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Prof. Jorge Adição e subtração de arcos. Prof. Jorge Adição e subtração de arcos Se α e β são dois números reais quaisquer, é verdade que sen (α + β)

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1 Prof. Jorge Adição e subtração de arcos

2 Prof. Jorge Adição e subtração de arcos Se α e β são dois números reais quaisquer, é verdade que sen (α + β) = sen α + sen β? A partir dos valores do seno e do co-seno de dois arcos, podemos obter o seno e o co-seno de sua soma ou de sua diferença. sen (30º + 60º) = sen 30º + sen 60º = 1/2 + 3/2 = (1 + 3)/2 (F)

3 Prof. Jorge Adição de subtração de arcos sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a sen (a – b) = sen a. cos b – sen b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b – sen a. sen b cos (a – b) = cos a. cos b + sen a. sen b

4 Prof. Jorge Adição de subtração de arcos tg (a + b) = sen (a + b) cos (a + b) tg (a – b) = sen (a – b) cos (a – b) tg (a + b) = tg a + tg b 1 – tg a. tg b tg (a – b) = tg a – tg b 1 + tg a. tg b

5 Prof. Jorge Exemplos Utilizando a fórmula de soma e diferença de arcos, calcular sen 15º e cos 105º. 15º = 45º – 30º sen 15 = sen (45 – 30) sen (45 – 30) = sen 45. cos 30 – sen 30. cos 45 sen (45 – 30)= 2/2. 3/2 – 1/2. 2/2 = ( 6 – 2)/4 105º = 60º + 45º cos 105 = cos ( ) cos ( ) = cos 60. cos 45 – sen 60. sen 45 sen ( )= 1/2. 2/2 – 3/2. 2/2 = ( 2 – 6)/4

6 Prof. Jorge Exemplos Sendo cos x = 5/13, x do 3º quadrante, calcular sen (x + 30º). sen 2 x + (5/13) 2 = 1 sen 2 x + cos 2 x = 1 sen (x + 30)= –12/13. 3/2 + 1/2.(–5/13) sen 2 x = 1 – 25/169 sen 2 x = 144/169 sen x = – 12/13 (3º. Quadrante) sen (x + 30) = sen x. cos 30 – sen 30. cos x sen (x + 30)= (–12 3 – 5)/26

7 Prof. Jorge tg (a – b) Exemplos Sabendo que tg a = 3 e tg b = 2, calcule cotg (a – b). cotg (a – b) = 1 tg (a – b) = tg a – tg b 1 + tg a. tg b 3 – = 1 7 = cotg (a – b) = 7

8 Prof. Jorge Arco duplo

9 Prof. Jorge Arco duplo Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco. Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos. sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b – sen a. sen b Fazendo b = a nas duas fórmulas, sen (a + a) = sen a. cos a + sen a. cos a = 2 sen a. cos a cos (a + a) = cos a. cos a – sen a. sen a = cos 2 a – sen 2 a

10 Prof. Jorge Arco duplo Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco. Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos. tg (a + b) = tg a + tg b 1 – tg a. tg b Fazendo b = a na fórmula acima, tg (a + a) = tg a + tg a 1 – tg a. tg a 2tg a 1 – tg 2 a =

11 Prof. Jorge Arco duplo sen 2a = 2 sen a. cos a cos 2a = cos 2 a – sen 2 a 2tg a 1 – tg 2 a tg 2a =

12 Prof. Jorge Arco duplo Observação Lembrando que sen 2 a + cos 2 a = 1, temos cos 2a = cos 2 a – sen 2 a cos 2a = 1 – 2 sen 2 a cos 2a = 2 cos 2 a – 1

13 Prof. Jorge Transformação em produto

14 Prof. Jorge Transformação em produto Como calcular as somas e diferenças abaixo? sen p + sen q, sen p – sen q, cos p + cos q e cos p – cos q. Em muitas ocasiões, é importante transformar somas e diferenças de senos e co-senos em produtos. As fórmulas de seno e co-seno da soma e diferença de arcos nos ajudam.

