A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Prof. Jorge Progressões aritméticas e geométricas.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Prof. Jorge Progressões aritméticas e geométricas."— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Jorge Progressões aritméticas e geométricas

2 Prof. Jorge Quem levou vantagem? Denise e Pedro são colegas. No ano passado, cada um recebia 200,00 reais de mesada. Este ano, eles fizeram aos pais propostas diferentes. A mesada começaria pequena e aumentava mês a mês.

3 Prof. Jorge Quem levou vantagem? Denise queria receber 10,00 reais em janeiro e, a cada um dos meses seguintes, 30,00 reais a mais que no mês anterior. Já a proposta de Pedro era receber só 1 real em janeiro e, em cada um dos meses seguintes, o dobro do mês anterior.

4 Prof. Jorge Quem levou vantagem? Os pais acharam as propostas interessantes e toparam. No acumulado do ano, Denise e Pedro levaram vantagem? A resposta a essa pergunta você vai encontrar no estudo das progressões.

5 Prof. Jorge Sucessão ou seqüência

6 Prof. Jorge Sucessão ou seqüência O quadro a seguir mostra, ordenadamente, a lista dos seis primeiros classificados no campeonato brasileiro de futebol, edição ClassificaçãoTime 1Primeiro lugarSão Paulo (SP) 2Segundo lugarCruzeiro(CZ) 3Terceiro lugarGrêmio (GE) 4Quarto lugarPalmeiras (PA) 5Quinto lugarFluminense (FL) 6Sexto lugarSantos (SN) (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) (CZ, FL, GE, PA, SN, SP)

7 Prof. Jorge Sucessão ou seqüência Veja os elementos da sucessão ou seqüência. (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) Cada time é um termo da seqüência; O critério ordem de classificação identifica qual é o primeiro termo, o segundo, o terceiro,..., o sexto; Na representação de uma sucessão, os termos aparecem entre parênteses, ordenados e separados por vírgulas.

8 Prof. Jorge Sucessão ou seqüência Veja agora, o quadro a seguir. Ele mostra o número de alunos do 1º. Ano que perderam média em Matemática, em cada uma das três etapas de Etapa1.ª2.ª3.ª N o. de alunos Os números da última linha formam a seqüência ou sucessão (18, 15, 11) O critério ordem cronológica identifica qual é o primeiro, o segundo e o terceiro termo;

9 Prof. Jorge Definição Sucessão ou seqüência é toda lista de termos em que se distinguem, a partir de um determinado critério bem definido, o primeiro, o segundo, o terceiro, etc. Numa seqüência, duas coisas são importantes: Os termos que a compõem; A ordem em que eles aparecem, a partir de um critério pré-estabelecido;

10 Prof. Jorge Seqüências numéricas Vamos dar ênfase às seqüências numéricas. São aquelas cujos termos são números reais. Uma seqüência pode ser finita e infinita. A seqüência (18, 15, 11) é uma seqüência numérica finita. Ela tem último termo (o terceiro). A seqüência (0, 2, 4, 6, 8,...) dos números naturais pares é uma seqüência infinita. Não existe o maior número natural par.

11 Prof. Jorge Seqüências numéricas - representação De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. a 1 primeiro termo a 2 segundo termo a 3 terceiro termo a 4 quarto termo a n enésimo termo ou termo geral O índice indica a posição do elemento na seqüência.

12 Prof. Jorge Seqüências numéricas - representação De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n ) representa uma secessão finita (a 1, a 2, a 3, a 4,...a n,...) representa uma secessão infinita

13 Prof. Jorge Exemplo Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...) dos números naturais ímpares, temos: a 1 = 1 a 3 = 5 a 6 = 11

14 Prof. Jorge Sucessão definida pelo seu termo geral

15 Prof. Jorge Definição Uma sucessão numérica é uma função de variável natural n, não-nula, com imagem no conjunto dos números reais. O domínio da variável n é O conjunto N*, se a sucessão é infinita; O conjunto {1, 2, 3, 4, 5,..., n}, se a sucessão é finita, com n termos. Assim, f(1) = a 1, f(2) = a 2, f(3) = a 3,..., f(n) = a n.

