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Prof. Jorge Equação de uma circunferência. Prof. Jorge Equação reduzida A toda circunferência contida no plano cartesiano xOY está associada uma equação.

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1 Prof. Jorge Equação de uma circunferência

2 Prof. Jorge Equação reduzida A toda circunferência contida no plano cartesiano xOY está associada uma equação nas variáveis x e y. Vamos ver que a equação da circunferência não é de 1º grau, como no caso da reta.

3 Prof. Jorge Equação reduzida Vamos obter a equação da circunferência de centro C(2, –1) e raio R = 3. x y O 3 C P(x, y) –1 2 CP = 3 CP = (x P – x C ) 2 + (y P – y C ) 2 (x – 2) 2 + (y + 1) 2 = = (x – 2) 2 + (y + 1) 2

4 Prof. Jorge Equação reduzida – Caso Geral Suponhamos uma circunferência contida no plano xOy de centro C(α, β) e raio R. x y O R C P(x, y) α β CP = R CP = (x P – x C ) 2 + (y P – y C ) 2 (x – α) 2 + (y – β) 2 = R 2 R = (x – α) 2 + (y – β) 2

5 Prof. Jorge Exemplo Sabendo-se que os pontos A(6, 2) e B(–2, –4) são os extremos de um diâmetro de uma circunferência. Obter sua equação reduzida. x y O C A B O centro é o ponto médio de AB. 2 6 – 2 x C = = 2 4 = – 4 y C = = 2 –2 = –1 C (2, –1)

6 Prof. Jorge Exemplo Sabendo-se que os pontos A(6, 2) e B(–2, –4) são os extremos de um diâmetro de uma circunferência. Obter sua equação reduzida. x y O C (2, –1) A B O raio é a medida de AC ou de BC. R = 5 R = AC = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 R = (6 – 2) 2 + (2 + 1) 2 R =

7 Prof. Jorge Exemplo Sabendo-se que os pontos A(6, 2) e B(–2, –4) são os extremos de um diâmetro de uma circunferência. Obter sua equação reduzida. x y O C (2, –1) A B C(2, –1) e raio R = 5. A equação reduzida é (x – α) 2 + (y – β) 2 = R 2 (x – 2) 2 + (y + 1) 2 = 25

8 Prof. Jorge Equação Geral – Caso Geral A partir da equação reduzida, efetuamos as operações e transpomos todos os termos para o 1º membro, obtemos a equação geral da circunferência. (x – α) 2 + (y – β) 2 = R 2 x 2 – 2αx + α 2 + y 2 – 2βy + β 2 = R 2 x 2 + y 2 – 2αx – 2βy + α 2 + β 2 – R 2 = 0 –2α = a; –2β = b e α 2 + β 2 – R 2 = c x 2 + y 2 + ax + by + c = 0

9 Prof. Jorge Exemplo Obter uma equação geral da circunferência de centro C(2, –3) e raio 4. C(2, –3) e raio R = 4. A equação reduzida é (x – α) 2 + (y – β) 2 = R 2 (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 x 2 – 4x y 2 + 6y + 9 – 16 = 0 x 2 + y 2 – 4x + 6y – 3 = 0 Calculando os quadros e transpondo 16 para o 1º membro Equação geral.

10 Prof. Jorge Descobrindo o centro e o raio Vimos como obter a equação geral de uma circunferência, a partir do centro e do raio. A partir da equação geral de uma circunferência, podemos, também, obter o seu centro e raio.

11 Prof. Jorge Descobrindo o centro e o raio –2α = a; –2β = b e α 2 + β 2 – R 2 = c As expressões abaixo permitem relacionar as coordenadas do centro C(α, β) e o raio R com os coeficientes a, b e c da equação geral. –2α = a –2β = b 2 – a α =α = 2 – b β =β = α 2 + β 2 – R 2 = c R 2 = α 2 + β 2 – c

12 Prof. Jorge Exemplo Achar o centro e o raio da circunferência de equação geral 2x 2 + 2y 2 + 8x – 4y – 8 = 0. Obter, também sua equação reduzida. Primeiro, vamos dividir todos os termos da equação por 2. Assim, os coeficientes de x 2 e y 2 passam a ser 1. 2x 2 + 2y 2 + 8x – 4y – 8 = 0 : (2) x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0 a = 4, b = –2 e c = –4x 2 + y 2 + ax + by + c = 0

13 Prof. Jorge Exemplo Achar o centro e o raio da circunferência de equação geral 2x 2 + 2y 2 + 8x – 4y – 8 = 0. Obter, também sua equação reduzida. A partir das relações abaixo obtemos o centro e o raio. Sendo a = 4, b = –2 e c = –4. 2 – a α =α = 2 – b β =β = R 2 = α 2 + β 2 – c 2 – 4 α = α = –2 2 –(–2) β =β = β = 1 R 2 = (–2) – (–4) R = 3

14 Prof. Jorge Exemplo Achar o centro e o raio da circunferência de equação geral 2x 2 + 2y 2 + 8x – 4y – 8 = 0. Obter, também sua equação reduzida. Equação reduzida da circunferência com centro C(–2, 1) e raio R = 3 é (x – α) 2 + (y – β) 2 = R 2 (x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 3 2 (x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 9

15 Prof. Jorge Reconhecendo a equação de uma circunferência

16 Prof. Jorge Condições de existência Já sabemos que toda equação de uma circunferência é de 2.º grau nas variáveis x e y. Será que toda equação de 2.º grau nas variáveis x e y representa a equação de uma circunferência?

17 Prof. Jorge Condições de existência Uma equação geral de 2.º grau e duas variáveis é da forma Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 1.º Para que ela seja equação de uma circunferência temos duas condições iniciais: A = B e C = 0 Só nessas condições a equação pode ser escrita na forma geral x 2 + y 2 + ax + by + c = 0.

18 Prof. Jorge Condições de existência Uma equação geral de 2.º grau e duas variáveis é da forma Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 2.º Na fórmula de determinação do raio Por isso, a última condição é R 2 = α 2 + β 2 – c, deve ser R 2 > 0. α 2 + β 2 – c > 0

19 Prof. Jorge Exemplo Dada a equação 4x 2 + 4y 2 – 16x + 8y + 4k = 0, obter os possíveis valores de k para que ela represente uma circunferência. A equação satisfaz as duas condições iniciais. Os coeficientes de x 2 e y 2 são iguais e não há termo em xy. A última condição é que α 2 + β 2 – c > 0 4x 2 + 4y 2 – 16x + 8y + 4k = 0 : (4) x 2 + y 2 – 4x + 2y + k = 0 a = –4, b = 2 e c = kx 2 + y 2 + ax + by + c = 0

20 Prof. Jorge Exemplo Dada a equação 4x 2 + 4y 2 – 16x + 8y + 4k = 0, obter os possíveis valores de k para que ela represente uma circunferência. Obtendo α e β. Sendo a = –4, b = 2 e c = k. 2 – a α =α = 2 – b β =β = α 2 + β 2 – c > 0 2 –(–4) = α = 2 2 – 2 = β = –1 (2) 2 + (–1) 2 – k > – k > 0 5 – k > 0 k < 5


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