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Prof. Jorge Fatorial de um número natural. Prof. Jorge Fatorial Se n é um número natural (n 2), o produto de todos os naturais de n até 1, é chamado de.

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1 Prof. Jorge Fatorial de um número natural

2 Prof. Jorge Fatorial Se n é um número natural (n 2), o produto de todos os naturais de n até 1, é chamado de fatorial de n (símbolo: n!). 3! = = 6 n! = n(n – 1)(n – 2) ! = = 720 Em geral

3 Prof. Jorge Fatorial - Observação Num produto, devemos ter pelo menos dois fatores. Por isso, a definição só é válida para n 2. Os fatorias de 1 e de 0 são definidos assim: 1! = 1e0! = 1

4 Prof. Jorge Propriedade do fatorial O fatorial de um número natural é igual ao produto deste pelo fatorial do seu antecessor. 6! = ! = = ! 15! = 15.14! = != ! =... n! = n(n – 1)! = n(n – 1)(n – 2)! =... Em geral = 6.5!

5 Prof. Jorge Exemplos A propriedade anterior é útil na simplificação do cálculo de expressões que envolvem o fatorial. 15! 13! = ! 13! = = ! + 8! 8! = ! + 8! 8! = 8!( ) 8! = 81

6 Prof. Jorge Exemplos Resolver a equação n! (n – 2)! = 30 O fatorial só é definido para n – 2 0 n 2 n! (n – 2)! = 30 n(n – 1)(n – 2)! (n – 2)! = 30 n(n – 1) = 30 n = 6

7 Prof. Jorge O fatorial e o cálculo combinatório

8 Prof. Jorge O fatorial e o cálculo combinatório No cálculo do total de permutações simples, arranjos simples e combinações simples, podemos usar o fatorial. P 5 = P 8 = = 8! P n = n! Em geral = 5!

9 Prof. Jorge O fatorial e o cálculo combinatório A 6, 2 = 6.5 = 6.5.4! 4! = 6! 4! = 6! (6 – 2)! A 9, 3 = = ! 6! = 9! 6! = 9! (9 – 3)! Em geral A n, p = n! (n – p)!

10 Prof. Jorge O fatorial e o cálculo combinatório C n, p = A n, p P p = n! (n – p)!. 1 p! C n, p = n! p!(n – p)!

11 Prof. Jorge Exemplos Resolver a equação A 6, p = A 5, p+1 6! (6 – p)! = 5! (4 – p)! 5!.(6 – p)! = 6!.(4 – p)! 5!.(6 – p)(5 – p)(4 – p)! = 6.5!.(4 – p)! (6 – p)(5 – p) = 6 6 – p = 3 e 5 – p = 2 p = 3

12 Prof. Jorge Permutações com elementos repetidos

13 Prof. Jorge Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMO? AMO P 3 = 3! = 6 AOMMAOMOAOAMOMA

14 Prof. Jorge Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMA? 3! 2! = 6 2 = 3 AMAAAMMAA P 3 2 =

15 Prof. Jorge Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMADA? 5! 3! = = 20 AAADMAAAMDAADAMAAAMDAADMA AAMDAADAAMAMAADADAMAAMADA ADMAAAMDAADAAAMMAAADDAAMA MAADADAMAAMADAADMAAAMDAAA P 5 3 =

16 Prof. Jorge Permutações com repetição Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra ARARA? 5! 2!3! = = 10 AAARRAARARAARRAARAARARARA ARRAARAAARRAARARARAARRAAA P 5 2,3 =

17 Prof. Jorge Permutações com repetição De maneira geral, o total de permutações de n elementos, se um deles aparece a vezes, outro b vezes, outro c vezes,... é n! a!b!c!... P n a, b, c,... =

18 Prof. Jorge Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. a)Qual é o total de anagramas? b)Quantos começam por vogal?