16 Prof. Jorge Exemplo Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...) dos números naturais ímpares, temos: n = 1 f(1) = 1 a 1 = 1 n = 2 f(2) = 3 a 2 = 3 n = 3 f(3) = 5 a 3 = 5 n = 4 f(4) = 7 a 4 = 7 n = 5 f(5) = 9 a 5 = (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7,..., a n,...)

17 Prof. Jorge Termo geral Certas sucessões numéricas são definidas pelo seu termo geral a n. No caso, o enésimo termo é expressão em função da variável natural n 0.

18 Prof. Jorge Exemplo O termo geral de uma sucessão é a n = n 2 + 2n. Obter os termos a 2 e a 7. Mostrar que 48 é um de seus termos e identificar a posição. Em a n = n 2 + 2n, vamos fazer n = 2 e n = 7. n = 2 a 2 = a 2 = = 8 n = 7 a 2 = a 2 = = 63 Fazendo a n = 48,n 2 + 2n = 48 n 2 + 2n – 48 = 0 n = –8 (F) n = 6 48 é o sexto termo. a 6 = 48.

19 Prof. Jorge Sucessão definida por uma lei de recorrência

20 Prof. Jorge Lei de recorrência Seqüências numéricas costumam ser definidas, às vezes, por uma lei de recorrência. No caso, são dados. Um dos termos (em geral, o primeiro); Uma lei que permita obter cada um dos demais termos, recorrendo-se a termos anteriormente calculados.

21 Prof. Jorge Exemplos Obter os cinco primeiros termos da sucessão numérica infinita, definida pela lei de recorrência. a 1 = 3 a n+1 = 2a n + 1, para n 1 (3, 7, 15, 31, 63) n = 1 a 2 = 2.a a 2 = a 2 = 7 n = 2 a 3 = 2.a a 3 = a 3 = 15 n = 3 a 4 = 2.a a 4 = a 4 = 31 n = 4 a 5 = 2.a a 5 = a 5 = 63

22 Prof. Jorge Exemplos Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos. a) (2, 7, 12, 17,...) b) (1, 8, 27, 64,...) c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54,...) d) (3, 6, 12, 24,...) e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...) f) (0, 3, 8, 15, 24,...) 22 e e e e e e 48.

23 Prof. Jorge Exemplos Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos. g) ,,,,... h) ,,,, , , i) (Ana, Gustavo, Bárbara, Hugo, Bruna,...) João, Camila

24 Prof. Jorge Progressões aritméticas

25 Prof. Jorge Progressão aritmética Rodrigo resolveu colecionar moedas. Começou apenas com 15. Mas ele está animado. A cada dia pretende acrescentar mais 4 moedas à sua coleção (15, 19, 23, 27, 31, 35,...) A constante 4 é a razão da seqüência.

26 Prof. Jorge Definição Progressão aritmética (PA) é toda sucessão numérica em que cada termo (a partir do segundo) é a soma do antecessor com uma constante r, chamada razão da P.A. Para n > 1, uma P.A. obedece à lei de recorrência a n = a n r a n – a n - 1 = r Portanto, a razão r é a diferença entre um termo qualquer e o anterior. r = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = a 4 – a 3 =...

27 Prof. Jorge Exemplos (2, 5, 8, 11, 14) É uma P.A. finita. Ela é crescente, porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é: r = 5 – 2= 8 – 5= 11 – 8= 14 – 11= 3 Em geral, se r > 0 a P.A. é crescente.

28 Prof. Jorge Exemplos (6; 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5;...) É uma P.A. infinita. Ela é decrescente, porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é: r = 5,5 – 6= –0,5= 5 – 5,5= 4,5 – 5= 4 – 4,5 Em geral, se r < 0 a P.A. é decrescente.

