Progressões aritméticas e geométricas

Apresentação em tema: "Progressões aritméticas e geométricas"— Transcrição da apresentação:

1 Progressões aritméticas e geométricas
Prof. Jorge

2 Quem levou vantagem? Denise e Pedro são colegas. No ano passado, cada um recebia 200,00 reais de mesada. Este ano, eles fizeram aos pais propostas diferentes. A mesada começaria pequena e aumentava mês a mês. Prof. Jorge

3 Quem levou vantagem? Denise queria receber 10,00 reais em janeiro e, a cada um dos meses seguintes, 30,00 reais a mais que no mês anterior. Já a proposta de Pedro era receber só 1 real em janeiro e, em cada um dos meses seguintes, o dobro do mês anterior. Prof. Jorge

4 Quem levou vantagem? Os pais acharam as propostas interessantes e toparam. No acumulado do ano, Denise e Pedro levaram vantagem? A resposta a essa pergunta você vai encontrar no estudo das progressões. Prof. Jorge

5 Sucessão ou seqüência Prof. Jorge

6 Sucessão ou seqüência (SP, CZ, GE, PA, FL, SN)
O quadro a seguir mostra, ordenadamente, a lista dos seis primeiros classificados no campeonato brasileiro de futebol, edição 2007. Classificação Time 1 Primeiro lugar São Paulo (SP) 2 Segundo lugar Cruzeiro(CZ) 3 Terceiro lugar Grêmio (GE) 4 Quarto lugar Palmeiras (PA) 5 Quinto lugar Fluminense (FL) 6 Sexto lugar Santos (SN) (CZ, FL, GE, PA, SN, SP) (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) Prof. Jorge

7 Sucessão ou seqüência (SP, CZ, GE, PA, FL, SN)
Veja os elementos da sucessão ou seqüência. (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) Cada time é um termo da seqüência; O critério ordem de classificação identifica qual é o primeiro termo, o segundo, o terceiro, ..., o sexto; Na representação de uma sucessão, os termos aparecem entre parênteses, ordenados e separados por vírgulas. Prof. Jorge

8 Sucessão ou seqüência Veja agora, o quadro a seguir. Ele mostra o número de alunos do 1º. Ano que perderam média em Matemática, em cada uma das três etapas de 2007. 1 2 3 Etapa 1.ª 2.ª 3.ª No. de alunos 18 15 11 Os números da última linha formam a seqüência ou sucessão (18, 15, 11) O critério ordem cronológica identifica qual é o primeiro, o segundo e o terceiro termo; Prof. Jorge

9 Definição Sucessão ou seqüência é toda lista de termos em que se distinguem, a partir de um determinado critério bem definido, o primeiro, o segundo, o terceiro, etc. Numa seqüência, duas coisas são importantes: Os termos que a compõem; A ordem em que eles aparecem, a partir de um critério pré-estabelecido; Prof. Jorge

10 Seqüências numéricas Vamos dar ênfase às seqüências numéricas. São aquelas cujos termos são números reais. Uma seqüência pode ser finita e infinita. A seqüência (18, 15, 11) é uma seqüência numérica finita. Ela tem último termo (o terceiro). A seqüência (0, 2, 4, 6, 8, ...) dos números naturais pares é uma seqüência infinita. Não existe o maior número natural par. Prof. Jorge

11 Seqüências numéricas - representação
De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. a1 → primeiro termo a2 → segundo termo O índice indica a posição do elemento na seqüência. a3 → terceiro termo a4 → quarto termo an → enésimo termo ou termo geral Prof. Jorge

12 Seqüências numéricas - representação
De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. (a1, a2, a3, a4, ..., an) representa uma secessão finita (a1, a2, a3, a4, ...an, ...) representa uma secessão infinita Prof. Jorge

