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Profª Débora Bastos. Recapitulação P (c,f(c)) é crítico se f(c) = 0 ou se f(c) não existe. Para funções contínuas e deriváveis temos pontos extremos nos.

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1 Profª Débora Bastos

2 Recapitulação P (c,f(c)) é crítico se f(c) = 0 ou se f(c) não existe. Para funções contínuas e deriváveis temos pontos extremos nos pontos críticos. Para funções contínuas e deriváveis temos: f crescente para valores de x em que f (x) > 0 f decrescente para valores de x em que f (x) < 0 f côncava para cima para valores de x em f (x) > 0 f côncava para baixo para valores de x em f (x) < 0 Ponto de inflexão é o ponto em que há mudança de concavidade. Ocorre entre os valores c tais que f (c) não existe ou f (c) = 0.

3 Traçando um esboço do gráfico de uma função Temo até agora como determinar: Pontos extremos Intervalos onde a função é crescente ou decrescente Intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo Pontos de Inflexão. Falta Estudo das assíntotas.

4 Exemplos Assíntota horizontal Assíntota vertical Assíntota oblíqua Assíntota vertical

5 Definição 11: A reta x = a será uma assíntota vertical do gráfico da função f, se pelo menos uma das afirmativas abaixo for verdadeira: (i) lim f(x) = + x a + (ii) lim f(x) = + x a - (iii) lim f(x) = x a + (iv) lim f(x) = x a

6 Definição 12: A reta y = b é denominada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida: (i) lim f(x) = b e para um nº N, se x > N, então f(x) b. x + (ii) lim f(x) = b e para um nº N, se x < N, então f(x) b. x 1

7 Definição 13: Se lim [f(x) – (mx + b)] = 0 x então a reta y = mx + b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância vertical entre a curva y = mx + b e y = f(x) tende a zero. Nota: Se f(x) for uma função racional as assíntotas obliquas ocorrem quando a diferença entre o grau do numerador e do denominador é 1.

8 Exemplo Ache as assíntotas do gráfico da função h definida por: e faça um esboço do gráfico. Solução: D(h) = lR – {1} Investigar o que ocorre à esquerda e à direita de x = 1. lim h(x) = x 1 - lim h(x) = + x 1 + A reta x = 1 é uma assíntota vertical de h.

9 Exemplo lim h(x) = lim h(x) = + x x + h não possui assíntotas horizontais. Assíntota obliqua. y = x + 1 Pontos extremos: h existe em D(h) h(x) = 0 x = 1 ou x = 3

10 Procedimentos para obter o gráfico de uma função bem detalhado. 1. Determine o domínio de f; 2. Ache a intersecção com o eixo oy se houver e se a equação de f for fácil ache as raízes da função; 3. Teste a simetria em relação ao eixo oy (f( x)=f(x)) e a simetria em relação a origem (f( x)= f(x)); 4. Calcule f (x) e f (x); 5. Determine os números críticos de f (f (x) não existe ou f (x) = 0); 6. Verifique se os valores críticos são extremos (teste da segunda derivada); 7. Determine os intervalos em que f é crescente ou decrescente (estudo do sinal de f );

11 8. Obtenha os valores de x em que f (x) não existe ou f (x)= 0; 9. Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo (estudo do sinal de f ). Verifique se os valores críticos obtidos no passo anterior são de inflexão; 10. Verifique a existência de possíveis assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.

12 Exemplo Faça o esboço do gráfico da função f abaixo: 1. Domínio: 2. Intersecções: 3. Simetrias: 4. f e f: 5. Pontos críticos: 6. Pontos extremos: 7. Estudo do sinal de f: 8. Valores críticos de f: 9. Estudo do sinal de f: 10. Assíntotas:

13 Exemplo Faça o esboço do gráfico da função f abaixo: 1. Domínio: 2. Intersecções: 3. Simetrias: 4. f e f: 5. Pontos críticos: 6. Pontos extremos: 7. Estudo do sinal de f: 8. Valores críticos de f: 9. Estudo do sinal de f: 10. Assíntotas:

14 Exercícios Faça o mesmo para:


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