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Prof. Jorge Funções logarítmicas. Prof. Jorge Funções logarítmicas De modo geral, se a é uma constante real (a > 0 e a 1), chamamos de função logaritmo.

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1 Prof. Jorge Funções logarítmicas

2 Prof. Jorge Funções logarítmicas De modo geral, se a é uma constante real (a > 0 e a 1), chamamos de função logaritmo de base a a função definida por: y = f(x) = log a x É claro que x > 0.

3 Prof. Jorge Exemplos y = log 5 x é a função logaritmo de base 5 y = log x é a função logaritmo de base 10 y = log 1/2 x é a função logaritmo de base 1/2 O gráfico de uma função logarítmica é uma curva chamada de curva logarítmica.

4 Prof. Jorge x y 0 – –2 Traçar o gráfico da função logaritmo de base 2, definida por y = f(x) = log 2 x. Exemplos –11/2 –21/4 y = log 2 xx D = R + * e Im = R função é crescente

5 Prof. Jorge x y 0 – –2 Traçar o gráfico da função logaritmo de base 1/2, definida por y = f(x) = log 1/2 x. Exemplos –24 – /2 21/4 y = log 1/2 xx D = R + * e Im = R função é decrescente

6 Prof. Jorge Funções logaritmos - Resumo Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função logaritmo y = log a x (a > 0 e a 1): O domínio é os Reais positivos (x > 0); O conjunto imagem é os Reais; Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1. Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1.

7 Prof. Jorge Veja os gráficos abaixo x y 0 1 D = R + * e Im = R y = log 2 x y = log 1/2 x

8 Prof. Jorge Propriedades da função logaritmo

9 Prof. Jorge Propriedades operatórias A função logaritmo y = log a x é sempre crescente ou sempre decrescente. Isso significa que logaritmos numa mesma base só são iguais para logaritmandos iguais. log a m = log a n m = n

10 Prof. Jorge Exemplos log 3 x = log 3 5 x = 5 log (3x – 1) = log 2x 3x – 1 = 2x x = 1

11 Prof. Jorge Observação A propriedade que acabamos de demonstrar pode ser interpretada no sentido inverso. Se dois números são iguais, então seus logaritmos numa mesma base são iguais. m = n log a m = log a n

12 Prof. Jorge Exemplos Resolver a equação exponencial 4 x = 3 x+1, a partir dos valores log 2 = 0,301 e log 3 = 0, x = 3 x+1 log 4 x = log 3 x+1 x.log 4 = (x + 1).log 3 x.(2.log 2) = (x + 1).log 3 x.(2.0,301) = (x + 1).0,477 0,602.x = 0,477.x + 0,477 0,125.x = 0,477 x = 3,816

13 Prof. Jorge log a m > long a n m > n Propriedades operatórias A função logaritmo y = log a x é crescente em todo o seu domínio, se a > 1. Mesmo sentido Quanto maior o valor de x maior é o valor de log a x. x y 0 log a n log a m nm

14 Prof. Jorge log a m n Propriedades operatórias A função logaritmo y = log a x é decrescente em todo o seu domínio, se 0 < a < 1. Quanto maior o valor de x menor é o valor de log a x. Sentidos contrários x y 0 log a n nm log a m

15 Prof. Jorge Exemplos log x < log 3 x < 3 log 2/5 (x – 3) < log 2/5 4 x – 3 > 4 base > 1, sinal mantido 0 < a < 1, sinal invertido x > 7

16 Prof. Jorge Equações e inequações logarítmicas

17 Prof. Jorge Equações e inequações logarítmicas Em certas equações e inequações que envolvem logaritmo, a variável aparece no logaritmando. A resolução de uma equação e uma inequação logarítmica se baseia nas propriedades abaixo. log a m = log a n m = n P 1. P 2. log a m > log a n m > n P 3. log a m n (a > 1) (0 < a < 1)

18 Prof. Jorge Exemplos Resolver a equação 2 log 2 x = 1 + log 2 (x + 12). Condição de existência x > 0 x + 12 > 0 x > 0 2 log 2 x = log log 2 (x + 12) log 2 x 2 = log 2 2(x + 12) log 2 x 2 = log 2 (2x + 24) x 2 = 2x + 24 x 2 – 2x – 24 = 0 x = –4 ou x = 6S = {6}.

19 Prof. Jorge 5 – x > 0 Exemplos Resolver a inequação log (x – 1) log (5 – x). Condição de existência x – 1 > 0 x > 1 x < 5 1 < x < 5 (1) log (x – 1) log (5 – x) x – 1 5 – x 2 x 6 x 3 (2) Fazendo a interseção das condições, (1) e (2), temos S = 3 x < 5.

20 Prof. Jorge Exemplos Obter o domínio da função definida por y = 1 log 1/3 x + 2 O radicando deve ser maior que zero, logo log 1/3 x + 2 > 0 l og 1/3 x > –2 l og 1/3 x > log 1/3 9 x < 9 S = {0 < x < 9}.

21 Prof. Jorge Aplicando logaritmos em problemas de crescimento e decrescimento

22 Prof. Jorge Aplicação dos logaritmos As funções exponenciais aparecem nas situações em que uma variável cresce ou decresce com o tempo, segundo uma taxa fixa. Nesses casos, os logaritmos são muito úteis quando se pretende descobrir o tempo necessário para que aquela variável atinja determinado valor.

23 Prof. Jorge Exemplos Giovanna aplicou R$ 1 000,00 a juros compostos a uma taxa de 5% ao mês. Após quanto tempo ela obteve R$ 500,00 de juros? M = C.(1 + i) t = (1,05) t 1,05 t = 1,5 log 1,05 t = log 1,5 t. log 1,05 = log 1,5 t = log 1,5 log 1,05 t = 0,1761 0,0210 t = 8,39 t 9 meses

24 Prof. Jorge Exemplos Giovanna aplicou R$ 1 000,00 a juros compostos a uma taxa de 5% ao mês. Após quanto tempo ela obteve R$ 500,00 de juros? Dados: log 3 = 0,477, log 5 = 0,699 e log 7 = 0,845. Chegamos à equação: t.log 1,05 = log 1,5 t = log 1,5 log 1,05 log 1,5 =log (15/10) = log 15 – log 10 log 1,5 = log 3 + log 5 – log 10 log 1,5 = 0, ,699 – 1 = 0,176 log 1,05 =log (105/100) = log 105 – log 100 log 1,05 = log 3 + log 5 + log 7 – log 100 log 1,05 = 0, , ,845 – 2 = 0,021 t = 8,39 = 0,176 0,021

25 Prof. Jorge Exemplos Um determinado automóvel desvaloriza-se segundo uma taxa composta, equivalente a 5% ao ano. Daqui a quanto tempo ele valerá 80% do que vale hoje? M = C.(1 + i) t 0,8V 0 = V 0.(0,95) t 0,95 t = 0,8 log 0,95 t = log 0,8 t. log 0,95 = log 0,8 t = log 0,8 log 0,95 t = –0,0969 –0,0223 t = 4,35 t 4 anos e 4 meses


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