13 Exemplo Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos: a1 = 1 a3 = 5 a6 = 11 Prof. Jorge

14 Sucessão definida pelo seu termo geral
Prof. Jorge

15 Definição Uma sucessão numérica é uma função de variável natural n, não-nula, com imagem no conjunto dos números reais. O domínio da variável n é O conjunto N*, se a sucessão é infinita; O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}, se a sucessão é finita, com n termos. Assim, f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, ..., f(n) = an. Prof. Jorge

16 Exemplo Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...) n = 1 → f(1) = 1 ⇒ a1 = 1 n = 2 → f(2) = 3 ⇒ a2 = 3 n = 3 → f(3) = 5 ⇒ a3 = 5 n = 4 → f(4) = 7 ⇒ a4 = 7 n = 5 → f(5) = 9 ⇒ a5 = 9 Prof. Jorge

17 Termo geral Certas sucessões numéricas são definidas pelo seu termo geral an. No caso, o enésimo termo é expressão em função da variável natural n ≠ 0. Prof. Jorge

18 Exemplo O termo geral de uma sucessão é an = n2 + 2n. Obter os termos a2 e a7. Mostrar que 48 é um de seus termos e identificar a posição. Em an = n2 + 2n, vamos fazer n = 2 e n = 7. n = 2 ⇒ a2 = ⇒ a2 = = 8 n = 7 ⇒ a2 = ⇒ a2 = = 63 Fazendo an = 48, n2 + 2n = 48 ⇒ n2 + 2n – 48 = 0 ⇒ n’ = –8 (F) ⇒ n” = 6 ⇒ 48 é o sexto termo. ⇒ a6 = 48. Prof. Jorge

19 Sucessão definida por uma lei de recorrência
Prof. Jorge

20 Lei de recorrência Seqüências numéricas costumam ser definidas, às vezes, por uma lei de recorrência. No caso, são dados. Um dos termos (em geral, o primeiro); Uma lei que permita obter cada um dos demais termos, recorrendo-se a termos anteriormente calculados. Prof. Jorge

21 Exemplos Obter os cinco primeiros termos da sucessão numérica infinita, definida pela lei de recorrência. a1 = 3 an+1 = 2an + 1, para n ≥ 1 n = 1 ⇒ a2 = 2.a1 + 1 ⇒ a2 = ⇒ a2 = 7 n = 2 ⇒ a3 = 2.a2 + 1 ⇒ a3 = ⇒ a3 = 15 n = 3 ⇒ a4 = 2.a3 + 1 ⇒ a4 = ⇒ a4 = 31 n = 4 ⇒ a5 = 2.a4 + 1 ⇒ a5 = ⇒ a5 = 63 (3, 7, 15, 31, 63) Prof. Jorge

22 Exemplos Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos. a) (2, 7, 12, 17, ...) 22 e 27. b) (1, 8, 27, 64, ...) 125 e 216. c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54, ...) 1 e 162. d) (3, 6, 12, 24, ...) 48 e 96. e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) 21 e 34. f) (0, 3, 8, 15, 24, ...) 35 e 48. Prof. Jorge

23 Exemplos Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos. g) 1 2 3 4 5 6 , , , , ... , 4 9 16 25 36 49 1 4 11 29 76 199 h) , , , , ... , 3 7 18 47 123 322 i) (Ana, Gustavo, Bárbara, Hugo, Bruna, ...) João, Camila Prof. Jorge

24 Progressões aritméticas
Prof. Jorge

25 Progressão aritmética
Rodrigo resolveu colecionar moedas. Começou apenas com 15. Mas ele está animado. A cada dia pretende acrescentar mais 4 moedas à sua coleção. +4 +4 +4 +4 +4 +4 (15, 19, 23, 27, 31, 35, ...) A constante 4 é a razão da seqüência. Prof. Jorge

26 Definição an = an - 1 + r ⇒ an – an - 1 = r
Progressão aritmética (PA) é toda sucessão numérica em que cada termo (a partir do segundo) é a soma do antecessor com uma constante r, chamada razão da P.A. Para n > 1, uma P.A. obedece à lei de recorrência an = an r ⇒ an – an - 1 = r Portanto, a razão r é a diferença entre um termo qualquer e o anterior. r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... Prof. Jorge

