Capítulo 9 – Progressão Geométrica (PG)

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1 Capítulo 9 – Progressão Geométrica (PG)
Prof. Daniel Keglis Matemática

2 9.3.1 Definição: É toda a sequência de números não nulos, na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do 2º) pelo termo anterior. Esse quociente é chamado de razão da progressão e é representado por q.

3 9.3.2 Razão da PG Exemplo 1 – A sequência (2,10,50,250) é uma PG finita de razão q = 5, pois Exemplo 2 – A sequência (6,-12,24,-48,96,......) é uma PG infinita de razão q = - 2, pois Portanto podemos determinar a razão de uma PG através da expressão:

4 9.3.3 Classificação e Razão da PG
Crescente: Uma PG é crescente quando: q > 1 e os termos são positivos. Ex: (2,6,18,54,....) e q = 3 0 < q < 1 e os termos são negativos. Ex: (-40, -20, ) e q = Decrescente: Uma PG é decrescente quando: 0 < q < 1 e os termos são positivos. Ex: (200, 100, 50,...) e q = q > 1 e os termos são negativos. Ex: (-4, -12, -36,...) e q = 3 Constante: Uma PG é constante quando q = 1: Ex: (10,10,10,10....) e q = 1 Alternante: Uma PG é alternante quando q < 0 Ex: (4, -8, 16, -32, ) q = -2

5 9.3.4 Três termos de uma PG Podemos obter 3 termos de uma PG através da relação:

6 9.3.5 Fórmula do termo geral de uma PG
Em uma PG (a1, a2 , a3 , ,an) de razão q, partindo do 1º termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo pela razão q (a2= a1.q), para avançar dois termos basta multiplicar o 1º termo pelo quadrado da razão q (a3= a1.q2), para avançar 3 termos basta multiplicar o 1º termo pelo cubo da razão (a4= a1.q3) e assim por diante. Desse modo podemos definir o termo geral de uma PG como sendo a expressão:

7 9.3.6 Fórmula do termo geral de uma PG
an termo geral a1 1º termo da PG q razão da PG n número de termos da PG EXEMPLOS NO CADERNO:

8 9.3.7 Propriedade da PG Quaisquer termos de uma PG, com exceção dos extremos, é a média geométrica entre o termo anterior e o termo posterior. Média Geométrica

9 9.3.8 Soma dos Termos de uma PG Finita
Seja uma PG de termos (a1, a2 , a3 , a4 , a5 ,.... an). Para calcular a soma Sn dos n termos de um PG utilizamos um artifício muito simples. Sn = a1+a2 +a3 +a an-1+ an I Multiplicando a equação pela razão q q.Sn = q.a1+q.a2 +q.a3 +q.a q.an-1+q. an q.Sn = a2 +a3 +a4 + a an+an+1 II

10 9.3.8 Soma dos Termos de uma PG Finita
Fazendo I – II obtemos: Sn- qSn= a1 – qan, Substituindo o termo an por e multiplicando os dois membros por q obtemos:

11 9.3.8 Soma dos Termos de uma PG Infinita
Para calcular a soma dos termos de uma PG infinita usamos a fórmula: Exemplos no caderno