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AS PROGRESSÕES. Uma progressão aritmética é una sucessão em que cada elemento se obtém somando ao anterior um número fixo chamado razão, que se representa.

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1 AS PROGRESSÕES

2 Uma progressão aritmética é una sucessão em que cada elemento se obtém somando ao anterior um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Assim, se (a n ) é una progressão aritmética, verifica-se que: (r constante), PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

3 Se a razão é positiva, a progressão é crescente; ou seja, cada termo é maior que o anterior.

4 Se a razão é zero, a progressão é constante, ou seja, tem todos os seus termos iguais.

5 Se a razão é negativa, a progressão é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.

6 Se a 2 = a 1 + r a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a r a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2r) + r = a r a 5 = a 4 + r = (a 1 + 3r) + r = a r Logo, a n = a 1 +(n-1). r Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se: a n = a k +(n-k). r Termo geral de uma progressão aritmética PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

7 Exercício: Escreve a expressão do termo geral das p.a. em que: 1) Exercício: Escreve a expressão do termo geral das p.a. em que: 1) 2) u 1 = -5 e r = 1/2 3) u 10 = 8 e u 3 = -6 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS n u n O

8 É muito conhecida a história segundo a qual propuseram a Gauss ( ), na escola primária quando este contava somente dez anos de idade, que somasse os 100 primeiros números naturais. Perante o assombro do professor, mal este tinha acabado de ditar o problema, Gauss deu a solução: O que este insigne matemático observou foi: = 2+99 = 3+98 =... etc. Só teve que dar-se conta de que tinha 50 pares de números, sendo a soma de cada par 101. Assim, limitou-se a multiplicar 50 x 101 = Soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Gauss ( )

9 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Consideremos a progressão aritmética de termo geral u n = 2n-3 e tomemos oito quaisquer termos consecutivos desta sucessão: Por exemplo: Podemos calcular a soma dos oito termos considerados, fazendo: S 8 = 28 x 4 ou seja S 8 = (7+21) x 8/2

10 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Esta propriedade continua ser válida, se tomarmos um número ímpar de termos. Por exemplo: S 7 = (9+21) x = = 105 ou S 7 = (9+21) x 7/2 = 30 x 3,5 = 105

11 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por Sendo n o número de termos considerados e a 1 e a n o primeiro e o último desses termos. Exercício: Calcula a soma dos termos compreendidos entre u 15 e u 41 (excluídos estes) da progressão aritmética


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