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ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES Nice Maria Americano da Costa.

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1 ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES Nice Maria Americano da Costa

2 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTE USO DA DERIVADA PARA INSPECIONAR CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO Teorema 1. Se a função f(x), derivável no intervalo [a,b], é crescente neste intervalo, então sua derivada não será negativa neste intervalo; i. e. f´(x)>0. 2. Se a função f(x) é contínua no intervalo [a,b], derivável em (a,b) e se, além disso, f´(x)>0 para a

3 Entretanto, a relação Por conseqüência, Isto quer dizer então, que as tangentes à curva f(x) formam ângulos maiores ou iguais azero X1X1

4 Para demonstrar a segunda parte do teorema, basta que apliquemos o teorema de Lagrange, num intervalo entre dois pontos x 1 e x 2. De acordo com ele teremos

5 Teorema 2. Se a função f(x), derivável no intervalo [a,b], é decrescente neste intervalo, então sua derivada não será positiva neste intervalo; i. e. f´(x) Se a função f(x) é contínua no intervalo [a,b], derivável em (a,b) e se, além disso, f´(x)<0 para a

6 Entretanto, a relação Por conseqüência, Isto quer dizer então, que as tangentes à curva f(x) formam ângulos maiores ou iguais azero

7 EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO: MÁXIMOS E MINIMOS Definição 1 (Máximo). Diz-se que a função f(x) admite um máximo em um ponto x=x 1, se o valor da função em x 1, f(x 1 ), é maior que aqueles valores da função em todos pontos de uma vizinhança de x 1. Então, pela definição f(x 1 + x)< f(x 1 ), seja, x positivo ou negativo. Em outras palavras, f<0, sempre. Definição 2 (Mínimo). Diz-se que a função f(x) admite um mínimo em um ponto x=x 1, se o valor da função em x 1, f(x 1 ), é menor que aqueles valores da função em todos pontos de uma vizinhança de x 1. Então, pela definição f(x 1 + x) 0, sempre. Não confundir máximo/mínimo com o maior/menor valor da função num intervalo. x1x1 X 1 + X x1x1

8 Teorema 1(Condição necessária para existência de máximo). Se a função f(x), derivável no intervalo [a,b], tem um máximo ou um mínimo no ponto x=x 1, então a derivada de f(x) é nula em x=x 1, i.e. f´(x 1 )=0 Demonstração Se f(x) tem um máximo em x=x 1, então f<0, conforme foi visto antes. Assim,

9 Note que a condição é necessária, mas não suficiente. Porque pode haver um ponto no intervalo, no qual a derivada é nula,mas o ponto não é nem um máximo nem um mínimo. Isso pode ser constatado para o caso de alguma funções, como mostrado abaixo: Em x=0, f´(0)=0

10 Os pontos onde uma função atinge seus extremos, máximos ou mínimos, são chamados pontos críticos da função, assim como os pontos de descontinuidade. Teorema. Seja f(x) uma função contínua em um intervalo contendo um ponto crítico x 1 e derivável em todos os pontos desse intervalo, salvo excepcionalmente no ponto crítico. Se a derivada de f(x) muda de sinal + para -, quando se passa pelo ponto crítico x 1, da esquerda para a direita, então a função admite um máximo em x 1. Se, por outro lado, a derivada muda de sinal de – para +, quando se passa pelo ponto crítico x 1, da esquerda para a direita, então a função tem um mínimo em x 1. Analiticamente, esses teoremas expressam que existe um máximo em x 1 se E existe um mínimo em x 1, se x1x1 X 1 + X X1X1 A demonstração deste teorema é feita com a aplicação do Teorema de Lagrange num intervalo compreendido entre um ponto x e o ponto x 1.

11 X 1 + X x1x1 f´(x 1 )=0 x1x1 X 1 + X MÁXIMO MÍNIMO X1X1 X2 X3X3 X4X4 MÁXIMOS E MÍNIMOS

12 Teorema. Seja f´(x)=0; então a função tem um máximo em x=x 1, se a segunda derivada em x 1 for negativa, i.e., f´´(x 1 ) 0 Demonstração Pela definição de derivada, f´´(x 1 ) é dada por Se em x 1 f´(x1)=0, para x <0, sendo f´´(x 1 )<0, teremos pela relação acima: Se em x 1 f´(x1)=0, para x >0, sendo f´´(x 1 )<0, teremos pela relação acima:

13 Dos resultados anteriores concluímos que, ao passarmos da esquerda para a direita, em torno de x=x1, a derivada f´(x) passa de >0 para <0, o que,pelo teorema anterior, garante que, em x=x1, a função admite um máximo. Para demonstrarmos a segunda parte do teorema, que se f´´(x1)>0, f(x) admite um mínimo, basta que usemos argumentos similares aos usados antes. Pela definição de derivada, f´´(x 1 ) é dada por Se em x 1 f´(x 1 )=0, para x 0, teremos pela relação acima:

14 Se em x 1 f´(x1)=0, para x >0, sendo f´´(x 1 )>0, teremos pela relação acima: Dos resultados anteriores concluímos que, ao passarmos da esquerda para a direita, em torno de x=x 1, a derivada f´(x) passa de 0, o que,pelo teorema anterior, garante que, em x=x 1, a função admite um mínimo.


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