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Distribuição Binomial Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp.

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1 Distribuição Binomial Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp

2 O Teorema Binomial Seja n um nº inteiro não-negativo. Então:

3 O Teorema Binomial

4 Os Coeficientes Binomiais Para n e k inteiros não-negativos com Com frequência é lido comon escolhe k.

5 Exemplos: Cálculo dos Coeficientes Observe que Lembre que o 1º e o último termo na expansão têm um coeficiente igual a 1:

6 Observação A soma dos exponentes é sempre n.

7 Exemplo

8 Expandindo uma Binomial Uma binomial é da forma a+b. Expandindo uma binomial…

9 Números Fatoriais

10 Exemplos

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16 Observações Sempre um inteiro positivo. Representa o número de modos de escolher k items de um grupo de n items. Pode ser generalizado para valores de n que não são inteiros.

17 Fórmula de Bernoulli Se a probabilidade de sucessos em um ensaio é p e a probabilidade de fracasso é q = 1-p, então p e q são constantes de ensaio a ensaio. Bernoulli mostrou que a probabilidade de observar exatamente r sucessos em n ensaios é expressa pelo r º termo da expansão para (p+ q) r : Pr[r sucessos e n-r fracassos] = (nCr) p r q n-r

18 Coeficiente Binomial ( ) = n!/r!(n-r)! n r A probabilidade de r sucessos é: ( ) p r q n-r r n onde q = 1 - p,

19 Observação Os coeficientes binomiais desta fórmula são os números da nª linha do triângulo de Pascal.

20 Cada número é a soma dos números da esquerda superior e direita superior: ………………

21 Triângulo de Pascal

22 Linha 0 Linha 1 Linha 2 Linha 3 k = 0 diagonal k = 1 diagonal k = 2 diagonal

23 linha

24 Triângulo de Pascal

25 Teorema Binomial. Para cada termo, Obtemos os coeficientes do Triângulo de Pascal

26 Triângulo de Pascal As linhas são os coeficientes da expansão binomial Row #

27 Distribuição Binomial de probabilidades Provas de Bernoulli Triângulo de Pascal Termos que devem ser familiares


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