Equação de uma circunferência

Apresentação em tema: "Equação de uma circunferência"— Transcrição da apresentação:

1 Equação de uma circunferência
Prof. Jorge

2 Equação reduzida A toda circunferência contida no plano cartesiano xOY está associada uma equação nas variáveis x e y. Vamos ver que a equação da circunferência não é de 1º grau, como no caso da reta. Prof. Jorge

3 Equação reduzida Vamos obter a equação da circunferência de centro C(2, –1) e raio R = 3. CP = 3 y CP = √(xP – xC)2 + (yP – yC)2 O 2 x –1 C 3 = √(x – 2)2 + (y + 1)2 3 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 32 P(x, y) Prof. Jorge

4 Equação reduzida – Caso Geral
Suponhamos uma circunferência contida no plano xOy de centro C(α, β) e raio R. CP = R y P(x, y) CP = √(xP – xC)2 + (yP – yC)2 R β C R = √(x – α)2 + (y – β)2 α O x (x – α)2 + (y – β)2 = R2 Prof. Jorge

5 Exemplo Sabendo-se que os pontos A(6, 2) e B(–2, –4) são os extremos de um diâmetro de uma circunferência. Obter sua equação reduzida. y O centro é o ponto médio de AB. A 6 – 2 4 xC = = = 2 O x 2 2 C 2 – 4 –2 yC = = = –1 B 2 2 C (2, –1) Prof. Jorge

6 Exemplo Sabendo-se que os pontos A(6, 2) e B(–2, –4) são os extremos de um diâmetro de uma circunferência. Obter sua equação reduzida. y O raio é a medida de AC ou de BC. A R = AC = √(xA – xB)2 + (yA – yB)2 O x C (2, –1) R = √(6 – 2)2 + (2 + 1)2 B R = √16 + 9 R = 5 Prof. Jorge

7 Exemplo Sabendo-se que os pontos A(6, 2) e B(–2, –4) são os extremos de um diâmetro de uma circunferência. Obter sua equação reduzida. y C(2, –1) e raio R = 5. A equação reduzida é A (x – α)2 + (y – β)2 = R2 O x C (2, –1) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 25 B Prof. Jorge

8 Equação Geral – Caso Geral
A partir da equação reduzida, efetuamos as operações e transpomos todos os termos para o 1º membro, obtemos a equação geral da circunferência. (x – α)2 + (y – β)2 = R2 ⇒ x2 – 2αx + α2 + y2 – 2βy + β2 = R2 ⇒ x2 + y2 – 2αx – 2βy + α2 + β2 – R2 = 0 –2α = a; –2β = b e α2 + β2 – R2 = c x2 + y2 + ax + by + c = 0 Prof. Jorge

9 Obter uma equação geral da circunferência de centro C(2, –3) e raio 4.
Exemplo Obter uma equação geral da circunferência de centro C(2, –3) e raio 4. C(2, –3) e raio R = 4. A equação reduzida é (x – α)2 + (y – β)2 = R2 ⇒ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16 Calculando os quadros e transpondo 16 para o 1º membro x2 – 4x y2 + 6y + 9 – 16 = 0 x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 ← Equação geral. Prof. Jorge

10 Descobrindo o centro e o raio
Vimos como obter a equação geral de uma circunferência, a partir do centro e do raio. A partir da equação geral de uma circunferência, podemos, também, obter o seu centro e raio. Prof. Jorge

11 Descobrindo o centro e o raio
As expressões abaixo permitem relacionar as coordenadas do centro C(α, β) e o raio R com os coeficientes a, b e c da equação geral. –2α = a; –2β = b e α2 + β2 – R2 = c 2 – a α = –2α = a ⇒ 2 – b β = –2β = b ⇒ R2 = α2 + β2 – c α2 + β2 – R2 = c ⇒ Prof. Jorge

12 Exemplo Achar o centro e o raio da circunferência de equação geral 2x2 + 2y2 + 8x – 4y – 8 = 0. Obter, também sua equação reduzida. Primeiro, vamos dividir todos os termos da equação por 2. Assim, os coeficientes de x2 e y2 passam a ser 1. 2x2 + 2y2 + 8x – 4y – 8 = 0 : (2) x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0 x2 + y2 + ax + by + c = 0 ⇒ a = 4, b = –2 e c = –4 Prof. Jorge

13 Exemplo Achar o centro e o raio da circunferência de equação geral 2x2 + 2y2 + 8x – 4y – 8 = 0. Obter, também sua equação reduzida. A partir das relações abaixo obtemos o centro e o raio. Sendo a = 4, b = –2 e c = –4. – a – 4 α = ⇒ α = ⇒ α = –2 2 2 – b –(–2) β = ⇒ β = ⇒ β = 1 2 2 R2 = α2 + β2 – c ⇒ R2 = (–2) – (–4) ⇒ R = 3 Prof. Jorge

14 Exemplo Achar o centro e o raio da circunferência de equação geral 2x2 + 2y2 + 8x – 4y – 8 = 0. Obter, também sua equação reduzida. Equação reduzida da circunferência com centro C(–2, 1) e raio R = 3 é (x – α)2 + (y – β)2 = R2 ⇒ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 32 ⇒ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 9 Prof. Jorge

15 Reconhecendo a equação de uma circunferência
Prof. Jorge

16 Condições de existência
Já sabemos que toda equação de uma circunferência é de 2.º grau nas variáveis x e y. Será que toda equação de 2.º grau nas variáveis x e y representa a equação de uma circunferência? Prof. Jorge

17 Condições de existência
Uma equação geral de 2.º grau e duas variáveis é da forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 1.º Para que ela seja equação de uma circunferência temos duas condições iniciais: A = B e C = 0 Só nessas condições a equação pode ser escrita na forma geral x2 + y2 + ax + by + c = 0. Prof. Jorge

18 Condições de existência
Uma equação geral de 2.º grau e duas variáveis é da forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 2.º Na fórmula de determinação do raio R2 = α2 + β2 – c, deve ser R2 > 0. Por isso, a última condição é α2 + β2 – c > 0 Prof. Jorge

19 Exemplo Dada a equação 4x2 + 4y2 – 16x + 8y + 4k = 0, obter os possíveis valores de k para que ela represente uma circunferência. A equação satisfaz as duas condições iniciais. Os coeficientes de x2 e y2 são iguais e não há termo em xy. A última condição é que α2 + β2 – c > 0 4x2 + 4y2 – 16x + 8y + 4k = 0 : (4) x2 + y2 – 4x + 2y + k = 0 x2 + y2 + ax + by + c = 0 ⇒ a = –4, b = 2 e c = k Prof. Jorge

20 Exemplo Dada a equação 4x2 + 4y2 – 16x + 8y + 4k = 0, obter os possíveis valores de k para que ela represente uma circunferência. Obtendo α e β. Sendo a = –4, b = 2 e c = k. – a –(–4) α = = ⇒ α = 2 2 2 – b – 2 β = = ⇒ β = –1 2 2 α2 + β2 – c > 0 (2)2 + (–1)2 – k > 0 ⇒ 4 + 1 – k > 0 5 – k > 0 ⇒ ⇒ ⇒ k < 5 Prof. Jorge