19 Prof. Jorge Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. a)Qual é o total de anagramas? 8! 3!.2! P 8 3, 2, 1, 1, 1 = = ! 2.3! = 3 360

20 Prof. Jorge Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. b) Quantos começam por vogal? Começando por E E 7! 3!.2! P 7 3, 2, 1, 1 = = ! 2.3! = 420

21 Prof. Jorge Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. b) Quantos começam por vogal? Começando por A A 7! 2!.2! P 7 2, 2, 1, 1 = = = 1 260

22 Prof. Jorge Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA. b) Quantos começam por vogal? Começando por E = 420 Começando por A = Total = 1 680

23 Prof. Jorge Exemplos A figura mostra uma superfície azulejada. Uma formiga sai do ponto A e quer chegar ao ponto B, onde há um grão de açúcar. Ela só anda sobre os sulcos entre os azulejos, mas pretende percorrer o menor caminho possível. Quantos trajetos diferente a formiga pode utilizar? A B DCDCDCDCDCDD 12! 7!.5! P 12 7, 5 = P 12 7, 5 = 792

24 Prof. Jorge Números Binomiais Números combinatórios Coeficientes binomiais

25 Prof. Jorge Números binomiais O número de combinação simples de n elementos tomados p a p (C n,p ) também pode ser representado pelo símbolo: n p C n,p = (número combinatório de n sobre p) Chamamos n de numerador e p de denominador. É claro que n e p devem ser naturais, com n p.

26 Prof. Jorge Exemplos 6 2. = C 6,2 = A 6,2 2! = = = C 8,3 = A 8,3 3! = = 56

27 Prof. Jorge Exemplos 5 1. = A 5, 1 1! = 5 1 = = A 7,7 7! = 7! 7! = = C 9,0 = 9! 0!(9 – 0)! = 9! 0!.9! = 9! 9! = 1

28 Prof. Jorge Observação Em geral, de acordo com os 3 exemplos anteriores constatamos que: n 0 = 1 n 1 = n n n = 1 n e p são números naturais.

29 Prof. Jorge Triângulo de Pascal Blaise Pascal, conhecido simplismente como Pascal, foi um grande gênio do século XVII. Em sua vida curta, fez descobertas notáveis, principalmente na área de Matemática e Física. Em 1653, ele publicou um de seus escritos mais famosos. Nele, Pascal fazia considerações sobre um triângulo numérico muito especial, cheio de relações matemáticas importantes. Os números que formam o triângulo de Pascal são os números combinatórios.

30 Prof. Jorge Triângulo de Pascal n p

31 Prof. Jorge Propriedades dos números binomiais

32 Prof. Jorge Propriedades Dois números combinatórios de mesmo numerador são iguais, se e somente se: n p = n q p = q ou p + q = n idênticos complementares

33 Prof. Jorge Propriedades Somando-se dois números consecutivos de uma linha do triângulo de Pascal encontra-se o resultado na linha seguinte abaixo do segundo número somado. n p + n p + 1 = n + 1 p + 1 Relação de Stifel.

34 Prof. Jorge Exemplos Um grupo tem 8 pessoas. Entre elas, o indivíduo A. Deseja-se formar, a partir desse grupo, uma comissão de 5 pessoas. a)Quantas são as formas de a comissão ser formada? b)Em quantas delas aparece o indivíduo A? c)Em quantas delas não aparece o indivíduo A? d)Que relação existe entre os resultados dos três itens anteriores? C 8,5 = 56 C 7,4 = 35 C 7,5 = 21 C 7,4 + C 7,5 = C 8, =

35 Prof. Jorge Exemplos A partir da relação de stifel, resolva as equações = p a) P = 5 ou p = = 8 16 p – 2 b) p – 2 = 7 ou p – 2 = 9 p = 9 ou p = 11.

36 Prof. Jorge Exemplos A partir da relação de stifel, resolva as equações = p c) p = 5 ou p =

37 Prof. Jorge Exemplos Calcule a soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal. a)O que você observa? b)Qual será a soma dos elementos da linha n = 8? E da linha n = 10? c)Genarilize quanto vale d)Resolva a equação É uma potência de base 2 e expoente n. 2 8 = 256 e 2 10 = = 2 n 2 n = 512 n = 9 n n 1 n 2 n n 1 n n n n = 512


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