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Prof. Jorge Posições relativas de duas retas. Prof. Jorge Retas paralelas e retas concorrentes Duas retas distintas de um plano podem ocupar duas posições.

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1 Prof. Jorge Posições relativas de duas retas

2 Prof. Jorge Retas paralelas e retas concorrentes Duas retas distintas de um plano podem ocupar duas posições relativas. Elas podem ser: Paralelas, se não têm ponto em comum; Concorrentes ou secantes, se têm um único ponto comum; r s t u

3 Prof. Jorge Retas paralelas e retas concorrentes Quando duas retas estão contidas no plano cartesiano xOy, podemos analisar suas posições relativas, a partir de suas equações: Para duas retas horizontais ou verticais essa análise é simples.

4 Prof. Jorge Exemplo Qual é a posição relativa das retas de equações x = 3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam? x y O 3 –5 r s rs

5 Prof. Jorge Exemplo Qual é a posição relativa das retas de equações x = 3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam? x y O –2 1 t u t u

6 Prof. Jorge Exemplo Qual é a posição relativa das retas de equações x = 3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam? x y O 6 1 m e n concorrentes no ponto P(1, 6). m n P

7 Prof. Jorge Retas não-paralelas aos eixos No caso de as retas serem não-paralelas aos eixos, tudo depende da comparação das inclinações das retas. Por isso vamos trabalhar com suas equações reduzidas.

8 Prof. Jorge Retas não-paralelas aos eixos Suponhamos as retas r e s no plano xOy. Se α e α são os respectivos ângulos de inclinação de (r) e (s), sabemos que tg α = a e tg α = a. x y O r αα s r s α = α tg α = tg α a = a

9 Prof. Jorge Retas não-paralelas aos eixos Suponhamos as retas r e s no plano xOy. Se α e α são os respectivos ângulos de inclinação de (r) e (s), sabemos que tg α = a e tg α = a. x y O r α α s r é secante a s α α tg α tg α a a

10 Prof. Jorge Retas não-paralelas aos eixos - Resumo Dadas duas retas (r) e (s) no plano xOy, de equações reduzidas r: y = ax + b e s: y = ax + b, definimos: r e s são paralelas a = a e b b. r e s são concorrentes a a. No caso de as retas serem concorrentes, pode-se obter o ponto de interseção. Basta resolver o sistema formado pelas equações das duas retas.

11 Prof. Jorge Exemplos Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção. Primeiro vamos escrever (r) e (s) na forma reduzida. r: 2x + y + 3 = 0 s: 3x – y + 7 = 0 y = –2x – 3 y = 3x + 7 a = –2 a = 3 a a as retas r e s são concorrentes.

12 Prof. Jorge Exemplos Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção. O ponto de interseção é obtido resolvendo o sistema formado pelas equações de (r) e (s). y = –2x – 3 y = 3x + 7 3x + 7 = –2x – 3 5x = –10 x = –2 y = 3x + 7 y = 3.(–2) + 7 y = 1 O ponto de interseção de (r) e (s) é P(–2, 1).

13 Prof. Jorge Exemplos Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção. Na figura, podemos visualizar o problema. x y O r s –2 1

14 Prof. Jorge Exemplos Calcular o parâmetro k, para que sejam paralelas as retas r: x + 2y – 3 = 0 e s: kx – 4y + 2 = 0. Primeiro vamos escrever (r) e (s) na forma reduzida. r: x + 2y – 3 = 0 s: kx – 4y + 2 = 0 2y = –x + 3 4y = kx + 2 y = (–1/2)x + 3/2 y = (k/4)x + 1/2 Retas paralelas, os coeficientes lineares diferentes e as inclinações iguais. 4 k 2 –1 = 2k = –4 k = –2

15 Prof. Jorge Exemplos Obter a equação reduzida de (s), paralelas à reta (r) de equação 2x – y – 1 = 0 pelo ponto P(2, 1). A figura ilustra o problema. x y O r s 2 1

16 Prof. Jorge Exemplos Obter a equação reduzida de (s), paralelas à reta (r) de equação 2x – y – 1 = 0 pelo ponto P(2, 1). Primeiro, vamos obter a equação reduzida de (r). r: 2x – y – 1 = 0 y = 2x – 1 a = 2 s r a inclinação de s a = 2. A equação reduzida de (s) é do tipo y = 2x + b. 1 = b Fazendo x = 2 e y = 1 na equação y = 2x + b, temos 1 = 4 + b b = –3 A equação reduzida de s é y = 2x – 3.

