Movimento em I dimensão

Apresentação em tema: "Movimento em I dimensão"— Transcrição da apresentação:

1 Movimento em I dimensão
Prof. Hebert Monteiro

2 Introdução Iniciaremos o nosso curso estudando a mecânica como ciência que estuda o movimento. A mecânica é dividida em duas partes: Cinemática: que é o estudo do movimento sem referência às suas causas. Na cinemática definimos grandezas utilizadas na mecânica tais como: velocidade e aceleração. Dinâmica: é o estudo que engloba as leis do movimento, permite-nos prever o movimento de um objeto com base em informações sobre o mesmo e seu ambiente. Além das grandezas acima citadas a dinâmica aborda conceitos como força e massa.

3 Para descrevermos o movimento de um objeto em I dimensão, o primeiro passo é fixarmos um sistema de coordenadas, ou sistema de referência. Para o movimento ao longo de uma reta, isto exige primeiro a escolha de uma origem em algum ponto da reta e, em seguida, de uma direção positiva.

4 Verifiquem então o movimento realizado pelo carro de fórmula 1 do slide anterior.
Estipulamos como origem o ponto “início” (correspondente à origem do plano cartesiano) e a direção positiva como a direita ou leste (direção positiva do eixo x do plano cartesiano). Na cena em questão analisada o carro realiza um movimento que vai de sua posição inicial x1 até a sua posição final x2. A sua posição inicial corresponde ao seu tempo inicial, assim como a sua posição final corresponde ao seu tempo final. Determinadas essas grandezas, já podemos calcular o deslocamento do carro que é medido em metros, através da fórmula: Δx = x2 – x1

5 Como nosso objeto se moveu na direção positiva, tanto seu deslocamento quanto as outras grandezas que serão medidas são positivas. Da mesma forma que calculamos o seu deslocamento através das suas posições iniciais e finais, também podemos calcular o tempo gasto para realizar o movimento através da equação que representa a variação de tempo do movimento: Δt = t2 – t1 A unidade de tempo utilizada nesse tipo de movimento é o segundo, portanto a nossa variação de tempo tem como unidade de medida o segundo.

6 Exercício: 1) Uma pessoa sai de sua casa e caminha em linha reta pela calçada no sentido oeste-leste, passa então por um ponto de ônibus e caminha 15 m até parar. Considerando sua casa como posição inicial e sabendo que ela está a 30 m a Oeste do ponto de ônibus. Determine o deslocamento total da pessoa e o seu sentido.

7 Velocidade Vetorial e Velocidade Média
A velocidade de um objeto nos diz quão rapidamente ele caminha e a direção que ele segue em determinado instante. A melhor maneira de entender o significado do vetor velocidade é definir e discutir primeiro a velocidade vetorial média e utilizá-la em seguida para definir velocidade vetorial. A velocidade média de um objeto que se deslocou do ponto x1 ao ponto x2 no intervalo de tempo de t1 a t2 é dada por: v = x2 – x1 = Δx t2 – t Δt Como a unidade do deslocamento é metros e a do tempo é segundos, sendo assim, a unidade de medida que representa a média de velocidade do objeto no S.I. é m/s.

8 De acordo com a explicação anterior, a velocidade média é a média de rapidez que o objeto executou o seu deslocamento, durante um intervalo de tempo, sendo assim, ela é constante. Quando pensamos em vetor velocidade ou velocidade propriamente dita, estamos falando em velocidade instantânea, ou seja, a velocidade em um determinado instante e não uma média que se encontra dentro de um tempo. Para encontramos a velocidade o intervalo de tempo necessariamente tenderá a zero, ou seja: v = lim v = lim Δx Δt Δt

9 Exercício: 1) Um carro sai de um posto de combustível e movimenta-se em uma auto-estrada no sentido leste-oeste. Depois de 15 s vê a sua frente uma placa de trânsito que está a exatamente 81 m de distância. O carro continua o seu movimento e para 13 metros após a placa de trânsito decorridos 22 segundos após a sua partida. Calcule: a) O seu deslocamento e a sua velocidade média. b) Caso o carro estivesse no sentido oeste-leste, como ficariam os resultados da pergunta a)?