29 Prof. Jorge Exemplos (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3...) É uma P.A. constante, porque tem todos os termos iguais. Sua razão é: r = 3 – 3 = 0 Em geral, se r = 0 a P.A. é constante.

30 Prof. Jorge Exemplos Se (2, m + 1, 3m – 4) é uma P.A., obter o valor de m e a razão da P.A. Na sucessão, a 1 = 2, a 2 = m + 1 e a 3 = 3m – 4 Se ela é uma P.A., deve ser: a 2 – a 1 = a 3 – a 2 m + 1 – 2 = 3m – 4 – (m + 1) m – 1 = 3m – 4 – m – 1 m – 1 = 2m – 5 m – 1 = 2m – 5 – m = – 4 m = 4 Para m = 4, a P.A. é (2, 5, 8), de razão 3.

31 Prof. Jorge Observação Da definição de P.A. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media aritmética dos outros dois. Considerando os termos consecutivos a 1, a 2 e a 3, a 2 – a 1 = a 3 – a 2 2a 2 = a 1 + a 3 a 2 = a 1 + a 3 2

32 Prof. Jorge Termo geral de uma P.A.

33 Prof. Jorge Termo geral da P.A. Numa progressão aritmética o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão. Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão aritmética, a partir do primeiro termo e da razão.

34 Prof. Jorge Termo geral da P.A. Observe a seqüência de termos abaixo. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a r+r+r+r+r+r Note que saltar de um termo para o seguinte signifi- ca somar a razão. De a 1 até a 2 temos 1 salto a 2 = a 1 + r De a 1 até a 3 temos 2 saltos a 3 = a 1 + 2r De a 1 até a 4 temos 3 saltos a 4 = a 1 + 3r E assim por diante.

35 Prof. Jorge Termo geral da P.A. Observe a seqüência de termos abaixo. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a r De maneira geral, de a 1 até um termo genérico a n, são (n – 1) saltos. a n = a 1 + (n – 1)r a n é o enésimo termo n é a posição do termo

36 Prof. Jorge –r Observação O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir. a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a r+r+r+r+r+r Saltar para o termo seguinte é somar a razão; saltar para o termo anterior é subtrair a razão.

37 Prof. Jorge –r Exemplos a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a r De a 1 para a 15 são 15 – 1 = 14 saltos a 15 = a rou a 1 = a 15 – 14r De a 8 para a 12 são 12 – 8 = 4 saltos a 12 = a 8 + 4rou a 8 = a 12 – 4r

38 Prof. Jorge –r Exemplos a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a r De a 10 para a 13 são 13 – 10 = 3 saltos a 13 = a rou a 10 = a 13 – 3r De a 23 para a 37 são 37 – 23 = 14 saltos a 37 = a rou a 23 = a 37 – 14r

39 Prof. Jorge Exemplos Na P.A. (–2, 1, 4,...) calcular o décimo quinto termo e o termo geral a n. Na sucessão, a 1 = –2 e r = 4 – 1 = 3 a 15 = a r= – = – a 15 = 40 a n = a 1 + (n – 1)r= –2 + (n – 1). 3 a n = –2 + 3n – 3 a n = –5 + 3n

40 Prof. Jorge Exemplos A sucessão infinita de termo geral a n = 7 – 5n é uma P.A. Achar o terceiro e o décimo termos e, a partir deles, a razão da P.A. Em a n = 7 – 5n, vamos fazer n = 3 e n = 10. a 3 = 7 – 5.3= 7 – 15 a 3 = –8 a 10 = 7 – 5.10= 7 – 50 a 10 = –43 a 10 = a r –43 = –8 + 7r –7r = – –7r = + 35 r = –5

