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Segmento: Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Sólidos Geométricos - Cone.

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1 Segmento: Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Sólidos Geométricos - Cone

2 Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone: A Definição! Considere um círculo C contido num plano e um ponto V não-pertencente a. Chama-se cone a reunião de todos os segmentos que ligam cada ponto de R ao ponto P. g r h O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral. Note: g, h e r formam um triângulo retângulo.

3 O* h 90º 90º A Fig. mostra um Cone Oblíquo. V é vértice R é raio da base h é altura g é geratriz R V g g eixo

4 Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura. O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da base. Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto. Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo. Eixo = Altura A altura é sempre perpendicular ao plano. eixo altura

5 Cone Circular Reto O*O*O*O* g 2) No VOA : AB V ou Cone de Revolução g 2 = h 2 + R 2 R h 1) O eixo é perpendicular ao plano da base.

6 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B C A B C

7 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B C

8 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

9 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

10 4 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

11 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

12 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

13 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

14 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

15 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

16 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

17 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

18 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

19 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

20 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

21 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

22 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

23 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

24 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

25 A B C 4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

26 O VBA é a seção meridiana do cone. SeçãoMeridiana O* A B V g 2R Seção Meridiana Se o triângulo VBA é eqüilátero, o cone é um Cone Eqüilátero. g=2R

27 Planificação do Cone Reto R x h g Clique

28 R x h g Planificação do Cone Reto

29 R x h g

30 R x h g

31 R x h g

32 R x h g

33 R x h g

34 x h g R

35 x h g R

36 x h g R

37 x h g R

38 x h g R

39 x h g R

40 x h g R

41 x h g R

42 Cone Planificação do Cone Reto : x h g R

43 x h g R Planificação do Cone Reto

44 x h g R

45 x h g R

46 x h g R

47 x h g R g 2 R R Angulo = = 2 R g Planificação do Cone Reto

48 A L = R g A L = R g A t = A L + 2 A b Área Lateral ( A L ) Área Total ( A t ) Volume ( V ) A b = R 2 A b = R 2 Área Base ( A b ) Áreas e Volume R 2 V = R 2 h 1 3

49 Áreas e Volume PirâmideCone Área da Base (A B ) Depende do Polígono da Base Área da circunferência Área Lateral (A L ) Área Total (A t ) Volume (V) O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!

50 A secção transversal forma o tronco de cone Chama-se secção transversal a intersecção de um cone com um plano paralelo à base. Seção Transversal Suas áreas são proporcionais. Seus volumes são proporcionais. k = Constante de proporcionalidade. h g Note que o cone menor, acima da secção é semelhante ao cone original, o que significa que suas dimensções são proporcionais.

51 Semelhança de uma forma mais clara Altura do tronco (H T ) Altura do cone original (H) Altura do cone semelhante (h) Geratriz do Tronco (G T ) Geratriz do cone semelhante (g) Obviamente G = g + G T Outra conclusão lógica V = v + V T

52 Tronco de Cone Elementos: R raio da base maior r raio da base menor h T altura do tronco g T geratriz do tronco R r gTgT hThT As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas. Área Lateral do Tronco(A LT ) A LT = (R + r)g T Área Total do Tronco(A TT ) A TT = A LT + A b + A B A TT = (R + r)g T +(r 2 + R 2 ) Volume do Tronco (V T ) V T = V - v V T = (r² + rR + R²)

53 Ex. 1: (EPUSP-SP) Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um setor circular cujo ângulo central mede: a) 216º b) 240º c) 270º d) 288º e) Nenhuma das respostas anteriores. anteriores.

54 Ex. 2: (UF-RS) O volume do sólido gerado pela revolução de um triângulo euilátero de lado a em torno de um de seus lados é: a) 1 4 a 3 b) 1 3 a 3 c) 1 2 a 3 d) 3 4 a 3 e) 4 3 a 3

55 Ex. 3: (PUC-SP) O volume de um cone eqüilátero, circunscrito a uma esfera de raio R, é: a) R 3 b) 3R 3 b) 3 R 3 c) 2R 3 c) 2 R 3 d) 4R 3 d) 4 R 3 e) 5R 3 e) 5 R 3

56 (UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total vale: A) 52 Π B) 36 Π C) 20 Π D) 16 Π 3 m 8 m D = 2R 8 = 2R _8_ = R 2 = 4 A T = Π R(R + G) A T = Π. 4(4 + G) Mas, G = ? 3 m 4 m G Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos G = 5 m A T = Π.4(4 + 5) A T = 36 Π

57 (UFPA) A geratriz de um cone reto mede 13 cm e o diâmetro de sua base 10 cm. O volume do cone em cm 3 é: A) 100 Π B) 200 Π C) 400 Π D) 13 cm 10 cm D = 2R 10 = 2R _10_ = R 2 = 5 V = ( Π R 2.H):3 V = ( Π 5 2.H):3 V = ( Π 25.H):3 Mas, H = ? x 5 m 13 m Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos H = 12 m V = ( Π 25.12):3 V = ( Π 300):3 V = 100 Π


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