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6 Abril 2006Integração Numérica - Áreas e Equações1 Integração Numérica – Áreas e Equações Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação.

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1 6 Abril 2006Integração Numérica - Áreas e Equações1 Integração Numérica – Áreas e Equações Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 2º Semestre 2005/2006

2 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 2 Áreas e Integração Como é sabido a superfície delimitada pelo gráfico de uma função pode ser obtida através de uma integração. Com efeito, denotando por A(x) a área da função f desde o ponto x= x 0 até ao ponto x temos dA = A(x+h) – A(x) f(x) h x0x0 xx + h A dA f(x)

3 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 3 Áreas e Integração Naturalmente, o erro só é eliminado na passagem ao limite, isto é, quando h 0. Assim de A(x+h) – A(x) f(x) h obtemos x0x0 xx + h A dA f(x)

4 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 4 Áreas e Integração Ora se a função f é a derivada em ordem a x da função A (área), temos inversamente que a função A é a primitiva de f em ordem a x Desta forma, para determinar a área debaixo da função f, basta-nos determinar a primitiva de f e subtrair os seus valores nos limites de x, o que se denota habitualmente por A ab

5 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 5 Áreas e Integração Exemplo: Para determinarmos a área abaixo da curva y = f(x) = 3x entre x = 1 e x = 5, 1.obtemos primeiro 1.e portanto A = 4*(3+15)/2 = 36

6 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 6 Áreas e Integração Infelizmente, todo este processo depende de se conseguir obter uma forma analítica para a função F(x), primitiva de f(x). Num conjunto significativo de situações tal não é possível, pelo que a integração se tem de fazer, não por métodos analíticos, mas sim através de métodos numéricos aproximados. A ab

7 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 7 Áreas e Integração A integração pode ser pois aproximada por uma soma (aliás o símbolo de integração corresponde ao S de soma estilizado). Denotando por a i a área dos rectângulos, com canto inferior esquerdo no ponto x i, temos x0x0 x1x1 x n-2 x n-1 xnxn

8 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 8 Áreas e Integração Mas a i f(x i ) (x i+1 -x i ) = f(x i ) dx e portanto a soma pode reescrever-se como que no limite corresponde ao integral referido atrás O cálculo da área debaixo de uma função, e portanto a integração numérica dessa função podem ser aproximados por uma soma.

9 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 9 Exemplo: Cálculo de O valor de pode ser obtido através da área de um círculo de raio 1 (cujo valor é exactamente ). Na prática é preferível obter o valor de pi/4, área do quarto de circulo, limitado pela função no intervalo entre x = 0 e x = 1. 4

10 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 10 Exemplo: Cálculo de function p = pi_area(n) a = 0; x = 0; dx = (1-0) / n; for i = 0 : n-1 x = x + dx; a = a + sqrt(1-x^2)*dx; endfor p = 4 * a; endfunction 4

11 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 11 Integração de Equações Diferenciais Apesar de ilustrado com o cálculo de áreas, o cálculo integral tem uma utilidade muito mais geral, sendo por exemplo aplicável a praticamente todos os domínios da Física. Os exemplos atrás ilustrado correspondem de facto a um caso particular de equações diferenciais, Estas são equações em que são utilizadas não (apenas) as funções mas (também) as suas derivadas. Por exemplo, a área do trapézio poderia ser obtida através da equação através de um processo de integração, ou seja, determinação da função A(x), e subtraindo os seus valores nos pontos x = 1 e x = 5.

12 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 12 Integração de Equações Diferenciais Em Física é muito frequente defrinirem-se grandezas como função não de outras grandezas mas também da sua variação. Por exemplo, –a velocidade é a variação da posição em ordem ao tempo –a aceleração é a variação da velocidade em ordem ao tempo Tendo em conta que a força é proporcional à aceleração, o movimento de um corpo (isto é, a função de posição ao longo do tempo x(t) ) pode ser determinado a partir das forças que actuam sobre um corpo.

13 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 13 Integração de Equações Diferenciais Por exemplo, no caso da queda de um grave (por acção da gravidade), a única força que actua é a força da gravidade, que se pode considerar constante para um determinado à superfície da Terra. F = m g Sendo a força e a aceleração (g) constantes, pode-se determinar facilmente a velocidade de um corpo através de

14 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 14 Integração de Equações Diferenciais Neste caso, sendo a aceleração é constante a(t) = g, pelo que a sua primitiva pode ser determinada analiticamente em que v 0 é a velocidade inicial (no instante t = 0). Da mesma forma se pode obter a posição do ponto, através da integração da função velocidade sendo x0 a posição inicial (no instante t = 0).

15 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 15 Integração de Equações Diferenciais Esta integração pode naturalmente ser feita através dos métodos numéricos discutidos anteriormente. function v = velocidade(t, v0, n) t = 0; v = v0; dt = t/n; for i = 1 : n v = v + g * dt % g = dv/dt endfor endfunction

16 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 16 Integração de Equações Diferenciais A posição do grave é obtida identicamente. function x = posicao(tf, x0, v0, n) x = x0; dt = tf/n; for i = 1 : n x = x + velocidade(t,v0,i)* dt t = t + dt; endfor endfunction

17 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 17 Integração de Equações Diferenciais A eficiência desta função é muito baixa. Com efeito, para se obter a posição x i é necessário determinar a velocidade v i que se determina com i somas (a 0 dt+ a 1 dt + a 2 dt a i dt). for i = 1 : i v = v + g * dt % ai = g endfor Para calcular a posição x i+1 é necessário determinar a velocidade em x i+1. Mas em vez de reaproveitar a soma anterior, adicionando um termo a i+1 dt, o programa vai calcular novamente a soma desde o início, isto é, soma de i+1 termos. Obviamente, a eficiência aumentará bastante se combinarmos os dois ciclos num só.

18 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 18 Integração de Equações Diferenciais O programa abaixo faz essa combinação function x = posicao_2(tf, x0, v0, n) g = 9.8 v = v0; x = x0; dt = tf/n; for i = 1 : n v = v + g * dt; x = x + v * dt; % velocidade(t,v0,n)* dt % t = t + dt; t não é usado ! endfor endfunction

19 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 19 Integração de Equações Diferenciais A integração numérica, tem naturalmente a desvantagem de não ser exacta, sendo necessário algum cuidado para garantir que a aproximação obtida é conveniente. Por outro lado, ela é muito mais flexível que a integração analítica, já que não requer a obtenção de primitivas ou métodos analíticos de resolução de equações diferenciais. Por exemplo, assumamos que com a resistência do ar, existe uma força contrária à queda, proporcional à velocidade, ou seja f = m g – r v

20 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 20 Integração de Equações Diferenciais Como, pelas leis de Newton, f = m a teríamos m a = m g - r v e portanto a = g – k v % com k = r /m o que poderia ser escrito como podendo x(t) ser obtido por integração desta equação diferencial. Por métodos numéricos, basta substituir a fórmula da aceleração no programa anterior!

21 6 Abril 2006 Integração Numérica - Áreas e Equações 21 Integração de Equações Diferenciais O programa abaixo faz essa alteração, acrescentando o coeficiente de atrito k, como parâmetro de entrada function x = posicao_3(tf, x0, v0, k, n) g = 9.8 v = v0; x = x0; dt = tf/n; for i = 1 : n v = v + (g - k*v) * dt % a = g – k*v x = x + v * dt endfor endfunction


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