Qual foi o rendimento do agiota, após 4 meses? Dados: C = i = 5 % a.m= 0,05 t = 4 meses M = C.(1 + i) t = (1 + 0,05) 4 M = ,2155 M = M = C + j = j j = 1 293,00

50 Prof. Jorge Exemplos Marcos tomou um empréstimo de R$ 2 000,00 em um banco, a juros compostos, com taxa de 2% ao mês. De quanto tempo foi o empréstimo, se ele pagou R$ 438,00 de juros? Dados: C = i = 2 % a.m= 0,02 M = = M = C.(1 + i) t = (1,02) t 1,02 t = 1,219 t = 10 t = 10 meses 1,02 6 1,126 1,02 7 1,148 1,02 8 1,171 1,02 9 1,195 1, ,219

51 Prof. Jorge Crescimento e decrescimento exponencial

52 Prof. Jorge Crescimento e decrescimento exponencial Há muitas situações práticas em que uma variável cresce ou decresce, segundo taxas percentuais fixas, na unidade de tempo. Nesses casos, usamos raciocínio semelhante ao dos juros compostos. V = V 0. (1 + i) t Suponhamos que uma variável V, de valor inicial V 0, seja função do tempo t. V = V 0. (1 – i) t Se V cresce segundo uma taxa fixa i, temos: Se V decresce segundo uma taxa fixa i, temos:

53 Prof. Jorge Exemplos O valor atual de um lote é de R$ ,00. Estima-se que, nos próximos anos, ele valorize 8% ao ano. Quanto ele valerá daqui a 6 anos? V = V 0.(1 + i) t = (1,08) 6 V = ,59 V = O lote valerá R$ ,00

54 Prof. Jorge Exemplos O valor atual de uma máquina é de R$ 2 500,00, e ela se desvaloriza segundo uma taxa anual fixa. Obter essa taxa, sabendo-se que, daqui a 2 anos, a máquina valerá R$ ,00. V = V 0.(1 – i) t Para t = 2, V = = (1 – i) 2 (1 – i) 2 = 0,81 = (1 – i) t (1 – i) 2 = 0,81 1 – i = 0,9 i = 0,1 i = 10 % a.a.

55 Prof. Jorge Veja os cálculos 1º dia (hoje): V 1 = 10 2º dia: V 2 = 10.(3) 1 = 10.(3) 3º dia: V 3 = 10.(3) 2 = 10.(9) = 30 = 90 4º dia: V 4 = 10.(3) 3 = 10.(27)= 270 5º dia: V 5 = 10.(3) 4 = 10.(81)= 810 6º dia: V 6 = 10.(3) 5 = 10.(243)= º dia: V 7 = 10.(3) 6 = 10.(729)= º dia: V 8 = 10.(3) 7 = 10.(2 187)= º dia: V 9 = 10.(3) 8 = 10.(6 561)= º dia:V 10 = 10.(3) 9 = 10.(19 683)= Total =


Carregar ppt "Prof. Jorge Funções exponenciais. Prof. Jorge As aparências enganam Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro dia, Hugo, o melhor aluno da sala em Matemática,"

Apresentações semelhantes


Anúncios Google