17 Prof. Jorge Retas perpendiculares

18 Prof. Jorge Retas perpendiculares Se duas retas concorrentes formam quatro ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares. No plano cartesiano, uma reta horizontal e uma vertical são perpendiculares. Quando duas retas não-paralelas aos eixos são perpendiculares entre si, suas inclinações obedecem a uma relação importante.

19 Prof. Jorge Retas perpendiculares Na figura as retas (r) e (s), não paralelas aos eixos, são perpendiculares entre si. x y O r α α s β tg β = – tg α tg β = tg α 1 ( 1 ) ( 2 ) tg α = a;tg α = a = – tg α tg α 1 1 = – tg α. tg α a. a = –1

20 Prof. Jorge Retas perpendiculares Dadas duas retas (r) e (s) no plano xOy, de equações reduzidas r: y = ax + b e s: y = ax + b, definimos: (r) é perpendicular a (s) a. a = –1

21 Prof. Jorge Exemplos Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam. Vamos escrever as equações na forma reduzida. r: 2x + 3y – 1 = 0 s: 3x – 2y + 5 = 0 3y = –2x + 1 2y = 3x + 5 a. a = –1 as retas (r) e (s) são perpendiculares. y = (–2/3)x + 1/3 y = (3/2)x + 5/2. 3 –2 2 3 = –1

22 Prof. Jorge Exemplos Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam. O ponto de interseção é obtido resolvendo-se o sistema. 2x + 3y – 1 = 0 3x – 2y + 5 = 0 y = 1 O ponto de interseção de (r) e (s) é P(–1, 1). 6x + 9y – 3 = 0 –6x + 4y – 10 = 0 x(3) x(–2) + 13y – 13 = 0 e x = –1

23 Prof. Jorge Exemplos Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam. A figura ilustra o problema. x y O r s –1 1

24 Prof. Jorge Exemplos Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y. Fazendo x = 0, na equação de (s) (s intercepta o eixo y). x = y – 2 = 0 y = 2 A reta s intercepta o eixo y no ponto P(0, 2). Vamos obter a inclinação de (r). s: 3x + y – 2 = 0 y = –3x + 2 a. a = –1 a = –3 (–3)a. a = –1 a = 1/3

25 Prof. Jorge Exemplos Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y. A reta (r) passa por P(0, 2) e tem inclinação 1/3. y – y P = a(x – x P ) y – 2 = 1/3(x – 0) y – 2 = 1/3x x (3) 3y – 6 = x x – 3y + 6 = 0

26 Prof. Jorge Exemplos Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y. Veja a solução gráfica do problema. x y O r s 2

27 Prof. Jorge Distância de um ponto a uma reta

28 Prof. Jorge Projeção ortogonal Dado um ponto P e uma reta r, chama-se projeção ortogonal de P sobre r o ponto Q interseção da reta r com a reta s que passa por P e é perpendicular a r. P r s Q Distância do ponto P à reta r. d = PQ

29 Prof. Jorge Exemplos Obter a projeção do ponto P(1, 5) sobre a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0. Primeiro obtemos a inclinação de (r) (r s). r: x + y – 2 = 0 y = –x + 2 a. a = –1 a = –1 (–1)a. a = –1 a = 1 Equação de s que passa por P(1, 5). y – y P = a(x – x P ) y – 5 = 1(x – 1) y – 5 = x – 1 x – y + 4 = 0.

30 Prof. Jorge Exemplos Obter a projeção do ponto P(1, 5) sobre a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0. Obtendo o ponto Q, projeção de P sobre (r). x + y – 2 = 0 x – y + 4 = 0 x = –1 A projeção de P sobre (r) é o ponto Q(–1, 3). + 2x + 2 = 0e y = 3

31 Prof. Jorge Exemplos A distância do ponto P(1, 5) até a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0 é dado por: d P,r = PQ PQ = (x P – x Q ) 2 + (y P – y Q ) 2 A partir dos pontos P(1, 5) e Q(–1, 3), obtemos a d P,r. d P, r = PQ = (1 – (–1)) 2 + (5 – 3) 2 = (2) 2 + (2) 2 d P, r = PQ = 8= 2 2

32 Prof. Jorge Distância de um ponto até uma reta. Existe uma fórmula muito simples para o cálculo dessa distância. Se uma reta (r) é dada por uma de suas equações gerais, Ax + By + C = 0, a distância do ponto P(x P, y P ) à reta (r) é dado por d = A 2 + B 2 |Ax P + By P + C|

33 Prof. Jorge Exemplos Calcular a distância do ponto P(1, 5) até a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0. d = A 2 + B 2 |Ax P + By P + C| No caso, x P = 1, y P = 5, A = 1, B = 1 e C = –2. = | (–2)| = 2 4 = = 2 = 2 2


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