41 Prof. Jorge Exemplos Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos? O menor múltiplo de 3 com 2 algarismos é 12 e o maior é 99. Temos uma P.A. finita (12, 15, 18,..., 96, 99) Na sucessão, a 1 = 12, r = 3 e a n = 99. a n = a 1 + (n – 1)r 99 = 12 + (n – 1) = n – 3 99 = 9 + 3n 90 = 3n n = 30

42 Prof. Jorge Soma dos termos na P.A.

43 Prof. Jorge Soma dos termos na P.A. O alemão Carl Friedrich Gauss deu grandes contribuições ao desenvolvimento das idéias matemáticas. Desde pequeno, ele mostrava sua genialidade. Um fato curioso ocorreu quando ele tinha em torno de dez anos de idade. Certo dia, numa aula de matemática, o professor pediu que seus alunos obtivessem a soma dos números inteiros de 1 a 100. Entre os alunos, estava Gauss.

44 Prof. Jorge Soma dos termos na P.A. S = ? S = = Observe que as parcelas da soma de Gauss formam uma P.A. (Nela a 1 = 1, a 100 = 100 e r = 1).

45 Prof. Jorge Soma dos termos na P.A. Você verá que a propriedade que Gauss descobriu é válido para qualquer P.A. Numa P.A. finita com n termos, a 1 + a n = a 2 + a n–1 = a 3 + a n–2 = a 4 + a n–3 =... (a 1 a 2 a 3 a 4...a n-3 a n-2 a n-1 a n ) S n = (a 1 + a n ). n 2 n termos S n = a 1 + a n 2.n

46 Prof. Jorge Exemplos Obter a soma dos 30 primeiros números ímpares, sem adicioná-los um a um. Devemos obter a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (1, 3, 5, 7, 9,...) a 30 = a r a 30 = a 30 = 59 S 30 = a 1 + a 30 2.n = S 30 = 900

47 Prof. Jorge Exemplos Calcular a soma , sabendo-se que as parcelas formam uma P.A. Primeiro vamos encontrar o número de termos da P.A. a n = a 1 + (n – 1).r 62 = 2 + (n – 1).3 S 21 = a 1 + a 21 2.n = S 21 = = 2 + 3n – 3 63 = 3n n = 21

48 Prof. Jorge Exemplos Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5,..., x). a n = a 1 + (n – 1).r x = 3 + (n – 1).1 x = 3 + n – 1 x = n + 2

49 Prof. Jorge Exemplos Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5,..., x). S n = a 1 + a n 2.n 3 + x 2. n = n n = 150 n = 15e x = 17

50 Prof. Jorge Progressões geométricas

51 Prof. Jorge Progressão aritmética Um laboratorista pesquisou uma cultura de bactérias, em uma lâmina. Ele percebeu que, a princípio, havia apenas 5 bactérias. A cada hora, no entanto, a quantidade delas dobrava (5, 10, 20, 40, 80, 160,...) A constante 2 é a razão da seqüência.

52 Prof. Jorge Definição Progressão geométrica (PG) é toda sucessão numérica de termos não-nulos em que cada termo (a partir do segundo) é produto do seu antecessor com uma constante q, chamada razão da P.G. Para n > 1, uma P.G. obedece à lei de recorrência a n = a n - 1. q a n /a n - 1 = q Portanto, a razão q é o quociente entre um termo qualquer e o anterior. q = a 2 /a 1 = a 3 /a 2 = a 4 /a 3 =...

53 Prof. Jorge Exemplos (2, 6, 18, 54, 162) É uma P.G. infinita e crescente, porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é: q = 6/2= 18/6= 54/18= 162/54= 3 Em geral, se a 1 > 0 e q > 0 a P.G. é crescente. Em geral, se a 1 < 0 e 0 < q < 1 a P.G. é crescente.

