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INTEGRAL DEFINIDA Nice Maria Americano da Costa. A ferramenta da integral definida que estudaremos envolve um dos conceitos mais fundamentais da Análise.

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1 INTEGRAL DEFINIDA Nice Maria Americano da Costa

2 A ferramenta da integral definida que estudaremos envolve um dos conceitos mais fundamentais da Análise Matemática. Ela surge a partir da noção de somas integrais. Nosso ponto de partida é o cálculo de áreas sob curvas de funções. Suponhamos que é dada uma função f(x), contínua no intervalo [a,b], mostrada no gráfico. Desejamos calcular a área delimitada por esta curva no intervalo. A NOÇÃO DE SOMAS INTEGRAIS Aproximadamente, poderíamos dividir o intervalo [a,b] em pequenos segmentos e construirmos retângulos sob a curva e somar as suas áreas. X0=aX0=a X n= b x1x1 x2x2 x3x3 X n-1 m M

3 Sejam, em cada pequeno intervalo [x i, x i+1 ], m i e M i o menor valor e o maior valor da função no intervalo. Então Correspondem à área do retângulo menor, neste intervalo, e à área do retângulo maior no mesmo intervalo, respectivamente. Construamos então duas somas dessas áreas: Essas somas são chamadas de somas integrais inferior e superior, respectivamente. Temos ainda que vale: mimi MiMi *

4 Note que representa a área do retângulo construído com o menor valor da função, em todo o intervalo [a,b]. representa a área do retângulo construído com o maior valor da função, em todo o intervalo [a,b]. x3x3 X n-1 X0=aX0=a X n= b x1x1 x2x2 m M e que

5 Vemos que Podemos escrever então: Ou seja: a área construída com o retângulo formado pelo tamanho do intervalo e o maior valor da função é maior que a soma integral superior, que, por sua vez, é maior que a soma integral inferior, que, por sua vez, é maior que área construída com o retângulo formado pelo menor valor da função e o tamanho do intervalo.

6 A INTEGRAL DEFINIDA X0=aX0=a X n= b Mas sob a curva a área é delimitada pela própria curva, pelo eixo x e pelas retas x=a e x=b. Se considerarmos cada pequeno intervalo nos quais subdividimos o intervalo inteiro, a área sob este pequeno pedaço da curva será igualmente delimitada pela curva, o eixo x e as retas x=x i e x=x i+1. XiXi x i+1

7 Tomemos agora um ponto intermediário,x= i em cada subintervalo [x i,x i+1 ] e construamos a área do retângulo formado por f( i ) e pelo tamanho do subintervalo, x i. Somemos essas áreas assim formadas: S int é a soma integral da função f(x) no intervalo [a,b]. Como m i f( i) M i, teremos: Somando sobre todos os subintervalos, teremos finalmente

8 Se agora, calculamos o limite de S int, quando o maior x i 0 e esse limite existe, dizemos que esse limite é a integral definida de f(x) Vemos então que a integral definida de uma função num intervalo [a,b] corresponde à área sob a curva, da figura trapezoidal curvilínea, compreendida entre o eixo x e as retas x=a e x=b X0=aX0=a X n= b

9 Na expressão simbólica da integral definida a é o limite inferior da integração, b o limite superior da integração, o intervalo [a,b] é o intervalo de integração e x é a variável de integração Se f(x) é contínua sobre um intervalo [a,b] ela é integrável neste intervalo. A integral definida de f(x) depende dos limites de integração mas não da variável de integração. Podemos então escrever, de forma indiferente:

10 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 1.Trocando os limites de integração, a integral muda de sinal: Exemplo: 2.Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração; Demonstração:

11 3.A integral definida da soma de duas funções é igual à soma das integrais definidas das mesmas funções Demonstração: 4.Se no intervalo [a,b], as funções f(x) e (x) satisfazem à condição f(x) (x), então, tem-se

12 Demonstração: e Temos, então

13 5.Sendo m e M, respectivamente, o menor e o maior valor da função no intervalo [a,b], então, tem-se Demonstração: Por hipótese, no intervalo [a,b], tem-se Pela propriedade anterior *

14 Teorema da Média. A função f(x) seno continua no intervalo [a,b], existe um ponto, tal que se tem: Demonstração: Considerando que, respectivamente, m e M são o menor valor e o maior valor de f(x) no intervalo, teremos: Considerando que o resultado da integral é um número, designemos esse por. Temos então Como a função é contínua no intervalo, haverá um valor de f(x) igual ; isto é, um ponto, a b, tal que f( )= (o valor médio da função no intervalo). com

15 Propriedade 6. a,b e c sendo três números arbitrários, ter-se-á: abc x

16 INTEGRAL DEFINIDA: Fórmula de Newton-Leibniz Considerando que, para a integral, o limite de integração inferior seja fixo,a. Variemos o limite superior, b, e calculemos, sucessivas integrais de f(x). Os resultados, portanto dependerão de b. Podemos então trocar a variável de integração por t. Então xa (x) é portanto igual à área subtendida pelo trecho da curva entre a e x, o eixo t e as retas t=a e t=x. t

17 Teorema. Sendo f(x) uma função contínua e se colocamosentão Demonstração: Seentão Aplicando o teorema da média,temos

18 Teorema Fundamental. Se F(x) é uma primitiva de f(x) então Demonstração: Seja F(x) uma primitiva de f(x). Pelo teorema anterior, (x) é também uma primitiva de f(x). Mas, Além disso, duas primitivas de uma mesma função diferem por uma constante. Então: Determinemos C, calculando a integral para x=a: Mas

19 Coloquemos então x=b Esta é a fórmula de Newton Leibniz

20 CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA PELA DEFINIÇÃO f(a) ab f(b) x1x1 x2x2 x3x3 Mas,

21

22 ab k x1x1 x2x2 x3x3

23 Exemplos usando fórmula Newton-Leiniz

24 Teorema (Mudança de variável). Seja dada a integral onde f(x) é contínua no intervalo [a,b]. Introduzamos a variável t, por Se e, ainda, se (t) ´(t) são contínuas no intervalo [ ], e também f[ (t)] é definida e contínua no intervalo [ ], então

25 Demonstração: se F(x) é uma primitiva de f(x), podemos escrever: Da primeira podemos escrever Da segunda podemos escrever

26 Sabemos que INTEGRAÇÃO POR PARTES Integrando entre x=a e x=b, teremos Mas, Então,e

27 EXTENSÃO DA NOÇÃO DE INTEGRAL Integrais com limites de integração infinitos a b Definição. Se o limite existe, ele será representado por Por definição, então e diz-se que a integral converge.

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