10 Aceleração e aceleração média
Assim como a velocidade indica uma taxa da variação da posição com o tempo, a aceleração descreve uma taxa de variação da velocidade com o tempo. Como a velocidade, a aceleração também é uma grandeza vetorial. Imaginem uma partícula em movimento ao longo do eixo x. Suponha que em um dato instante t1 a partícula esteja no ponto x1 e possua uma velocidade instantânea de Vx1. Em outro instante chamado de t2 a partícula está no ponto x2 e possui velocidade instantânea de Vx2. Definimos aceleração média como uma grandeza vetorial que é dada pela razão da variação da componente x da velocidade e o intervalo de tempo Δt. a = v2 – v1 = Δv t2 – t Δt

11 Como a unidade de medida da velocidade é m/s e da variação de tempo é dada em segundos, a unidade de medida que representa a aceleração ou a aceleração média de um objeto é m/s2. Podemos agora definir aceleração ou aceleração instantânea seguindo o mesmo procedimento adotado quando definimos velocidade instantânea. Imaginem que um piloto de um carro de corridas acaba de entrar na reta final do Grand Prix como ilustra a figura a seguir:

12 Para definir a aceleração instantânea no ponto P1, imaginamos que o ponto P2 da figura se aproxima continuamente do ponto P1, de modo que a aceleração média seja calculada em intervalos de tempos cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero. a = lim Δv Δt Δt

13 Exercícios 1) A velocidade de um carro aumenta de 18 para 23 m/s em um intervalo de tempo de 5,8 s. a) Tomando a direção +x segundo a direção do percurso do carro, determine a aceleração média. b) Supondo a direção +x oposta a direção do percurso, determine a aceleração média. 2) Em um teste para um novo modelo de automóveis da empresa Motores Incríveis, o velocímetro é calibrado para ler em m/s ao invés de Km/h. A série de medidas a seguir foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada retilínea muito longa. tempo (s) velocidade (m/s) Calcule e a aceleração média durante cada intervalo de 2 s. A aceleração é constante? Ela é constante em algum trecho do teste?

14 Movimento com Aceleração Constante
O tipo de movimento acelerado mais simples é o movimento retilíneo com aceleração constante. Neste caso a velocidade dele varia com a mesma taxa durante todo o movimento. É um caso especial embora ocorra freqüentemente na Natureza. Por exemplo, um corpo em queda livre, que possui aceleração constante quando os efeitos da resistência do ar são desprezados. Quando a aceleração é constante a aceleração média para qualquer intervalo de tempo é a mesma que a aceleração instantânea. Logo: a = a. Assim é fácil deduzirmos equações para a posição de X e a velocidade Vx em função do tempo.

15 Para a aceleração média temos: a = v2 – v1 t2 – t1
Se chamarmos v2 de Vx, v1 de V0x e t2 de t e fizermos o tempo t1 = 0, teremos que: a = Vx – V0x => Vx = V0x + a.t t Da mesma forma, através de múltiplas combinações de equações, encontramos outras fórmulas que representam o movimento retilíneo com aceleração constante em função das outras grandezas como posição, velocidade e tempo.