54 Prof. Jorge Exemplos (40, 20; 10, 5,...) É uma P.G. infinita e decrescente, porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é: q = 20/40= 0,5= 10/20= 5/10 Em geral, se a 1 > 0 e 0 < q < 1 a P.G. é decrescente. Em geral, se a 1 < 0 e q > 0 a P.G. é decrescente.

55 Prof. Jorge Exemplos (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3...) É uma P.G. infinita e constante, porque tem todos os termos iguais. Sua razão é: q = 3/3 = 1 Em geral, se q = 1 a P.G. é constante.

56 Prof. Jorge Exemplos (3, –6, 12, –24, 48) É uma P.G. finita e oscilante, porque ela alterna termos positivos e negativos. Sua razão é: q = –6/3 = Em geral, se q < 0 a P.G. é oscilante. 12/–6 =–24/12 =48/–24 =–2

57 Prof. Jorge Exemplos Se (x, x + 3, 2x + 14) é uma P.G., obter o valor de x. Na sucessão, a 1 = x, a 2 = x + 3 e a 3 = 2x + 14 Se ela é uma P.G., deve ser: a 2 /a 1 = a 3 /a 2 x + 3 x = 2x + 14 x + 3 (x + 3) 2 = x(2x + 14) x 2 + 6x + 9 = 2x x x 2 + 8x – 9 = 0 x = –9 ou x = 1 (1, 4, 16) q = 4 (–9, –6, –4) q = 2/3

58 Prof. Jorge Observação Da definição de P.G. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media geométrica dos outros dois. Considerando os termos consecutivos a 1, a 2 e a 3, (a 2 ) 2 = a 1. a 3 a 2 a 1 = a 3 a 2

59 Prof. Jorge Termo geral de uma P.G.

60 Prof. Jorge Termo geral da P.G. Numa progressão geométrica o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão. Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão geométrica, a partir do primeiro termo e da razão.

61 Prof. Jorge Termo geral da P.G. Observe a seqüência de termos abaixo. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6....q.q.q.q.q.q Agora saltar de um termo para o seguinte significa multiplicar pela razão. De a 1 até a 2 temos 1 salto a 2 = a 1.q De a 1 até a 3 temos 2 saltos a 3 = a 1.q 2 De a 1 até a 4 temos 3 saltos a 4 = a 1.q 3 E assim por diante.

62 Prof. Jorge Termo geral da P.G. Observe a seqüência de termos abaixo. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6....q De maneira geral, de a 1 até um termo genérico a n, são (n – 1) saltos. a n = a 1.q n–1 a n é o enésimo termo n é a posição do termo

63 Prof. Jorge :q Observação O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir. a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a q.q.q.q.q.q Saltar para o termo seguinte é multiplicar pela razão; saltar para o termo anterior é dividir pela razão.

64 Prof. Jorge :q Exemplos a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a q De a 1 para a 18 são 18 – 1 = 17 saltos a 18 = a 1.q 17 ou a 1 = a 18 :q 17 De a 5 para a 11 são 11 – 5 = 6 saltos a 11 = a 5.q 6 ou a 5 = a 11 :q 6

65 Prof. Jorge :q Exemplos a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a q De a 13 para a 16 são 16 – 13 = 3 saltos a 16 = a 13.q 3 ou a 13 = a 16 :q 3 De a 11 para a 37 são 37 – 11 = 26 saltos a 37 = a 11.q 26 ou a 11 = a 37 :q 26

66 Prof. Jorge Exemplos Na P.G. (3, 6, 18,...) achar o oitavo termo e o termo geral a n. Na sucessão, a 1 = 3 e q = 6/3 = 2 a 8 = a 1. q 7 = = a 8 = 384 a n = a 1.q n–1 a n = 3.2 n–1

67 Prof. Jorge Exemplos Obter a razão q e o termo a 12 da P.G. crescente na qual a 6 = 12 e a 10 = 48. De a 6 até a 10 são 10 – 6 = 4 saltos. a 10 = a 6.q 4 48 = 12.q 4 q 4 = 4 q = ± 2 para q = – 2, a P.G. seria oscilante, logo q = 2 a 12 = a 10.q 2 = 48.( 2 ) 2 a 12 = 96