27 Exemplos (2, 5, 8, 11, 14) É uma P.A. finita. Ela é crescente, porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é: r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3 Em geral, se r > 0 a P.A. é crescente. Prof. Jorge

28 Exemplos (6; 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5; ...) É uma P.A. infinita. Ela é decrescente, porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é: r = 5,5 – 6 = 5 – 5,5 = 4,5 – 5 = 4 – 4,5 = –0,5 Em geral, se r < 0 a P.A. é decrescente. Prof. Jorge

29 Exemplos (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.A. constante, porque tem todos os termos iguais. Sua razão é: r = 3 – 3 = 0 Em geral, se r = 0 a P.A. é constante. Prof. Jorge

30 Exemplos Se (2, m + 1, 3m – 4) é uma P.A., obter o valor de m e a razão da P.A. Na sucessão, a1 = 2, a2 = m + 1 e a3 = 3m – 4 Se ela é uma P.A., deve ser: a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ m + 1 – 2 = 3m – 4 – (m + 1) ⇒ m – 1 = 3m – 4 – m – 1 ⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ – m = – 4 ⇒ m = 4 Para m = 4, a P.A. é (2, 5, 8), de razão 3. Prof. Jorge

31 Observação Da definição de P.A. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media aritmética dos outros dois. Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3, a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ 2a2 = a1 + a3 a1 + a3 a2 = 2 Prof. Jorge

32 Termo geral de uma P.A. Prof. Jorge

33 Termo geral da P.A. Numa progressão aritmética o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão. Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão aritmética, a partir do primeiro termo e da razão. Prof. Jorge

34 Termo geral da P.A. Observe a seqüência de termos abaixo.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... +r +r +r +r +r +r Note que “saltar” de um termo para o seguinte signifi-ca somar a razão. De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1 + r De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1 + 2r De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1 + 3r E assim por diante. Prof. Jorge

35 Termo geral da P.A. Observe a seqüência de termos abaixo.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... +r +r +r +r +r +r De maneira geral, de a1 até um termo genérico an, são (n – 1) saltos. an é o enésimo termo an = a1 + (n – 1)r n é a posição do termo Prof. Jorge

36 Observação O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir. –r –r –r –r –r –r a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... +r +r +r +r +r +r Saltar para o termo seguinte é somar a razão; saltar para o termo anterior é subtrair a razão. Prof. Jorge

37 Exemplos –r –r –r –r –r –r a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... +r +r +r +r +r +r
De a1 para a15 são 15 – 1 = 14 saltos a15 = a1 + 14r ou a1 = a15 – 14r De a8 para a12 são 12 – 8 = 4 saltos a12 = a8 + 4r ou a8 = a12 – 4r Prof. Jorge

38 Exemplos –r –r –r –r –r –r a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... +r +r +r +r +r +r
De a10 para a13 são 13 – 10 = 3 saltos a13 = a10 + 3r ou a10 = a13 – 3r De a23 para a37 são 37 – 23 = 14 saltos a37 = a r ou a23 = a37 – 14r Prof. Jorge

39 Exemplos Na P.A. (–2, 1, 4, ...) calcular o décimo quinto termo e o termo geral an. Na sucessão, a1 = –2 e r = 4 – 1 = 3 a15 = a1 + 14r = – = –2 + 42 ⇒ a15 = 40 an = a1 + (n – 1)r = –2 + (n – 1) . 3 ⇒ an = –2 + 3n – 3 ⇒ an = –5 + 3n Prof. Jorge

40 Exemplos A sucessão infinita de termo geral an = 7 – 5n é uma P.A. Achar o terceiro e o décimo termos e, a partir deles, a razão da P.A. Em an = 7 – 5n, vamos fazer n = 3 e n = 10. a3 = 7 – 5.3 = 7 – 15 ⇒ a3 = –8 a10 = 7 – 5.10 = 7 – 50 ⇒ a10 = –43 a10 = a3 + 7.r ⇒ –43 = –8 + 7r ⇒ –7r = –8 + 43 ⇒ –7r = + 35 ⇒ r = –5 Prof. Jorge