15 Prof. Jorge Transformação em produto sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a (I) sen (a – b) = sen a. cos b – sen b. cos a (II) cos (a + b) = cos a. cos b – sen a. sen b (III) cos (a – b) = cos a. cos b + sen a. sen b (IV) Adicionando, membro a membro, e subtraindo, membro a membro, as relações (I) e (II). Obtemos: sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a. cos b sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b. cos a

16 Prof. Jorge Transformação em produto sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a (I) sen (a – b) = sen a. cos b – sen b. cos a (II) cos (a + b) = cos a. cos b – sen a. sen b (III) cos (a – b) = cos a. cos b + sen a. sen b (IV) Adicionando, membro a membro, e subtraindo, membro a membro, as relações (III) e (IV). Obtemos: cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a. cos b cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a. sen b

17 Prof. Jorge Transformação em produto cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a. cos b cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a. sen b sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a. cos b sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b. cos a a + b = p a – b = q p + q 2 a = p – q 2 e b =

18 Prof. Jorge Transformação em produto sen p + sen q = 2 sen. cos p + q 2 p – q 2 sen p – sen q = 2 cos. sen p + q 2 p – q 2 cos p + cos q = 2 cos. cos p + q 2 p – q 2 cos p – cos q = – 2 sen. cos p + q 2 p – q 2

19 Prof. Jorge Exemplos Fatorar as expressões abaixo a) sen 40º + sen 20º b) sen 20º – sen 10º c) cos 80º + cos 20º d) cos 70º – cos 50º e) cos 50º + sen 80º f) 1 + cos 20º

20 Prof. Jorge Exemplos Fatorar as expressões abaixo a) sen 40º + sen 20º = 2 sen ( )/2. cos (40 – 20)/2 = 2 sen 30. cos 10 = 2. 1/2. cos 10 = cos 10º.

21 Prof. Jorge Exemplos Fatorar as expressões abaixo b) sen 20º – sen 10º = 2 cos ( )/2. sen (20 – 10)/2 = 2 cos 15º. sen 5º. c) cos 80º + cos 20º = 2 cos ( )/2. cos (80 – 20)/2 = 2 cos 50. cos 30 = 2 cos 50. 3/2 = 3. cos 50º.

22 Prof. Jorge Exemplos Fatorar as expressões abaixo = – 2 sen ( )/2. sen (70 – 50)/2 = – 2 sen 60. sen 10 = 2. 3/2. sen 10 = – 3. sen 10º. d) cos 70º – cos 50º

23 Prof. Jorge Exemplos Fatorar as expressões abaixo e) cos 50º + sen 80º = 2 cos ( )/2. cos (50 – 10)/2 = 2 cos 30. cos 20 = 2. 1/2. cos 20 = cos 20º. = cos 50º + cos 10º

24 Prof. Jorge Exemplos Fatorar as expressões abaixo f) 1 + cos 20º = 2 cos (0 + 20)/2. cos (0 – 20)/2 = 2 cos 10. cos (–10) = 2 cos 2 10º. = cos 0º + cos 20º = 2 cos 10. cos 10

25 Prof. Jorge Exemplos Fatorar as expressões y = sen a + 2 sen 2a + sen 3a. y = sen a + sen 3a + 2 sen 2a y = 2 sen (a + 3a)/2. cos (a – 3a)/2 + 2 sen 2a y = 2 sen 2a. cos (–a) + 2 sen 2a y = 2 sen 2a. cos a + 2 sen 2a y = 2 sen 2a. (cos a + 1)= 2 sen 2a. (cos a + cos 0) y = 2 sen 2a. [2 cos (a + 0)/2. cos (a – 0)/2] y = 4 sen 2a. cos 2 (a/2)


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