68 Prof. Jorge Exemplos Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, sócios? Veja o que ocorre, por exemplo, até março Março Fevereiro 20–201. Janeiro Totalnovosantigosmês a 1 a 2 a 3

69 Prof. Jorge Exemplos Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, sócios? Os totais de sócios mês a mês formam a P.G. (20, 80, 240,...), de razão q = 4. a n = a 1.q n– = 20.4 n–1 4 n–1 = n–1 = 4 6 n – 1 = 6 n = 7 O clube terá sócios em julho (mês 7).

70 Prof. Jorge Exemplos Numa P.G. oscilante, a 4 + a 6 = 40 e a 2 + a 4 = 10. Calcular o primeiro termo e a razão. Vamos escrever cada termo em função do primeiro termo a 1 e da razão q. a 4 + a 6 = a 1.q 3 + a 1.q 5 = 40 a 1.q 3 (1 + q 2 ) = 40 a 2 + a 4 = a 1.q + a 1.q 3 = 10 a 1.q(1 + q 2 ) = 10 a 1.q(1 + q 2 ) = 10 a 1.q 3 (1 + q 2 ) = 40 q 2 = 4 q = ±2 P.G. oscilante q = –2, então a 1 = –1.

71 Prof. Jorge Soma dos termos na P.G.

72 Prof. Jorge Soma finita dos termos de uma P.G. Podemos obter, também, a soma dos n termos de uma P.G. finita, de forma bem simples. Não precisamos para isso, conhecer os valores de todos os seus termos a serem somados.

73 Prof. Jorge Soma finita na P.G. constante (q = 1) Os termos de uma P.G. constante (q = 1) são todos iguais. Por isso, é extremamente simples calcular a soma dos n primeiros termos. Na P.G. infinita e constante (3, 3, 3, 3,...), a soma dos 8 primeiros termos é S 8 = 8.3 = 24 A soma dos 20 primeiros termos é S 20 = 20.3 = 60

74 Prof. Jorge Soma finita na P.G. não-constante (q 1) Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: A expressão ( ) representa a soma dos dez termos de uma P.G., onde a 1 = 2 e q = 2. S = (A) 2.S = (B)2.S =

75 Prof. Jorge Soma finita na P.G. não-constante (q 1) Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: Vamos subtrair, membro a membro (B) – (A). 2.S – S = 2 11 – 2 1 S = 2 11 – 2 1 S = 2048 – 2 = 2046

76 Prof. Jorge Soma finita na P.G. não-constante (q 1) De maneira Geral. A soma dos n primeiros termos de uma P. G., não-constante (q 1) é dado por S n = a 1 + a 2 + a a n–1 + a n q.S n = a 1.q + a 2.q+ a 3.q a n–1.q + a n.q (1) q.S n = a 2 + a 3 + a a n + a n + 1 (2) q.S n – S n = a n+1 – a 1 S n.(q – 1) = a 1.q n – a 1 S n = q – 1 a 1.(q n – 1) (q 1)

77 Prof. Jorge Exemplos Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G. (2, 6, 18,...), sem adicioná-los um a um. Na P.G., temos a 1 = 2 e q = 3. queremos S 8. S 8 = q – 1 a 1.(q 8 – 1) = 3 – 1 2.(3 8 – 1) = 3 8 – 1 = 6 560

78 Prof. Jorge Exemplos Em janeiro, uma empresa fabricou unidades de um certo produto. Nos meses seguintes, a produção cresceu 10% ao mês. Qual será a produção acumulada de janeiro a abril? A produção a cada mês é multiplicada por 1,1 (110%), logo forma uma P.G. de razão q = 1,1 e a 1 = S 4 = q – 1 a 1.(q 4 – 1) = 1,1 – (1,1 4 – 1) = 0, (1,4641 – 1) =

