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Capítulo 9 – Progressão Geométrica (PG) Prof. Daniel Keglis Matemática.

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1 Capítulo 9 – Progressão Geométrica (PG) Prof. Daniel Keglis Matemática

2 9.3.1 Definição: É toda a sequência de números não nulos, na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do 2º) pelo termo anterior. Esse quociente é chamado de razão da progressão e é representado por q.

3 9.3.2 Razão da PG Exemplo 1 – A sequência (2,10,50,250) é uma PG finita de razão q = 5, pois. Exemplo 2 – A sequência (6,-12,24,-48,96,......) é uma PG infinita de razão q = - 2, pois. Portanto podemos determinar a razão de uma PG através da expressão:

4 9.3.3 Classificação e Razão da PG Crescente: Uma PG é crescente quando: q > 1 e os termos são positivos. Ex: (2,6,18,54,....) e q = 3 0 < q < 1 e os termos são negativos. Ex: (-40, -20, ) e q = Decrescente: Uma PG é decrescente quando: 0 < q < 1 e os termos são positivos. Ex: (200, 100, 50,...) e q = q > 1 e os termos são negativos. Ex: (-4, -12, -36,...) e q = 3 Constante: Uma PG é constante quando q = 1: Ex: (10,10,10,10....) e q = 1 Alternante: Uma PG é alternante quando q < 0 Ex: (4, -8, 16, -32, ) q = -2

5 9.3.4 Três termos de uma PG Podemos obter 3 termos de uma PG através da relação:

6 9.3.5 Fórmula do termo geral de uma PG Em uma PG (a 1, a 2, a 3, ,a n ) de razão q, partindo do 1º termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo pela razão q (a 2 = a 1.q), para avançar dois termos basta multiplicar o 1º termo pelo quadrado da razão q (a 3 = a 1.q 2 ), para avançar 3 termos basta multiplicar o 1º termo pelo cubo da razão (a 4 = a 1. q 3 ) e assim por diante. Desse modo podemos definir o termo geral de uma PG como sendo a expressão :

7 9.3.6 Fórmula do termo geral de uma PG a n termo geral a 1 1º termo da PG q razão da PG n número de termos da PG EXEMPLOS NO CADERNO:

8 9.3.7 Propriedade da PG Quaisquer termos de uma PG, com exceção dos extremos, é a média geométrica entre o termo anterior e o termo posterior. Média Geométrica

9 9.3.8 Soma dos Termos de uma PG Finita Seja uma PG de termos (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,.... a n ). Para calcular a soma S n dos n termos de um PG utilizamos um artifício muito simples. S n = a 1 +a 2 +a 3 +a a n-1 + a n I Multiplicando a equação pela razão q q.S n = q.a 1 +q.a 2 +q.a 3 +q.a q.a n-1 +q. a n q.S n = a 2 +a 3 +a 4 + a a n +a n+1 II

10 9.3.8 Soma dos Termos de uma PG Finita Fazendo I – II obtemos: S n - qS n = a 1 – qa n, Substituindo o termo a n por e multiplicando os dois membros por q obtemos:

11 Para calcular a soma dos termos de uma PG infinita usamos a fórmula: Exemplos no caderno Soma dos Termos de uma PG Infinita


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