41 Exemplos Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos? O menor múltiplo de 3 com 2 algarismos é 12 e o maior é 99. Temos uma P.A. finita (12, 15, 18, ..., 96, 99) Na sucessão, a1 = 12, r = 3 e an = 99. an = a1 + (n – 1)r ⇒ 99 = 12 + (n – 1) . 3 ⇒ 99 = n – 3 ⇒ 99 = 9 + 3n ⇒ 90 = 3n ⇒ n = 30 Prof. Jorge

42 Soma dos termos na P.A. Prof. Jorge

43 Soma dos termos na P.A. O alemão Carl Friedrich Gauss deu grandes contribuições ao desenvolvimento das idéias matemáticas. Desde pequeno, ele mostrava sua genialidade. Um fato curioso ocorreu quando ele tinha em torno de dez anos de idade. Certo dia, numa aula de matemática, o professor pediu que seus alunos obtivessem a soma dos números inteiros de 1 a 100. Entre os alunos, estava Gauss. Prof. Jorge

44 Soma dos termos na P.A. S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100?
101 101 101 101 S = = 5 050 Observe que as parcelas da soma de Gauss formam uma P.A. (Nela a1 = 1, a100 = 100 e r = 1). Prof. Jorge

45 Soma dos termos na P.A. Você verá que a propriedade que Gauss descobriu é válido para qualquer P.A. Numa P.A. finita com n termos, (a1 a2 a3 a4 ... an-3 an-2 an-1 an) n termos a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = a4 + an–3 = ... a1 + an Sn = (a1 + an). n Sn = .n 2 2 Prof. Jorge

46 Exemplos Obter a soma dos 30 primeiros números ímpares, sem adicioná-los um a um. Devemos obter a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (1, 3, 5, 7, 9, ...) a30 = a1 + 29r ⇒ a30 = ⇒ a30 = 59 a1 + a30 1 + 59 ⇒ S30 = 900 S30 = .n = . 30 2 2 Prof. Jorge

47 Exemplos Calcular a soma , sabendo-se que as parcelas formam uma P.A. Primeiro vamos encontrar o número de termos da P.A. an = a1 + (n – 1).r ⇒ = 2 + (n – 1).3 ⇒ = 2 + 3n – 3 ⇒ = 3n ⇒ n = 21 a1 + a21 2 + 62 ⇒ S21 = 672 S21 = .n = . 21 2 2 Prof. Jorge

48 Exemplos Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x). an = a1 + (n – 1).r ⇒ x = 3 + (n – 1).1 ⇒ x = 3 + n – 1 ⇒ x = n + 2 Prof. Jorge

49 Exemplos Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x). a1 + an 3 + x Sn = .n ⇒ . n = 150 2 2 3 + n + 2 ⇒ . n = 150 ⇒ n = 15 e x = 17 2 Prof. Jorge

50 Progressões geométricas
Prof. Jorge

51 Progressão aritmética
Um laboratorista pesquisou uma cultura de bactérias, em uma lâmina. Ele percebeu que, a princípio, havia apenas 5 bactérias. A cada hora, no entanto, a quantidade delas dobrava. .2 .2 .2 .2 .2 .2 (5, 10, 20, 40, 80, 160, ...) A constante 2 é a razão da seqüência. Prof. Jorge

52 Definição an = an - 1 . q ⇒ an/an - 1 = q
Progressão geométrica (PG) é toda sucessão numérica de termos não-nulos em que cada termo (a partir do segundo) é produto do seu antecessor com uma constante q, chamada razão da P.G. Para n > 1, uma P.G. obedece à lei de recorrência an = an q ⇒ an/an - 1 = q Portanto, a razão q é o quociente entre um termo qualquer e o anterior. q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... Prof. Jorge

