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DERIVADAS E DIFERENCIAIS Nice Maria Americano da Costa.

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Apresentação em tema: "DERIVADAS E DIFERENCIAIS Nice Maria Americano da Costa."— Transcrição da apresentação:

1 DERIVADAS E DIFERENCIAIS Nice Maria Americano da Costa

2 ACRÉSCIMO DA FUNÇÃO DEFINIÇÃO uma função definida num certo intervalo, no qual, em cada ponto, a função admite um valor bem definido. Seja Define-se o acréscimo da função, y, quando a variável independente x, sofre um acréscimo x, como a variação que a função sofre, quando se passa do ponto x para o ponto x+ x. Isto é: Exemplos:

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4 Um dado importante para se ter idéia de quanto a função varia, quando damos um acréscimo à variável x, ou, uma medida de tal variação, é a relação entre o acréscimo da função y e o acréscimo da variável, x i. e.: A questão que se coloca então é: o que acontece com tal relação, se fizermos o acréscimo da variável x, cada vez menor? Em outras palavras, se fizermos o valor de x+x tender, cada vez mais, para x? Obviamente, estamos falando de aplicar a operação limite à relação. O resultado desse conjunto de operações que fizemos até aqui é o que chamamos de derivada da função.

5 DEFINIÇÃO DA DERIVADA A derivada da função y=f(x) é portanto o limite da relação entre o acréscimo da função e o acréscimo da variável independente x, quando este acréscimo da variável independente tende a zero. Simbolicamente, a operação derivada da função y=f(x) é designada por qualquer das seguintes notações:

6 Exemplo. A derivada da função

7 A derivada da função Note bem ! A derivada de uma função é também uma função; é uma função que, obviamente, deriva de outra pelo conjunto de operações especificadas.

8 A derivada da função

9 UM EXEMPLO CLÁSSICO A posição de um corpo em movimento é uma função do tempo, x(t). Se calculamos a derivada dessa função, temos A grandeza calculada nada mais é que a velocidade do corpo. Então, a velocidade com que se desloca o corpo é a derivada da posição em relação ao tempo.

10 Se agora tomamos a velocidade em função do tempo e calculamos a sua derivada, vamos achar a aceleração

11 INTERPRETAÇÃO DA DERIVADA x x+ x x f f(x+ x) f(x) 1 x 1 f 1 f A secante maior (vermelho escuro) forma o triângulo de lados f e x e com o ângulo com o eixo –x. A tangente deste ângulo vale: A secante menor (vermelho claro) forma o triângulo de lados f 1 e x 1 e com o ângulo 1 com o eixo –x. A tangente deste ângulo vale:

12 O processo de limite corresponde à aproximação do ponto x+ x do ponto x; i. e., quando x 0. Vemos que o ângulo, no limite, tende ao ângulo e, portanto, a secante geométrica à curva tende à tangente à curva (em verde). Logo temos: A derivada da função é a tangente do ângulo que a tangente à curva faz naquele ponto. A derivada de f(x), portanto, fornece informações sobre o comportamento da função a partir da análise das tangentes à curva que representa a função. Em cada ponto x, f(x) é igual ao coeficiente angula da reta tangente à curva de f(x) naquele ponto. Como exemplo, consideremos a f(x)=(x-2) 2 ; uma parábola que toca o eixo-x em x=2, como mostrado na figura. Encontre as tangentes à curva, nos pontos x=1 e x=3c

13 X=2 1 f(x) 3 Note que o ângulo tem uma tangente negativa, portanto é maior que 90 0 e o ângulo tem tangente positiva, portanto é menor que O ângulo é a tangente da reta tangente à curva em x=2. Note que ele é 0 0. Logo, a análise das tangentes diz que a curva passa por uma concavidade voltada para baixo, em x=2, uma vez que suas tangentes mudam de negativas para positivas em torno deste ponto


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