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1 MECÂNICA Mecânica Clássica Cinemática – Movimento em uma dimensão Posição e deslocamento Velocidade Aceleração.

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1 1 MECÂNICA Mecânica Clássica Cinemática – Movimento em uma dimensão Posição e deslocamento Velocidade Aceleração

2 222 MECÂNICA Entender o movimento é um dos objetivos da Física A Mecânica estuda o movimento e as suas causas

3 3 Mecânica Clássica formulou as leis fundamentais do movimento As contribuições mais importantes para a Mecânica Clássica foram dadas por Isaac Newton ( ) foi um dos criadores do cálculo diferencial e integral As leis de Newton não podem ser aplicadas: na dinâmica de sistemas muito pequenos (física quântica) em situações que envolvem velocidades próximas da velocidade da luz, que é m/s km/s (relatividade)

4 444 MECÂNICA CLÁSSICA CINEMÁTICA DINAMICA estuda os movimentos sem levar em conta as causas do movimento estuda as forças e os movimentos originados por essas forças Força (Mecânica Newtoniana)

5 555 CINEMÁTICA Movimento em uma dimensão O movimento representa uma mudança contínua da posição de um corpo O movimento ao longo do eixo x (orientado) Todo movimento é definido em relação à um referencial x x Utilizaremos o MODELO DE PARTÍCULA porque o tamanho do corpo real não tem consequência na análise do seu movimento

6 666 Um corpo é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado, relativamente a um ponto de referência (o observador), em geral a origem ( x = 0) Posição x (m)

7 777 Deslocamento O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo ( t f - t i ) é a diferença entre a posição final ( x f ) no instante t f e a posição inicial ( x i ) no instante t i Exemplo 1 Corrida de 100 m x = x f - x i t = t f – t i deslocamento intervalo de tempo

8 888 Exemplo 2. Corrida de 100 metros. O corredor parte de x i = 0 m para x f = 100 m. x = x f - x i = 100 m - 0 = 100 m Exemplo 3. Uma pessoa a andar se desloca do ponto x i = 200 m para x f = 100 m. x = x f - x i = = m O deslocamento do corredor é O deslocamento da pessoa é

9 999 Velocidade média A velocidade média é a distância x = x f - x i percorrida pela partícula num intervalo de tempo t = t f - t i x t Temos a noção intuitiva de velocidade como sendo o espaço percorrido por um corpo num certo tempo xfxf xixi tftf titi

10 10 posição x como uma função do tempo t x t x1x1 x2x2 t1t1 t2t2 t x Deslocamento : x = x f - x i declive de uma secante Velocidade média:

11 11 A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo Se movimento à esquerda, ou no sentido de decréscimo de x ) Se movimento para a direita, ou no sentido de crescimento de x m 11

12 12 Exemplo 4. Na corrida de 100 m, o corredor nos primeiros 5.01 s, percorre 40 m e depois percorre 60 m. O tempo total da corrida é de 10.5 s. Determinar : a) a velocidade média do corredor até o instante de 5.01 s. b) a velocidade média do corredor após este instante e até o final da corrida. c) a velocidade média do corredor em todo o intervalo do tempo de duração da corrida. a) De 0 a 5.01 s : x = x f - x i = = 40 me t = t f – t i = 5.01 s- 0 = 5.01 s b) De 5.01 a 10.5 s: c) Em todo o intervalo (de 0 a 10.5 s) : x = x f - x i = 100 m – 40 m = 60 me t = t f – t i = 10.5 s s = 5.49 s x = x f - x i = 100 m – 0 = 100 me t = t f – t i = 10.5 s – 0 m = 10.5 s

13 13 Exemplo 5. Uma partícula em movimento ao longo do eixo x está localizada no ponto x i = 12 m em t i = 1 s e no ponto x f = 4 m em t f = 3 s. Encontre o deslocamento e a velocidade média da partícula durante esse intervalo de tempo. x = x f - x i = 4 m – 12 m = - 8 m e t = t f – t i = 3 s – 1 s = 2 s A partícula se moveu para a esquerda com essa velocidade Exemplo 5. É apresentado na Figura 1 o gráfico do deslocamento versus tempo para uma certa partícula em movimento ao longo do eixo x. Encontre a velocidade média nos intervalos de tempo (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4s, (c) 2 s a 4 s, (d) 4 s a 7 s, (e) 0 a 8 s. Figura 1

14 14 (b) 0 a 4 s x = x f - x i = 5 m - 0 = 5 m t = t f – t i = 4 s - 0 s = 4 s (c) 2 s a 4 s x = x f - x i = 5 m – 10 m = - 5 m t = t f – t i = 4 s - 2 s = 2 s (a) 0 a 2 s x = x f - x i = 10 m - 0 = 10 m t = t f – t i = 2 s - 0 s = 2 s

15 15 (d) 4 s a 7 s x = x f – x i = - 5 m - 5 m = - 10 m t = t f – t i = 7 s - 4 s = 3 s (e) 0 a 8 s x = x f – x i = = 0 t = t f – t i = 8 s - 0 = 3 s