53 Exemplos (2, 6, 18, 54, 162) É uma P.G. infinita e crescente, porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é: q = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54 = 3 Em geral, se a1 > 0 e q > 0 a P.G. é crescente. Em geral, se a1 < 0 e 0 < q < 1 a P.G. é crescente. Prof. Jorge

54 Exemplos (40, 20; 10, 5, ...) É uma P.G. infinita e decrescente, porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é: q = 20/40 = 10/20 = 5/10 = 0,5 Em geral, se a1 > 0 e 0 < q < 1 a P.G. é decrescente. Em geral, se a1 < 0 e q > 0 a P.G. é decrescente. Prof. Jorge

55 Exemplos (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.G. infinita e constante, porque tem todos os termos iguais. Sua razão é: q = 3/3 = 1 Em geral, se q = 1 a P.G. é constante. Prof. Jorge

56 Exemplos (3, –6, 12, –24, 48) É uma P.G. finita e oscilante, porque ela alterna termos positivos e negativos. Sua razão é: q = –6/3 = 12/–6 = –24/12 = 48/–24 = –2 Em geral, se q < 0 a P.G. é oscilante. Prof. Jorge

57 Exemplos Se (x, x + 3, 2x + 14) é uma P.G., obter o valor de x.
Na sucessão, a1 = x, a2 = x + 3 e a3 = 2x + 14 Se ela é uma P.G., deve ser: a2/a1 = a3/a2 x + 3 2x + 14 = ⇒ (x + 3)2 = x(2x + 14) x x + 3 ⇒ x2 + 6x + 9 = 2x2 + 14x ⇒ x2 + 8x – 9 = 0 (1, 4, 16) q = 4 (–9, –6, –4) q = 2/3 ⇒ x’ = –9 ou x” = 1 Prof. Jorge

58 Observação Da definição de P.G. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media geométrica dos outros dois. Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3, a2 a3 = ⇒ (a2)2 = a1 . a3 a1 a2 Prof. Jorge

59 Termo geral de uma P.G. Prof. Jorge

60 Termo geral da P.G. Numa progressão geométrica o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão. Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão geométrica, a partir do primeiro termo e da razão. Prof. Jorge

61 Termo geral da P.G. Observe a seqüência de termos abaixo.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... .q .q .q .q .q .q Agora “saltar” de um termo para o seguinte significa multiplicar pela razão. De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1.q De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1.q2 De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1.q3 E assim por diante. Prof. Jorge

62 Termo geral da P.G. Observe a seqüência de termos abaixo.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... .q .q .q .q .q .q De maneira geral, de a1 até um termo genérico an, são (n – 1) saltos. an é o enésimo termo an = a1.qn–1 n é a posição do termo Prof. Jorge

63 Observação O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir. :q :q :q :q :q :q a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... .q .q .q .q .q .q Saltar para o termo seguinte é multiplicar pela razão; saltar para o termo anterior é dividir pela razão. Prof. Jorge

64 Exemplos :q :q :q :q :q :q a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... .q .q .q .q .q .q
De a1 para a18 são 18 – 1 = 17 saltos a18 = a1.q17 ou a1 = a18:q17 De a5 para a11 são 11 – 5 = 6 saltos a11 = a5.q6 ou a5 = a11:q6 Prof. Jorge

65 Exemplos :q :q :q :q :q :q a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... .q .q .q .q .q .q
De a13 para a16 são 16 – 13 = 3 saltos a16 = a13.q3 ou a13 = a16:q3 De a11 para a37 são 37 – 11 = 26 saltos a37 = a11.q26 ou a11 = a37:q26 Prof. Jorge

66 Exemplos Na P.G. (3, 6, 18, ...) achar o oitavo termo e o termo geral an. Na sucessão, a1 = 3 e q = 6/3 = 2 a8 = a1.q7 = 3.27 = ⇒ a8 = 384 an = a1.qn–1 ⇒ an = 3.2n–1 Prof. Jorge

