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Cônicas. Porque Cônicas? Parábola Considere uma reta d e um ponto f não pertencente a d Parábola é o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto.

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1 Cônicas

2 Porque Cônicas?

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6 Parábola Considere uma reta d e um ponto f não pertencente a d Parábola é o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto f é igual a distância deste ponto à reta d

7 Graficamente F P P v A d

8 Seja P o pé da reta perpendicular a d que passa por P Assim P pertence à parábola se e somente se d(F,P)=d(P,P) -> |FP|=|PP|

9 Notações F-> foco d-> reta diretriz Eixo -> reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz Vértice (v) -> Ponto de interseção entre a parábola e o eixo A-> interseção do eixo com a diretriz

10 Por definição de parábola, se P = v então d(v,f)=d(v,a)=p/2, p-> parâmetro da parábola

11 Encontrar a equação da parábola Eixo da parábola = eixo y V(0,0) |FP|=|PP| PP = (x-x,y+p/2)=(0,y+p/2) FP = (x-0,y-p/2) =(x,y-p/2)

12 |(x,y-p/2) |=|(0,y+p/2)| X 2 =2py ou y = X 2 /2p

13 Estudo da Parábola Se 2py=x 2 -> 2py >=0 -> p e y tem sinais iguais Caso 1: p>=0 -> y>=0 -> concavidade para cima Caso 2: p y concavidade para baixo

14 Eixo da parábola = eixo x V(0,0) |FP|=|PP| PP = (x+p/2,y-y)=(x+p/2,0) FP = (x-p/2,y-0) =(x-p/2,y) y 2 =2px

15 Estudo da Parábola Como y 2 >=0 então 2px>=0. Logo p e x tem sinais iguais Caso 1: p >= 0 -> x >= 0 -> concavidade para direita Caso 2: p x concavidade para esquerda

16 Exercício Determinar a equação da parábola v(0,0) e diretriz d:y=-2

17 Exercicio Determinar a equação da parábola com foco F(2,0), diretriz d:x+2=0

18 Determinar a equação da parábola com foco F(0,-3), e v(0,0)

19 Determinar a equação da parábola com foco V(0,0), simétrica em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P(2,-3)

20 Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo X 2 =-12y

21 Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo y 2 -x=0

22 Vértices fora da origem V(a,b) Eixo paralelo ao eixo y (x-a) 2 =2p(y-b) Eixo paralelo ao eixo x (y-b) 2 =2p(x-a)

23 Exercício Determine a equação da parábola V(-2,3), F(-2,1)

24 Determine a equação da parábola F(2,3) e diretriz y=-1

25 Determine a equação da parábola V(1,3), eixo paralelo ao eixo x passando pelo ponto P(-1,-1)

26 Equação explícita da parábola A equação da parábola de vértice V(a,b) e eixo paralelo ao eixo y tem a forma (x-a) 2 =2p(y-b) x 2 -2ax+a 2 =2py-2pb y=(x 2 -2ax+a 2 +2pb)/2p Esta última é a forma explícita da parábola

27 Exercício Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola x 2 +4x+8y+12

28 Exercício Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y 2 +4y+16x-44

29 Exemplo Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y 2 -12x-12=0

30 Exemplo Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola 8x=y 2 -6y+10

31 Elipse Uma elipse de focos F e F é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a F e F é igual a uma constante que indica-se por 2a Portanto, P є Elipse se, e somente se, d(P,F)+d(P,F)=2a

32 Equação Caso 1: F(-c,0) e F(c,0), c>=0 Olhando para o triângulo PFF vemos que o lado FF mede 2c e é menor que a soma dos outros dois lados, medindo 2a a a c c FF P

33 Logo, c

34 Elementos Focos: são os pontos F e F Distância Focal = 2c Centro = ponto médio do segmento FF Eixo Maior: segmento A1A2 medindo 2a Eixo Menor é o segmento B1B2 de comprimento 2b onde b 2 =a 2 -c 2

35 De acordo com a definição, P(x,y) є elipse se, e somente se, |PF|+|PF|=2a

36 Equação Desenvolvendo a equação anterior obtem- se x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 Eixo maior sobre o eixo x focos sobre o eixo x

37 Equação Caso 2: Focos F(0,c) e F(0,-c) Analogamente x 2 /b 2 +y 2 /a 2 =1

38 Equação Caso 3: centro fora da origem C(x0,y0) Eixo maior//eixo x: (x-x0) 2 /a 2 +(y-y0) 2 /b 2 =1 Eixo maior//eixo y: (x-x0) 2 /b 2 +(y-y0) 2 /a 2 =1

39 Exercício Determinar os vértices A1 e A2, focos e excentricidade X 2 /100+y 2 /36=1 x 2 +25y 2 =25 4x 2 +25y 2 =1

40 Exercício Determinar a equação da elipse Eixo maior mede 10, focos (4,0) e (-4,0)

41 Exercício Determinar a equação da elipse Centro C(0,0) um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0)

42 Exercício Determinar a equação da elipse Centro C(0,0), F(c,0), F(-c,0), P(-2(5) 1/2,2)

43 Exercício Determinar a equação da elipse Centro C(0,0), focos no eixo x, e=2/3 e P(2,-5/3)

44 Exercício Determinar a equação da elipse Centro C(2,4), um foco F(5,4) e=3/4

45 Exercício Determinar a equação da elipse Centro C(-3,0), um foco F(-1,0), a elipse é tangente ao eixo y

46 Exercício Determinar a equação da elipse Centro C(-3,4), semi-eixos de comprimento 4 e 3, eixo maior // ao eixo y

47 Exercício Determinar a equação da elipse Centro C(2,-1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria (eixo maior e eixo menor) paralelos aos eixos coordenados