16 16 Velocidade instantânea É a velocidade que a partícula tem a cada instante A velocidade instantânea é a derivada da posição ( x ) em relação ao tempo (t) Velocidade na direção x: x

17 17 Velocidade instantânea é a média sobre um intervalo de tempo infinitesimal : v é o declive da tangente para o gráfico x versus t Fisicamente, v é a taxa de variação de x, dx/dt. x t t

18 18 0 ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES

19 19 Entretanto, elas podem ser bastante diferentes ! Em algumas situações Velocidade escalar média A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a rapidez com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e sentido: Exemplo: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P:

20 20 Exemplo 6: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e retorna a O, depois de decorrido um tempo total e ter percorrido uma distância total L Neste caso: e

21 21 A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de qualquer indicação de direção e sentido Velocidade escalar Exemplo 7: O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a direção e o sentido

22 22 Movimento retilíneo uniforme Chama-se movimento retilíneo uniforme ao movimento em que a velocidade é constante é a posição da partícula no instante inicial t = t 0 é a velocidade com que a partícula se desloca a equação do movimento retilíneo uniforme Equação horária é constante Para t 0 = 0 temos 22 a equação Para t 0 0 temos

23 23 Diagrama do movimento de um carro com velocidade constante A seta vermelha indica o vetor velocidade

24 24 Graficamente temos Equação da Recta Velocidade constanteEspaço variável 24 Movimento retilíneo uniforme MRU Recta paralela ao eixo do tempo

25 25 Exemplo 8

26 26 Este é o problema inverso. v(t–t 0 ) é a área sob a curva da velocidade em função do tempo (v = constante ) onde v(t) é a velocidade instantânea em t. t t0t0 v Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRU

27 27 Exemplo 9. O treinador de uma corredora determina sua velocidade enquanto ela corre a uma taxa constante. O treinador inicia o cronómetro no momento em que ela passa por ele e pára o cronómetro depois da corredora passar por outro ponto a 20 m de distância. O intervalo de tempo indicado no cronómetro é de 4.4 s. a) Qual é a velocidade da corredora? b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador? a) Qual é a velocidade da corredora? t = 4.4 st 0 =0 b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?

28 28 Exemplo 10. Encontre a velocidade instantânea da partícula descrita na Figura 1 nos seguintes instantes: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t= 4.5 s, e (d) t= 7.5 s. Figura 1 (a) t = 1.0 s Sabemos que entre 0 e 2 s a velocidade é constante x 0 = 0 t 0 = 0 x = 10 m t = 2 s (b) t = 3.0 s x 0 = 10 m t 0 = 2 s x = 5 m t = 4 s

29 29 (c) t = 4.5 s (d) t = 7.5 s v= 0 x 0 = - 5 m t 0 = 7s x = 0 m t = 8 s

30 30 Aceleração média Quando a velocidade da partícula se altera, diz-se que a partícula está acelerada A aceleração média é a variação da velocidade num intervalo de tempo t ou ou a notação

31 31 Exemplo 11. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados na Figura 2, calcule a aceleração média do carro. Figura 2 A velocidade escalar diminui com o tempo O carro está desacelerando

32 32 Aceleração instantânea Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes portanto é útil definir a aceleração instantânea Aceleração na direção x x

33 33 ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES (Uma constante arbitrária deve ser adicionada a cada uma dessas integrais)

34 34 Movimento retilíneo uniformemente variado Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o movimento é uniformemente acelerado se a velocidade da partícula diminui com o tempo o movimento é uniformemente retardado é a velocidade da partícula em t = 0 a é a aceleração da partícula a é constante para t 0 = 0 temos a equação Para t 0 0 temos

35 35 Substituindo obtemos Integrando: Obtemos: em

36 36 Exemplo 12

37 a seta superior indica o vetor velocidade e a seta inferior, o vetor aceleração constante Diagrama de movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção de sua velocidade Diagrama do movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção oposta à velocidade em cada instante 37

38 38 Graficamente temos Equação da recta Aceleração constanteVelocidade variávelEspaço variável Parábola Movimento retilíneo uniformemente variado MRUV

39 39 Exemplo 13: Aceleração positiva

40 40 Exemplo 14: Aceleração negativa

41 41 No limite N e t 0: Área v(ti)v(ti) Dividimos o intervalo ( t-t 0 ) num número grande N de pequenos intervalos Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRUV Área dum retângulo i Somando a área de todos os retângulos: que corresponde a área sob a curva. e

42 42 A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo Assim geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à curva da posição versus tempo no instante considerado. O deslocamento é obtido pela integração da velocidade geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva da função velocidade versus tempo. (a velocidade é a derivada em ordem ao tempo da posição)

43 43 Exemplo 15. Um avião parte do repouso e acelera em linha reta no chão antes de levantar voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s? a) Qual é a aceleração do avião? (parte do repouso) Substituindo os valores na equação b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s? (parte do repouso)


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