79 Prof. Jorge Somas convergentes numa P.G. infinita

80 Prof. Jorge Somas convergentes na P.G. infinita Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira. Primeiro cortou-a ao meio, dividindo-a em dois pedaços de 8 m cada um e colocou-os lado a lado. 8 m8 m Depois cortou um dos pedaços ao meio novamente, obtendo 3 partes: 8m, 4 m e 4 m. Colocou-os lado a lado. 8 m 4 m4 m

81 Prof. Jorge Somas convergentes na P.G. infinita Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira. Em seguida, cortou um dos pedaços menores ao meio, mais uma vez. Ficou, assim com 4 partes: uma de 8 m, uma de 4 m e duas de 2 m cada uma. Outra vez, elas foram postas lado a lado. 8 m4 m2 m2 m Bruna achou a brincadeira interessante e continuou com ela por muito tempo. Sempre um dos pedaços menores era dividido ao meio.

82 Prof. Jorge Somas convergentes na P.G. infinita Continuando infinitamente esse processo, observa- mos: O total de pedaços obtidos é infinito; O tamanho de cada pedaço é cada vez menor (a metade do anterior). A soma, em metros, das infinitas partes é a soma dos termos de uma P.G. infinita: ,5 + 0, a 1 = 8 e a q = 0,5. Quanto mais parcelas são somadas, cada vez mais a soma se aproxima de 16.

83 Prof. Jorge Somas convergentes na P.G. infinita Uma P.G. é convergente, se a soma dos seus infinitos termos tender para um determinado número. Nesse caso, essa soma é simbolizada por lim S n ,5 + 0, Lim S n = ,5 + 0, = 16 A soma dos termos de uma P.G. infinita é convergente 0 < | q | < 1.

84 Prof. Jorge Exemplos A soma 1 + 0,1 + 0,01 + 0, É convergente a razão da P.G. q = 0,1 e 0 < q < 1. A soma 2 – 1 + 0,5 – 0,25 + 0, É convergente a razão da P.G. q = – 0,5 e 0 < | q | < 1. A soma Não é convergente a razão da P.G. q = 3, q > 1.

85 Prof. Jorge Somas convergentes na P.G. infinita De maneira Geral. O limite da soma dos termos de uma P. G. infinita é dado por S n = q – 1 a 1.(q n – 1) q n 0 n ,5 5 = 0, ,5 4 = 0, ,5 3 = 0, ,5 2 = 0,25 2 0,5 1 = 0,5 1 qnqn n S n = q – 1 a 1.(0 – 1) Lim S n = 1 – q a 1

86 Prof. Jorge Exemplos Na soma infinita 18 – – 16/3 +..., as parcelas estão em P.G. Mostrar que essa soma é convergente e calcular seu valor. Na P.G. a razão q = –2/3. 0 < | q | < 1. A soma é convergente Lim S n = 1 – q a 1 = 1 + 2/3 18 = 5/3 18 = = 10,8

87 Prof. Jorge Exemplos Utilizando a fórmula do limite da soma, achar a fração geratriz da dízima periódica 2, A dízima é igual à seguinte soma infinita: 2,5 + 0,03 + 0, , , P.G. infinita: a 1 = 0,03 e q = 0,1. Lim S n = 1 – q a 1 = 1 – 0,1 0,03 = 0,9 0,03 = 1/30 2, = 2,5 + 1/30 = 38/15

88 Prof. Jorge Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior. Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser?

89 Prof. Jorge Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior. Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser? As larguras das caixas formam a P.G. (90, 68, 57,8,...) convergente de a 1 = 90 e q = 0,85. Lim S n = 1 – q a 1 = 1 – 0,85 90 = 0,15 90 = 600 cm


Carregar ppt "Prof. Jorge Progressões aritméticas e geométricas."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google