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Composta de funções.

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Apresentação em tema: "Composta de funções."— Transcrição da apresentação:

1 Composta de funções

2 Composta de funções O lucro mensal L de uma pequena fábrica de peças é função f do número x de peças vendidas no mês. A fórmula de L em função de x é L = f(x) = 100x – 6 000 O salário mensal S de cada vendedor da fábrica é função g do lucro L obtido no mês. A fórmula de S em função de L é S = g(L) = L/50 Podemos obter o salário S em função do número x de peças vendidas no mês?

3 Composta de funções É claro que sim. Na verdade temos um sistema.
L = f(x) = 100 x – 6 000 L S = g(L) = 300 + 50 L 100x – 6 000 S = g(L) = 300 + S = g(L) = 300 + 50 50 S = g(L) = x – 120 S = g(L) = 2x + 180 S = g(L) = g(f(x)) De maneira geral, escrevemos

4 Composta de funções Temos uma nova função, obtida a partir das funções g e f, anteriormente definidas. Ela é chamada de composta de g e f e pode ser representada por g o f (g composta com f). B f(x) g C A f x g(f(x)) g o f A função composta (gof) faz o papel das funções f e g, aplicadas consecutivamente, nessa ordem.

5 Definição Dadas duas funções f: A→B e g: B→C, chama-se composta de g e f a função definida (gof): A→C tal que (gof)(x) = g(f(x)) A partir das expressões matemáticas que definem duas funções reais, é muito simples obter a composta delas.

6 Exemplo Consideremos as funções reais definidas por f(x) = 3x – 1 e g(x) = 2x A partir delas, obter o que se pede em cada item. a) f(2x + 5) f(x) = 3x – 1 f(2x + 5) = 3(2x + 5) – 1 f(2x + 5) = 6x + 15 – 1 f(2x + 5) = 6x + 14

7 Exemplo Consideremos as funções reais definidas por f(x) = 3x – 1 e g(x) = 2x A partir delas, obter o que se pede em cada item. b) f(g(–1)) g(x) = 2x2 + 5 g(–1) = 2.(–1)2 + 5 g(–1) = 7 f(x) = 3x – 1 f(7) = 3.7 – 1 = 20 f(g(–1)) = 20

8 Exemplo Consideremos as funções reais definidas por f(x) = 3x – 1 e g(x) = 2x A partir delas, obter o que se pede em cada item. c) (f o g)(x) (f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x2 + 5) f(x) = 3x – 1 f(2x2 + 5) = 3.(2x2 + 5) – 1 f(2x2 + 5) = 6x – 1 f(2x2 + 5) = 6x2 + 14 (f o g)(x) = 6x2 + 14

9 Exemplo Consideremos as funções reais definidas por f(x) = 3x – 1 e g(x) = 2x A partir delas, obter o que se pede em cada item. c) (g o f)(x) (g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) g(x) = 2x2 + 5 g(3x – 1) = 2.(3x – 1)2 + 5 g(3x – 1) = 2.(9x2 – 6x + 1) + 5 = 18x2 – 12x g(3x – 1) = 18x2 – 12x + 7 (g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7

10 Observação Definem-se a composta de uma função com ela mesma e a composta de três ou mais funções. (f o f)(x) = f(f(x)) (f o g o h)(x) = f(g(h(x))) (g o g)(x) = g(g(x))

11 Exemplo Se f(x) = 2x – 3 e g(x) = x + 5, obter as funções (f o f)(x) e (g o f o f)(x). (f o f)(x) (f o f)(x) = f(f(x)) = f(2x – 3) f(x) = 2x – 3 f(2x – 3) = 2.(2x – 3) – 3 f(2x – 3) = 4x – 6 – 3 f(2x – 3) = 4x – 9 (f o f)(x) = 4x – 9

12 Exemplo Se f(x) = 2x – 3 e g(x) = x + 5, obter as funções (f o f)(x) e (g o f o f)(x). (g o f o f)(x) (g o f o f)(x) = g(f(f(x))) = g(4x – 9) g(x) = x + 5 g(4x – 9) = 4x – 9 + 5 g(4x – 9) = 4x – 4 (g o f o f)(x) = 4x – 4

13 Exemplo Sendo f(x) = 6x – 1 e f(g(x)) = 6x + 5, encontrar a fórmula de g(x). f(x) = 6x – 1 f(g(x)) = 6.(g(x)) – 1 6.(g(x)) – 1 = 6x + 5 6.(g(x)) = 6x + 6 g(x) = x + 1

14 Exemplo Sendo f(x) = x – 1 e g(f(x)) = x2 – 6x + 10 a composta de g e f, obter g(3) e g(x). g(x – 1) = x2 – 6x + 10 g(f(x)) = x2 – 6x + 10 a) Cálculo de g(3) g(x – 1) = x2 – 6x + 10, x – 1 = 3 ⇒ x = 4 ⇒ g(4 – 1) = 42 – ⇒ g(3) = 16 – ⇒ g(3) = 2

15 Exemplo Sendo f(x) = x – 1 e g(f(x)) = x2 – 6x + 10 a composta de g e f, obter g(3) e g(x). g(x – 1) = x2 – 6x + 10 g(f(x)) = x2 – 6x + 10 a) Cálculo de g(x), x – 1 = k ⇒ x = k + 1 g(x – 1) = x2 – 6x + 10 g(k + 1 – 1) = (k + 1)2 – 6.(k + 1) + 10 ⇒ g(k) = k2 + 2k + 1 – 6k – ⇒ g(k) = k2 – 4k + 5 ⇒ g(x) = x2 – 4x + 5


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