67 Exemplos Obter a razão q e o termo a12 da P.G. crescente na qual a6 = 12 e a10 = 48. De a6 até a10 são 10 – 6 = 4 saltos. ⇒ a10 = a6.q4 ⇒ 48 = 12.q4 ⇒ q4 = 4 ⇒ q = ± √2 para q = –√2, a P.G. seria oscilante, logo q = √2 ⇒ a12 = a10.q2 = 48.(√2 )2 ⇒ a12 = 96 Prof. Jorge

68 Exemplos Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, sócios? Veja o que ocorre, por exemplo, até março. mês antigos novos Total a1 1. Janeiro 20 – 20 a2 2. Fevereiro 20 60 80 a3 3. Março 80 240 320 Prof. Jorge

69 Exemplos Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, sócios? Os totais de sócios mês a mês formam a P.G. (20, 80, 240, ...), de razão q = 4. an = a1.qn–1 ⇒ = 20.4n–1 ⇒ 4n–1 = 4 096 ⇒ 4n–1 = 46 ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7 O clube terá sócios em julho (mês 7). Prof. Jorge

70 Exemplos Numa P.G. oscilante, a4 + a6 = 40 e a2 + a4 = 10. Calcular o primeiro termo e a razão. Vamos escrever cada termo em função do primeiro termo a1 e da razão q. a4 + a6 = a1.q3 + a1.q5 = 40 ⇒ a1.q3(1 + q2) = 40 a2 + a4 = a1.q + a1.q3 = 10 ⇒ a1.q(1 + q2) = 10 a1.q3(1 + q2) = 40 ⇒ q2 = 4 ⇒ q = ±2 a1.q(1 + q2) = 10 P.G. oscilante q = –2, então a1 = –1. Prof. Jorge

71 Soma dos termos na P.G. Prof. Jorge

72 Soma finita dos termos de uma P.G.
Podemos obter, também, a soma dos n termos de uma P.G. finita, de forma bem simples. Não precisamos para isso, conhecer os valores de todos os seus termos a serem somados. Prof. Jorge

73 Soma finita na P.G. constante (q = 1)
Os termos de uma P.G. constante (q = 1) são todos iguais. Por isso, é extremamente simples calcular a soma dos n primeiros termos. Na P.G. infinita e constante (3, 3, 3, 3, ...), a soma dos 8 primeiros termos é S8 = 8.3 = 24 A soma dos 20 primeiros termos é S20 = 20.3 = 60 Prof. Jorge

74 Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)
Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: A expressão ( ) representa a soma dos dez termos de uma P.G., onde a1 = 2 e q = 2. S = (A) 2.S = 2.S = (B) Prof. Jorge

75 Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)
Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: Vamos subtrair, membro a membro (B) – (A). 2.S – S = 211 – 21 ⇒ S = 211 – 21 ⇒ S = 2048 – 2 = 2046 Prof. Jorge

76 Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)
De maneira Geral. A soma dos n primeiros termos de uma P. G., não-constante (q ≠ 1) é dado por Sn = a1 + a2 + a an–1 + an (1) q.Sn = a1.q + a2.q+ a3.q an–1.q + an.q q.Sn = a2 + a3 + a an + an + 1 (2) q.Sn – Sn = an+1 – a1 ⇒ Sn.(q – 1) = a1.qn – a1 a1.(qn – 1) Sn = (q ≠ 1) q – 1 Prof. Jorge

77 Exemplos Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, ...), sem adicioná-los um a um. Na P.G., temos a1 = 2 e q = 3. queremos S8. a1.(q8 – 1) 2.(38 – 1) S8 = = = 38 – 1 = 6 560 q – 1 3 – 1 Prof. Jorge

78 Exemplos Em janeiro, uma empresa fabricou unidades de um certo produto. Nos meses seguintes, a produção cresceu 10% ao mês. Qual será a produção acumulada de janeiro a abril? A produção a cada mês é multiplicada por 1,1 (110%), logo forma uma P.G. de razão q = 1,1 e a1 = a1.(q4 – 1) (1,14 – 1) S4 = = q – 1 1,1 – 1 (1,4641 – 1) = = 0,1 Prof. Jorge

