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1 Função Exponencial. Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia,

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1 1 Função Exponencial

2 Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. 2

3 Função Exponencial Alguns exemplos de aplicações desta função na vida real são: o decaimento radioativo; a lei de crescimento de uma população; a determinação da idade de fósseis; o cálculo de juros. 3

4 4 Função Exponencial Chama-se função exponencial de base a à função: f : IR IR x b · a x

5 Comecemos por estudar, por exemplo, a função definida por: f (x) = 3 x Função Exponencial Graficamente, temos: 5

6 Quanto maior é a base da exponencial, mais rápido é o seu crescimento. No entanto todas apresentam as seguintes características: Função Exponencial Qualquer função exponencial de base a superior a 1, tem: D = IR; D = IR + ; não tem zeros; f(0) = 1; é positiva em IR; 6

7 Função Exponencial é contínua em IR; é estritamente crescente; é injetiva; o gráfico tem uma assíntota horizontal de equação y = 0 7

8 Função Exponencial 8

9 Alguns exemplos de aplicações desta função na vida real são: 9

10 Função Exponencial Cálculo de juros. 10

11 Função Exponencial Uma instituição bancária oferece juros de t% ao ano, contabilizados m vezes por ano (em períodos de igual duração) e adicionados em cada instante ao capital inicial Q. Ao fim de a anos, o valor do montante C é dado por: Cálculo de juros: 11

12 Função Exponencial Um capital de é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos. Ao fim de um ano o capital é

13 Função Exponencial Lei de crescimento de uma população 13

14 Lei de crescimento de uma população: Função Exponencial N(t)=N o e rt onde N o é a população presente no instante inicial t = 0 e r é uma constante que varia com a espécie de população. Seja N=N(t) o número de indivíduos de uma certa população no instante t. 14

15 Função Exponencial Admita que o número de elementos de uma população de aves, t anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por: P(t) = 5,2 x 10 7 x e ( N- M ) t, t > 0 em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população. 15

16 Função Exponencial No início de 2000, a população era metade da que existia no início de Sabendo que a taxa de natalidade é 7,56 determine a taxa de mortalidade. Apresente o resultado arredondado às centésimas. 16

17 P(0) = 5,2 x 10 7 Função Exponencial =30 P(0) = 5,2 x 107 x e ( 7,6- M )x0 P(30) = (5,2 x 10 7 ) 0,5 (5,2 x 107) = 5,2 x 107 x e ( 7,56- M )*30 0,5 = e ( 7,56- M)*30 30 (7,56 –M) = ln 0,5 (7,56 –M ) = M = 7,56 – M = 7,58 A taxa de mortalidade é aproximadamente 7,58% 17

18 Função Exponencial Decaimento radioativo 18

19 Função Exponencial Decaimento radioativo: Modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, N o o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então : N(t) = N o e -k.t 19

20 Função Exponencial em que A e B são constantes reais positivas e t é o tempo em horas, com t 0. A atividade R, de qualquer substância radioativa, é dada, numa certa unidade de medida pela expressão: R(t) = A x e -Bt 20

21 = e –B Função Exponencial Sabendo que o valor inicial da atividade de uma certa substância radioativa é 28 unidades e que R(1) = 26, determina os valores de A e B para essa substância: R(1) = = 28 x e –Bx1 - B = ln B = 0,07 O valor de A é 28 e B é 0,07. 21

22 Função Exponencial Dosagem de um medicamento 22

23 Função Exponencial Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respetivamente, por A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado (t [ 0,12]). A(t) = 4 t 3 e –t C(t) = 2 t 3 e –0,7t 23

24 Função Exponencial No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). A(t) = 4 t 3 e –t C(t) = 2 t 3 e –0,7t A(t) = C(t) 4 t 3 e –t = 2 t 3 e –0,7t 4 t 3 e –t -2 t 3 e –0,7t = 0 2 t 3 (2e –t - e –0,7t ) = 0 2 t 3 e –t = 0 (2 - e 0,3t ) = 0 t = 0 e –t = 0 e 0,3t = 2 0,3 t = ln 2 t = 2, 3 t = 2h 19 min 24


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