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1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Nice Maria Americano costa Pinto UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO.

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1 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Nice Maria Americano costa Pinto UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

2 2 INTRODUÇÃO Um pouco de história Cálculo Diferencial e Integral; séculos XVI e XVII, Newton e Leibniz. interesses de cálculos (diferenciação integração) O Cálculo Diferencial Grécia Antiga: tangentes a curvas, reta e curvas; sua intersecção Século XVII, as órbitas dos planetas. Newton: calcular as órbitas de planetas, considerar a corda de um arco, Curva da trajetória: limite de pequenas cordas encadeadas umas às outras. O Cálculo Integral área subtendida por curva limite de uma soma áreas de retângulos inseridos sob a curva. Limite de uma função Século XIX; Bolzano (1817), técnica do epsilon, e delta, ; Cauchy (1821),a essência da idéia; Weierstrass (1850 e 1860), a noção de forma rigorosa.

3 3 Vizinhança de um ponto Para um valor arbitrariamente pequeno >0, a vizinhança de a é o conjunto dos x compreendido pelo intervalo a a- a+ x 0

4 4 Limite de uma variável a a- a+ x x2x2 x1x1 x3x3 Se x-a 0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um limite e tal limite vale a. Simbolicamente, Os valores x 1, x 2 e x 3 da variável x, estão na vizinha de x=a. Isto é, os valores x i estão no intervalo a- < x i

5 5 Exemplos 1.x é a variável de valores Essa variável tem um limite que é 1. uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular, para provar que a inequação |x-1 <. O ponto de partida será portanto a expressão x i.e calcular quanto ela vale;

6 6 (n=2) x é o conjunto dos termos: x 1 =1, x 2 =1,5, e>1/2=0,5. e=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 (n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x 1 =1, x 2 =1,5, x 3 =1,33, ε>1/3=0, ε=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 (n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x 1 =1, x 2 =1,5, x 3 =1,33, x 4 =1,25, x 5 =1,2, x 6 =1,16 >1/6=0, =0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 nxn termos 111o.termo 21,52o.termo nxn termos 111o.termo 21,52o.termo 31, o.termo nxn termos 111o.termo 21,52o.termo 31, o.termo 41,254o.termo 51,25o.termo 61, o.termo

7 7 2.x é a variável de valores Essa variável tem um limite que é 1. uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular.

8 8 (n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x 1 =1, x 2 =1,25, x 3 =0,875, x 4 =1,0625, x 5 =96875, x 6 =1, >1/2 6 =0, =0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 (n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x 1 =1, x 2 =1,25, >1/2 2 =0,25. =0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 (n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x 1 =1, x 2 =1,25, x 3 =0,875, >1/2 3 =0, =0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 nxntermos 111o.termo 21,252o.termo nxntermos 111o.termo 21,252o.termo 30,8753o.termo nxntermos 111o.termo 21,252o.termo 30,8753o.termo 41,06254o.termo 50,968755o.termo 61, o.termo

9 9 3.X é uma variável de valor constante c Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho. uma vizinhança de centro em c, com raio ; devemos calcular.

10 10 ax b (b-a)/2 Observações 1.Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b. 2.Não se imagine que toda variável tem um limite.

11 11 a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se Indicar um valor de x, a partir do qual, todos os valores subseqüentes da variável verificam : VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE Seja a variável x o { x 1, x 2, x 3, x 4, x 5....x n }, mostrado na figura abaixo. X n-1 x1x1 x6x6 x x4x4 x3x3 x2x2 x5x5 A partir de x 4, todo valor subseqüente da variável é maior que o antecedente; para M=x 4, |xi|>M, p/ i=5,6,7....n

12 12 Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou Limite de uma função se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ, a desigualdade | f(x) - l | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x). a b

13 13 Exemplos Os resultados dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites

14 14 Cálculo pela definição Se 14 é o lim f(X), quando x 3, temos que ter:

15 15 Se 7 é o lim f(X), quando x 2, temos que ter:

16 16

17 17

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