79 Somas convergentes numa P.G. infinita
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80 Somas convergentes na P.G. infinita
Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira. Primeiro cortou-a ao meio, dividindo-a em dois pedaços de 8 m cada um e colocou-os lado a lado. 8 m 8 m Depois cortou um dos pedaços ao meio novamente, obtendo 3 partes: 8m, 4 m e 4 m. Colocou-os lado a lado. 8 m 4 m 4 m Prof. Jorge

81 Somas convergentes na P.G. infinita
Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira. Em seguida, cortou um dos pedaços menores ao meio, mais uma vez. Ficou, assim com 4 partes: uma de 8 m, uma de 4 m e duas de 2 m cada uma. Outra vez, elas foram postas lado a lado. 8 m 4 m 2 m 2 m Bruna achou a brincadeira interessante e continuou com ela por muito tempo. Sempre um dos pedaços menores era dividido ao meio. Prof. Jorge

82 Somas convergentes na P.G. infinita
Continuando infinitamente esse processo, observa- mos: O total de pedaços obtidos é infinito; O tamanho de cada pedaço é cada vez menor (a metade do anterior). A soma, em metros, das infinitas partes é a soma dos termos de uma P.G. infinita: ,5 + 0, a1 = 8 e a q = 0,5. Quanto mais parcelas são somadas, cada vez mais a soma se aproxima de 16. Prof. Jorge

83 Somas convergentes na P.G. infinita
Uma P.G. é convergente, se a soma dos seus infinitos termos tender para um determinado número. Nesse caso, essa soma é simbolizada por lim Sn. ,5 + 0, Lim Sn = 16 ,5 + 0, = 16 A soma dos termos de uma P.G. infinita é convergente ⇔ 0 < | q | < 1. Prof. Jorge

84 Exemplos A soma 1 + 0,1 + 0,01 + 0, É convergente a razão da P.G. q = 0,1 e 0 < q < 1. A soma 2 – 1 + 0,5 – 0,25 + 0, É convergente a razão da P.G. q = – 0,5 e 0 < | q | < 1. A soma Não é convergente a razão da P.G. q = 3, q > 1. Prof. Jorge

85 Somas convergentes na P.G. infinita
De maneira Geral. O limite da soma dos termos de uma P. G. infinita é dado por n qn a1.(qn – 1) Sn = q – 1 1 0,51 = 0,5 ⇒ 2 0,52 = 0,25 a1.(0 – 1) 3 0,53 = 0,125 Sn = q – 1 4 0,54 = 0,0625 ⇒ 5 0,55 = 0,03125 a1 ... .... Lim Sn = 1 – q n → ∞ qn → 0 Prof. Jorge

86 Exemplos Na soma infinita 18 – – 16/ , as parcelas estão em P.G. Mostrar que essa soma é convergente e calcular seu valor. Na P.G. a razão q = –2/3. 0 < | q | < 1. A soma é convergente a1 18 18 Lim Sn = = = 1 – q 1 + 2/3 5/3 3 = 18 . = 10,8 5 Prof. Jorge

87 Exemplos Utilizando a fórmula do limite da soma, achar a fração geratriz da dízima periódica 2, A dízima é igual à seguinte soma infinita: 2,5 + 0,03 + 0, , , P.G. infinita: a1 = 0,03 e q = 0,1. a1 0,03 0,03 Lim Sn = = = = 1/30 1 – q 1 – 0,1 0,9 2, = 2,5 + 1/30 = 38/15 Prof. Jorge

88 Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior. Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser? Prof. Jorge

89 Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior. Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser? As larguras das caixas formam a P.G. (90, 68, 57,8, ...) convergente de a1 = 90 e q = 0,85. a1 90 90 Lim Sn = = = = 600 cm 1 – q 1 – 0,85 0,15 Prof. Jorge