A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Funções de mais de uma variável - Limite e Continuidade Everton Lopes.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Funções de mais de uma variável - Limite e Continuidade Everton Lopes."— Transcrição da apresentação:

1 Funções de mais de uma variável - Limite e Continuidade Everton Lopes

2 Limite e Continuidade O conceito de limite de uma função de duas ou mais variáveis é análogo ao caso de uma variável. Vimos que a noção de vizinhança de um ponto foi fundamental na definição de limite de uma só variável. A vizinhança de um ponto x o em R é qualquer intervalo aberto que contenha x o. Trabalhamos, em geral, com vizinhanças centradas em xo e de raio r, ou seja, intervalos da forma ] x o r, x o + r [. xoxo x o + r x o r

3 Limite e Continuidade Podemos estender o conceito de vizinhança no plano e no espaço Uma vizinhança de centro em ( x o, y o ) e raio r no plano é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a ( x o, y o ) é menor que r, ou seja, interior à circunferência de centro ( x o, y o ) e raio r. Isto corresponde à região xoxo yoyo

4 Limite e Continuidade Analogamente, no espaço uma vizinhança de centro em P o e raio r é o interior da esfera de centro em P o e raio r. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis de domínio D e seja P o = (x o,y o ) um ponto tal que qualquer vizinhança de P o contém pelo menos um ponto de D distinto de P o. (x o,y o ) xoxo yoyo Estamos interessados em descrever o comportamento de z = f(x,y) para pontos próximos de P o.

5 Limite e Continuidade Consideremos a seguinte função O domínio dessa função é o conjunto dos pontos do R 2 tais que 2x y 0, ou seja, é todo o plano menos a reta y = 2x. 1 2 função quando (x,y) se aproxima de P o, isto é, quando (x,y) (1,2). O ponto P o (1,2) D(f) mas qualquer vizinhança de P o contém pontos de D Vamos analisar o comportamento dessa

6 Limite e Continuidade Observemos que, para (x,y) (1,2), podemos reescrever a função como Assim, se (x,y) se aproxima de (1,2) temos que f(x,y) se aproxima de 1. Dizemos que De uma maneira geral, dizemos que se podemos fazer f(x,y) arbitrariamente próximo de L, bastando para isso fazer (x,y) suficientemente próximo de (x o,y o ) (exercícios)

7 Limite e Continuidade No caso de função de uma variável temos o limite de uma função existe se e somente se os limites laterais são iguais Para o caso de uma função de uma variável cujo domínio está em R, temos que a variável x pode se aproximar de x o por dois caminhos: vindo pela direita ou pela esquerda de x o. xoxo

8 Limite e Continuidade No caso de uma função de duas variáveis z = f(x,y) um ponto P(x,y) pode se aproximar de P o =(x o,y o ) por uma infinidade de caminhos. PoPo Análogo ao caso de uma variável, temos o seguinte resultado: Se uma função z = f(x,y) tem limites diferentes quando (x,y) se aproxima de (xo,yo) por caminhos diferentes, então não existe.

9 Limite e Continuidade Exemplo: Seja. Vamos calcular o limite de f(x,y), quando (x,y) (0,0) ao longo dos caminhos y = kx. Vamos calcular o limite de f(x,y), (observemos que y = kx é um feixe de retas que passam pela origem e que para cada valor de k temos um caminho diferente ) Consideremos y = kx.

10 Limite e Continuidade Substituindo na expressão da função temos Assim, Logo, para cada valor de k temos um valor distinto para o limite e portanto o limite não existe Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e Po(xo,yo) um ponto do domínio de f. Dizemos que f é contínua em Po se, e somente se

11 Limite e Continuidade Observações: 1) A definição é análoga para funções de n variáveis não for igual ao valor da função no ponto, dizemos que a função 2) Se a condição não for satisfeita, isto é, se o limite não existir ou é descontínua em (xo,yo) ou que (xo,yo) é um ponto de descontinuidade da função 3) Se f e g são contínuas em Po, então f g, f.g são contínuas em Po e f /g é contínua em Po se g(Po) 0 4) Funções polinomiais e racionais são contínuas em seus domínios


Carregar ppt "Funções de mais de uma variável - Limite e Continuidade Everton Lopes."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google