16 V = Vo + (Vox + a.t) >>
Sabendo-se que V = x2 – x1 t2 – t1 Se chamarmos x2 de x, x1 de xo, t1 = 0 s e t2 = t, então teremos: V = x – xo t Sabendo-se que quando a aceleração é constante, a velocidade média pode ser dada pela simples média aritmética: V = Vo + V 2 Para movimento com a aceleração constante, a velocidade pode ser encontrada a qualquer instante através da equação: V = Vox + a.t , então: V = Vo + (Vox + a.t) >>

17 V = Vox + ½ a.t Se V = V, então: X – Xo = Vox + 1 a.t t X – Xo = (Vox + ½ a.t) . t X = Xo + Vox.t + ½ a.t2

18 Se isolarmos o tempo na primeira equação do movimento com aceleração constante, teremos:
t = V – Vox a Substituindo essa equação na anterior que encontramos, teremos: X = Xo + Vox. (V – Vox) + ½ a . (V – Vox)2 >> a a Finalmente chegaremos a: V2 = Vox2 + 2.a.(X-Xo)

19 A utilização de uma ou de outra equação dependerá da necessidade apresentada na questão que estamos estudando, assim como das grandezas apresentadas.

20 Exercícios O movimento de um corredor pode ser aproximado por uma aceleração constante de módulo 3,4 m/s2 para os primeiros 40 m a contar da linha de partida. Qual a velocidade do corredor após percorrer? a) 20 m b) 40 m ? O motorista de um carro que percorre uma estrada retilínea a uma velocidade de 18 m/s, vê um sinal que indica o limite da velocidade de 25 m/s. O sinal está a 85 m adiante, no momento em que o motorista começa a acelerar o carro. Determine o módulo da aceleração constante que fará com que o carro passe no sinal à velocidade limite indicada.

21 3) Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma cidade do Estado de São Paulo e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da cidade. Sua aceleração é constante e igual a 4 m/s2. No instante t = 0 ele está a 5,0 m a leste do sinal, movendo-se para leste a 15 m/s. a) Determine sua posição e velocidade para t = 2,0 s. b) Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s? 4) Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de um porta aviões, um caça a jato atinge a velocidade de decolagem de 270 km/h em uma distância aproximada de 90 m. Suponha a aceleração constante. a) Calcule a aceleração do caça em m/s2. b) Calcule o tempo necessário par ao caça atingir essa velocidade de decolagem. 5) Um antílope que se move com aceleração constante leva 7,0 s para percorrer uma distância de 70,0 m entre dois pontos. Ao passar pelo segundo ponto, sua velocidade é de 15 m/s. a) Qual era a sua velocidade quando passava pelo primeiro ponto? b) Qual era a sua aceleração?

22 Movimento de Queda Livre
Todos nós estamos familiarizados com objetos em queda, como por exemplo um peso de papel caindo de cima da mesa. Quase sempre quando descrevemos o movimento de tais objetos, podemos desprezar a resistência do ar, pelo seu valor ínfimo. Se a resistência do ar é desprezada é válido dizer então que a aceleração do objeto é única e exclusivamente por causa da gravidade. Neste caso o movimento é chamado de queda livre. Os objetos em queda livre tem uma aceleração constante para baixo. A aceleração é a mesma em qualquer ponto da queda, além disso é a mesma para qualquer tipo de objeto. O Módulo da aceleração devida a gravidade é representado pelo símbolo “g”, que na superfície da terra é: G = 9,8 m/s2

23 No estudo da queda livre utilizamos o eixo y ao longo da direção do movimento, com o vetor unitário j apontando para cima. A aceleração de um objeto em queda livre será: a = - g Como o movimento de queda livre é um movimento com aceleração constante, podemos utilizar as fórmulas da aceleração, fazendo a = -g e mudando a coordenada x para y:

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25 Quando lançamos um objeto como uma bola de beisebol para cima na vertical, com velocidade inicial V0, pode-se determinar logo duas quantidades: Tempo médio: Tempo (Tm) necessário para que a bola atinja altura máxima. Altura máxima (Hm) atingida pela bola.

26 Exercícios Um vaso de flores cai da janela de um segundo andar. Qual a sua velocidade quando tocar o solo 3,0 metros abaixo? Despreze a resistência do ar. Uma moeda de 1 euro é laçada da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e se move em queda livre. Calcular a sua posição e a sua velocidade nos instantes 1,0 s, 2,0 s, e 3,0 s.