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Seções cônicas: elipse. Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 (focos) é uma constante.

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1 Seções cônicas: elipse

2 Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 (focos) é uma constante. A distância entre F 1 e F 2 é chamada de distância focal. Os pontos A 1, A 2, B 1 e B 2 são os vértices da elipse, o segmento A 1 A 2 é chamado de eixo maior e o segmento B 1 B 2 é chamado de eixo menor. Elipse Seções cônicas

3 As elipses têm uma propriedade de reflexão interessante. Se uma fonte de luz ou de som for colocada em um foco de uma superfície com seções transversais elípticas, então toda onda de luz ou de som será refletida da superfície para o outro foco. Uma propriedade interessante das elipses Seções cônicas

4 Podemos facilitar a obtenção da equação de uma elipse colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0, 0) fique na metade do caminho entre os focos. Estabelecendo os focos como F 1 (– c, 0) e F 2 (c, 0) e chamando de 2a a soma das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da elipse aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado. Equação da elipse no plano cartesiano Seções cônicas

5 Podemos facilitar a obtenção da equação de uma elipse colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0, 0) fique na metade do caminho entre os focos. Estabelecendo os focos como F 1 (– c, 0) e F 2 (c, 0) e chamando de 2a a soma das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da elipse aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado. Equação da elipse no plano cartesiano Seções cônicas

6 Como b 2 = a 2 – c 2 < a 2, segue que b < a. Os vértices no eixo x são encontrados fazendo-se y = 0. Então, x 2 /a 2 = 1, assim x = a. Os pontos (– a, 0) e (a, 0) são respectivamente A 1 e A 2. Os vértices no eixo y são encontrados fazendo-se x = 0. Então, y 2 /b 2 = 1, assim y = b. Os pontos (0, b) e (0, – b) são respectivamente B 1 e B 2. Determinação das coordenadas dos vértices Seções cônicas Note que se c = 0, então a = b e a elipse torna-se um círculo de raio r = a = b. A circunferência nada mais é do que um caso especial de elipse.

7 Se transferirmos o eixo maior de uma elipse para o eixo y, obteremos resultados análogos. Observe que todos os pontos notáveis da elipse trocam de lugar, passando a ser F 1 (0, c), F 2 (0, – c), A 1 (0, a), A 2 (0, – a), B 1 (– b, 0) e B 2 (b, 0). Chamando de 2a a soma das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da elipse aos focos, obtemos a equação ao lado (a demonstração é análoga ao caso anterior). Invertendo o eixo Seções cônicas

8 Usamos até agora como centro da elipse a origem O(0, 0). Podemos deslocar o seu centro para qualquer ponto O´(x o, y o ). Obtendo as equações como anteriormente, teremos uma simples mudança, mostrada a seguir. Equação geral da elipse com centro O´(x o, y o ) Seções cônicas

9 1.Encontre os focos e os vértices da elipse x 2 /16 + y 2 /9 = 1. Resolução: a = 4 e b = 3. O centro da elipse está na origem e seu eixo maior sobre o eixo x, então os vértices do eixo maior são (– 4, 0) e (4, 0) e os do eixo menor são (0, 3) e (0, – 3). Como c 2 = a 2 – b 2, então c = 7. Os focos são (– 7, 0) e (7, 0). 2.Encontre uma equação para a elipse com focos (0, 2) e (0, – 2) e vértices (0, 3) e (0, – 3). Resolução: O centro da elipse está na origem e seu eixo maior sobre o eixo y, então a sua equação é da forma x 2 /b 2 + y 2 /a 2 = 1. Temos que c = 2 e a = 3. Como c 2 = a 2 – b 2, então b = 5. A equação é x 2 /5 + y 2 /9 = 1. Exercícios resolvidos Seções cônicas

10 1.Encontre os vértices e os focos da elipse x 2 /9 + y 2 /5 = 1. 2.Esboce o gráfico de 9x 2 – 18x + 4y 2 = (UFC-CE) Calcule a área do quadrilátero que tem dois vértices coincidindo com os focos da elipse x 2 /25 + y 2 /16 = 1 e outros dois com as extremidades do eixo menor da elipse. 4.(UFPA) Determine a distância entre os focos da elipse 5x 2 + 9y 2 – 10x – 31 = 0. Exercícios propostos Seções cônicas


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