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AJUSTE DE CURVAS 6.1 Introdução 6.2 Método dos quadrados mínimos 6.2.1 Caso discreto 6.2.2 Caso contínuo 6.3 Caso não-linear.

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1 AJUSTE DE CURVAS 6.1 Introdução 6.2 Método dos quadrados mínimos Caso discreto Caso contínuo 6.3 Caso não-linear

2 AJUSTE DE CURVAS INTRODUÇÃO No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela. A interpolação polinomial. Nem sempre a interpolação é aconselhável. 1.Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento. Extrapolação. 2.Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros não pelos pontos.

3 AJUSTE DE CURVAS 6.1- INTRODUÇÃO Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de erros são vistos abaixo: Curva ajustada Curva extrapolada Barra de erros

4 AJUSTE DE CURVAS INTRODUÇÃO Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma boa aproximação e que permita extrapolações com alguma margem de segurança. Dado os pontos num intervalo [a,b], devemos escolher funções, e constantes tais que a função se aproxime de

5 AJUSTE DE CURVAS INTRODUÇÃO Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar aparecem linearmente. Note que as funções podem ser funções não-lineares, por exemplo: PROBLEMA 1 Como escolher as funções ?

6 AJUSTE DE CURVAS INTRODUÇÃO Podemos escolher as funções observando os pontos tabelados ou a partir de conhecimentos teóricos do experimento.

7 AJUSTE DE CURVAS INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO Seja dada na tabela: Devemos construir o diagrama de dispersão x f(x)f(x)

8 Diagrama de dispersão – caso discreto

9 AJUSTE DE CURVAS INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO Escolhemos a partir da forma dos pontos no diagrama de dispersão. Procuramos a função que se aproxime ao máximo de que tenha a forma (parábola passando pela origem) PROBLEMA 2: Qual o valor de que gera melhor ajuste da parábola?

10 AJUSTE DE CURVAS INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO Dada uma função contínua em [a,b] e escolhidas as funções todas contínuas em [a,b], devemos determi- nar as constantes de modo que a função se aproxime ao máximo de.

11 AJUSTE DE CURVAS INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO Tanto no caso discreto quanto no caso contínuo o que significa ficar mais próxima? Idéia: A função é tal que o módulo da área sob a curva seja mínimo!!!

12 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Objetivo: encontrar os coeficientes j tais que a função se aproxime ao máximo de f ( x ) MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Consiste em escolher os j s de modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

13 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Desvio em : Se a soma dos quadrados dos desvios é mínima, cada desvio será pequeno. Assim, j s devem ser tais que minimizem a função

14 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os números críticos, ou seja, j s tais que onde

15 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Calculando as derivadas, temos Igualando a zero,

16 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Ou seja, temos um sistema linear a resolver

17 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto Reescrevendo o sistema, Sistema linear de n equações com n incógnitas

18 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Retas Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3). Calculemos para

19 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Retas Logo,

20 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Retas

21 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Parábolas Exemplo 2: Encontre a parábola através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos da tabela Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola pela origem seria uma boa escolha, logo seja, x f(x)f(x)

22 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Parábolas Logo temos apenas uma equação dada por Calculando as somas, segue que:

23 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Parábolas Comentário 1: Note que a parábola pela origem, alinhada com o eixo dos y, que melhor ajusta os pontos fornecidos, através Método dos Mínimos Quadrados, é dada por Comentário 2: Uma parábola da forma permite um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser resolvido é 3X3 com várias somas e produtos intermediários, o que aumenta o tempo de processa- mento.

24 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo Para a notação não ficar carregada, consideremos apenas duas funções de ajuste Sejam contínua em [a,b] e também contínuas em [a,b] escolhidas com algum critério. Desejamos encontrar mais próxima de. Neste caso quais são ? Do critério de mínimos quadrados: ser mínimo!!!!!!!!

25 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo Calculando

26 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo Analogamente ao caso discreto, minimizando

27 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo Segue o sistema linear Comentário: Se forem duas funções LI, então o sistema tem solução única para.

28 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta Exemplo: Encontre a reta através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a função no intervalo [0,1]. Seja, logo Calculando os termos do sistema linear 2X2

29 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta Calculando os termos do sistema linear

30 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta Obtemos o sistema linear Logo, a reta que melhor ajusta no intervalo [0,1] e dada pelo método dos mínimos quadrados por

31 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta > plot([4*x^3, -4/5+x*18/5], x=0..1, color=[red,blue], style=[line,line]);


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