Função Exponencial.

Apresentação em tema: "Função Exponencial."— Transcrição da apresentação:

1 Função Exponencial

2 Função Exponencial Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. 2 2

3 Função Exponencial Alguns exemplos de aplicações desta função na vida real são: • o decaimento radioativo; • a lei de crescimento de uma população; • a determinação da idade de fósseis; • o cálculo de juros. 3 3

4 Função Exponencial Chama-se função exponencial de base a à função:
f : IRIR x  b · ax 4 4

5 Função Exponencial Comecemos por estudar, por exemplo, a função definida por: f (x) = 3x Graficamente, temos: 5 5 5

6 Função Exponencial Quanto maior é a base da exponencial, mais rápido é o seu crescimento. No entanto todas apresentam as seguintes características: Qualquer função exponencial de base a superior a 1, tem: • D = IR; • D’ = IR+; • não tem zeros; • f(0) = 1; é positiva em IR; 6 6 6

7 Função Exponencial • é contínua em IR; • é estritamente crescente;
• é injetiva; • o gráfico tem uma assíntota horizontal de equação y = 0 7 7 7

8 Função Exponencial 8 8 8

9 Função Exponencial Alguns exemplos de aplicações desta função na vida real são: 9 9 9

10 Função Exponencial Cálculo de juros. 10 10 10

11 Função Exponencial Cálculo de juros:
Uma instituição bancária oferece juros de t% ao ano, contabilizados m vezes por ano (em períodos de igual duração) e adicionados em cada instante ao capital inicial Q. Ao fim de a anos, o valor do montante C é dado por: 11 11 11

12 Função Exponencial Um capital de € é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos. Ao fim de um ano o capital é € 12 12 12

13 Lei de crescimento de uma população
Função Exponencial Lei de crescimento de uma população 13 13 13

14 Função Exponencial Lei de crescimento de uma população:
Seja N=N(t) o número de indivíduos de uma certa população no instante t. N(t)=Noert onde No é a população presente no instante inicial t = 0 e r é uma constante que varia com a espécie de população. 14 14 14

15 Função Exponencial Admita que o número de elementos de uma população de aves, t anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por: P(t) = 5,2 x 107 x e ( N- M ) t , t > 0 em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população. 15 15 15

16 Função Exponencial No início de 2000, a população era metade da que existia no início de 1970. Sabendo que a taxa de natalidade é 7,56 determine a taxa de mortalidade. Apresente o resultado arredondado às centésimas. 16 16 16

17 Função Exponencial  P(0) = 5,2 x 107  0,5 = e ( 7,56- M)*30
=30  P(0) = 5,2 x 107 P(0) = 5,2 x 107 x e ( 7,6- M )x0 P(30) = (5,2 x 107)  0,5 = e ( 7,56- M)*30 0,5 (5,2 x 107) = 5,2 x 107 x e ( 7,56- M )*30  (7,56 –M ) = 30 (7,56 –M) = ln 0,5  M = 7,58 M = 7,56 – A taxa de mortalidade é aproximadamente 7,58% 17 17 17

18 Função Exponencial Decaimento radioativo 18 18 18

19 Decaimento radioativo:
Função Exponencial Decaimento radioativo: Modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então: N(t) = No e-k.t 19 19 19

20 Função Exponencial A atividade R, de qualquer substância radioativa, é dada, numa certa unidade de medida pela expressão: R(t) = A x e -Bt em que A e B são constantes reais positivas e t é o tempo em horas, com t 0. 20 20 20

21 Função Exponencial Sabendo que o valor inicial da atividade de uma certa substância radioativa é 28 unidades e que R(1) = 26, determina os valores de A e B para essa substância: R(1) = 26  = 28 x e –Bx1  = e –B  - B = ln  B = 0,07 O valor de A é 28 e B é 0,07. 21 21 21

22 Dosagem de um medicamento
Função Exponencial Dosagem de um medicamento 22 22 22

23 Função Exponencial Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respetivamente, por A(t) = 4 t3 e –t C(t) = 2 t3 e –0,7t A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado (t [ 0,12]). 23 23 23

24 Função Exponencial No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). A(t) = 4 t3 e –t C(t) = 2 t3 e –0,7t A(t) = C(t)  4 t3 e –t = 2 t3 e –0,7t  4 t3 e –t -2 t3 e –0,7t = 0  2 t3 (2e –t - e –0,7t ) = 0  2 t3 e –t = 0  (2 - e 0,3t ) = 0  t = 0  e –t = 0  e 0,3t = 2  0,3 t = ln 2   t = 2, 3  t = 2h 19 min 24 24 24