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Secções Cônicas José Antônio Araújo Andrade Graziane Sales Teodoro Ana Paula Pedroso.

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Apresentação em tema: "Secções Cônicas José Antônio Araújo Andrade Graziane Sales Teodoro Ana Paula Pedroso."— Transcrição da apresentação:

1 Secções Cônicas José Antônio Araújo Andrade Graziane Sales Teodoro Ana Paula Pedroso

2 Secções Cônicas

3 Elipse Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse. Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se elipse ao conjunto dos pontos P do plano tais que é constante.

4 ANIMAÇÕES ou Fazendo o esboço com um lápisFazendo o esboço com um lápis... Verificando a soma...

5 Simetria: Pela própria definição a elipse é uma curva simétrica em relação à reta e também à mediatriz do segmento conforme mostra a figura. Mediatriz de

6 Equações de Elipses na posição-padrão

7

8 sabemos que

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10 lembrando que resulta com focos em centro

11 ELIPSES EM POSIÇÃO-PADRÃO

12 Uma técnica para esboçar elipses Determinar se o eixo maior está sobre o eixo x ou o eixo y. Isso pode ser verificado a partir do tamanho dos denominadores na equação. Tendo em mente que a 2 > b 2 (uma vez que a > b), o eixo maior está ao longo do eixo x se x 2 tiver o maior denominador, e está ao longo do eixo y se y 2 tiver o maior denominador. Se os denominadores forem iguais, a elipse é um círculo. Determine os valores de a e b e desenhe uma caixa estendida a unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo maior, e b unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo menor. Usando a caixa como guia, esboce a elipse de modo que seu centro está na origem e toca os lados da caixa onde os lados interseccionam os eixos coordenados.

13 Exemplo 1: Esboce os gráficos das elipses. (a) (b)

14 Exemplo 2: Determine uma equação para a elipse com focos e o eixo maior com extremos

15 Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole. Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se hipérbole ao conjunto dos pontos do plano tais que é constante. Hipérbole

16 Equações da hipérbole na posição-padrão cc a a

17 Do triângulo retângulo obtido no esquema ao lado, chamaremos de b o cateto ainda indefinido e escreveremos que

18 a a Pela definição de hipérbole para daí

19 a a sabemos que então vale que

20

21 lembrando que resulta

22 HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO

23 Uma técnica para esboçar hipérboles Determine se o eixo focal está sobre o eixo ou eixo. Determine os valores e e desenhe um retângulo... Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo. Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o gráfico da hipérbole.

24 Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles mostrando os vértices, focos e assíntotas. (a) (b)

25 Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice e assíntotas

26 Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola. Definição: Dados um ponto e uma reta (diretriz) de um plano, chama-se parábola ao conjunto dos pontos do plano que equidistam do ponto e da reta Ou seja, Parábola

27 Equações de parábolas na posição-padrão Diretriz Eixo de Simetria

28 PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃO Com vértice na origem e eixo de simetria a reta Ox

29 PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃO Com vértice na origem e eixo de simetria a reta Oy

30 Pela definição de parábola, sabemos que dito de outra forma considerando que

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32 Uma técnica para esboçar parábolas Determine se o eixo de simetria está ao longo do eixo x ou eixo y. O eixo de simetria está ao longo do eixo x se a equação tiver um termo y 2, e está ao longo do eixo y se tiver um termo x 2. Determine de que maneira a parábola se abre. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo x, então a parábola abre-se à direita se os coeficientes de x forem positivos, e abre-se à esquerda se os coeficientes forem negativos. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo y, então a parábola abre-se para cima se os coeficientes de y forem positivos, e abre-se para baixo se forem negativos. Determine o valor de p e desenhe uma caixa que se amplie p unidades da origem ao longo do eixo de simetria em direção na qual a parábola abre e se estende 2p unidades, em cada lado do eixo de simetria. Usando a caixa como guia, esboce a parábola de forma que seu vértice esteja na origem e passa nos cantos da caixa.

33 Exemplo 5: Esboce o gráfico das parábolas. e mostre o foco e a diretriz de cada um. (a) (b)

34 Exemplo 6: Determine uma equação da parábola que é simétrica em relação ao eixo, tem vértice na origem e passa no ponto.

35 CÔNICAS TRANSLADADAS

36 Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo [aberta à direita] [aberta à esquerda] Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo [aberta para cima] [aberta para baixo]

37 Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo

38 Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo

39 Exemplo 7: Determine uma equação para a parábola que tenha seu vértice em e o foco em.

40 Exemplo 8: Determine o gráfico da equação

41 Exemplo 9: Descreva o gráfico da equação

42 Exemplo 10: Descreva o gráfico da equação

43 CÔNICAS ROTACIONADAS Uma equação da forma É chamada de uma equação de segundo grau em e. O termo nesta equação é chamado de termo misto. Se o termo misto estiver ausente da equação, então a equação se reduz a e, neste caso, o gráfico é uma secção cônica (possivelmente degenerada) que esta ou na posição-padrão ou transladada. Pode ser provado que se o termo misto estiver presente, então o gráfico é uma cônica (possivelmente degenerada) rodada de sua orientação-padrão.

44 PROPRIEDADES DA REFLEXÃO DAS SEÇÕES CÔNICAS

45 TEOREMA I (Propriedade de Reflexão da Parábola): A reta tangente em um ponto sobre a parábola faz ângulos iguais com a reta que passa por paralela ao eixo de simetria e com a reta que passa por e o foco. Eixo de simetria Reta tangente em Foco

46 Reta tangente em TEOREMA II (Propriedade de Reflexão da Elipse): Uma reta tangente a uma elipse em um ponto faz ângulos iguais com as retas que unem aos focos.

47 TEOREMA III (Propriedade de Reflexão da Hipérbole): Uma reta tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais com as retas que unem P aos focos. Reta tangente em

48 ANIMAÇÕES Propriedade de Reflexão da Elipse Propriedade de Reflexão da Hipérbole Propriedade de Reflexão da Parábola


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