48 Exercício Determinar centro, vértices A1 e A2 e excentricidade 4x 2 +9y 2 -8x-36y+4=0

49 Hipérbole Sejam dois pontos fixo F1 e F2 com d(F1,F2)=2c A hipérbole é o conjunto dos pontos P(x,y) do plano tais |d(F1,P)-d(F2,p)|=2ª Com 2ª<2c

50 F2 F1 P

51 Da equação anterior tem-se d(F1,P)-d(F2,p)= ±2a Quando P estiver no ramo da direita, d(F1,P)>d(F2,p) -> d(F1,P)-d(F2,p)= 2a Quando P estiver no ramo da esquerda, d(F1,P) d(F1,P)-d(F2,p)=-2a

52 Seja o segmento de reta F1F2 e chame de A1 e A2 a interseção de F1F2 com a hipérbole Considere outra reta perpendicular a esta passando pelo ponto médio C de F1F2

53 C A2 F2 A1F1

54 A hipérbole é simétrica em relação a: Segmento F1F2 Eixo vertical Ponto C Ainda pela simetria, d(A1,F1)=d(A2,F2)

55 Qual é o valor de d(A1,A2)? Se P=A2, da def de hipérbole |d(F1,A2)- d(F2,A2)|=2a Como A2 está no ramo direito, (F1,A2)- d(F2,A2)=2a

56 Pela figura vemos que d(F1,A2)=d(F1,A1)+d(A1,A2)

57 C A2 F2 A1F1 M N P Q r s θ

58 Pela figura vemos que d(F1,A2)=d(F1,A1)+d(A1,A2) Substituindo d(F1,A1)+d(A1,A2)- d(F2,A2)=2a Logo d(A1,A2) =2a

59 Elementos da hipérbole Focos F1 e F2 Distância Focal: d(F1,F2)=2c Centro Ponto médio de F1F2 Vértices: A1,A2 Eixo Real: segmento A1A2 e |A1A2|=2ª Eixo imaginário: Segmento B1B2 onde de comprimento 2b onde b vem da relação C 2 =a 2 +b 2

60 MNPQ é um retângulo inserido no círculo de raio c r e s são assíntotas da hipérbole r passa pelo ponto C e tem inclinação b/a

61 s passa por ponto C e tem inclinação –b/a \theta abertura da hipérbole e=c/a excentricidade da hipérbole Note que e está relacionado com a abertura \theta da hipérbole

62

63 Na figura anterior fixando c e aumentando a vemos que a abertura da hipérbole diminui Menor a abertura menor a excentricidade e>1 Maior a abertura maior a excetrencidade Quando a=b, dizemos que a hipérbole é equilátera

64 Equação Caso 1: Eixo real sobre o eixo x e C(0,0) Obs: determinaremos a equação do ramo direito: F1(-c,0),F2(c,0) e P(x,y) d(F1,P)-d(F2,P)=2a d(F1,P) =2a+d(F2,P) |F1P| =2a+|F2P|

65 ((x+c) 2 +y 2 ) 1/2 =2a+((x-c) 2 +y 2 ) 1/2 x 2 +2xc+c 2 +y 2 =4a 2 -4a((x-c) 2 +y 2 ) 1/2 +x 2 - 2xc+c 2 +y 2 4xc- 4a 2 = -4a((x-c) 2 +y 2 ) 1/2 xc- a 2 = -a((x-c) 2 +y 2 ) 1/2 x 2 c 2 -2xca 2 +a 4 =a 2 x 2 -2xca 2 +a 2 c 2 +a 2 y 2

66 x 2 c 2 -a 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 c 2 -a 4 x 2 (c 2 -a 2 )-a 2 y 2 =a 2 (c 2 -a 2 ) x 2 b 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 Centro C(0,0) eixo real sobre o eixo x

67 Observações Se P(x,y) estivesse no ramo esquerdo, então Q(-x,y) estaria no ramo direito de modo que ainda valeria a igualdade anterior Quando o eixo real estiver sobre o eixo y a equação será: y 2 /a 2 -x 2 /b 2 =1

68 Analogamente Quando C(x0,y0) e o eixo real // eixo x (x-x 0 ) 2 /a 2 -(y-y 0 ) 2 /b 2 =1 Quando C(x0,y0) e eixo real // eixo y (y-y 0 ) 2 /a 2 -(x-x 0 ) 2 /b 2 =1

69 Equação das assíntotas y-y0 = m(x-x0) m é a inclinação r:m=b/a; s:m=-b/a

70 Exemplo Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: x 2 -y 2 =1

71 Exemplo Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4x 2 +y 2 =1

72 Exemplo Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4x 2 +2y 2 =1

73 Exemplo Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: Focos F(±5,0), Vértices (±3,0) Eixo real = eixo x, centro C(0,0)

74 Exemplo Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: a=4, Vértices (±4,0) Passa por P(8,2), centro C(0,0)

75 Exemplo Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: b=8, e=5/3 Eixo real =eixo y, centro C(0,0)

76 Exemplo Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: Assintotas y=±2x, Vértices (±3,0)

77 Exemplo Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: Um foco em (7,-2), Vértices (5,-2) e 3,-2

78 Exemplo Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: C (5,1), um foco F(9,1) eixo imaginário méde 4(2) 1/2

79 Exemplo Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: C (2,-3), eixo real // eixo y passando por (3,-1) e (-1,0) (conferir a solução)


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