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LIMITE DE UMA FUNÇÃO II Nice Maria Americano Costa Pinto.

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1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO II Nice Maria Americano Costa Pinto

2 2 LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA Se a função f(x) tende ao limite b 1, quando x tende ao valor a por valores inferiores a a, diz-se que b 1 é o limite à esquerda de f, e escreve-se Se a função f(x) tende ao limite b 2, quando x tende ao valor a por valores superiores a a, diz-se que b 2 é o limite à direita de f, e escreve-se Se os limites à esquerda e à direita da função f(x) existem e são iguais, isto é, se b 1= b 2= b, então b é o limite de f(x), quando x a. Inversamente, se f(x) tem limite b em a, então os limites à esquerda e à direita da função são iguais a b

3 3 Limite de f(x), x infinito A função f(x) tende a um limite b, quando x, se, para todo número >0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um número N, tal que, para todo x verificando x >N, tem-se a f(x)-b < satisfeita. Por exemplo, a função tem limite 1, para x, isto é De acordo com a definição, temos que mostrar x >N, se Portanto, temos que determinar N a partir de. Vejamos.

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6 6 FUNÇÃO TENDENDO AO INFINITO Esta situação é distinta da anterior, pois examinaremos a situação da variável x tendendo a um número finito e a função f(x) tendendo ao infinito. A função f(x) tende ao infinito quando x a, se, para número positivo M, tão grande quanto ele seja, pode-se encontrar um >0, tal que, para todos os valores de x diferentes de a que verificam a condição x-a M é satisfeita. Se f(x) tende ao infinito assumindo valores negativos ou positivos, diz-se, respectivamente, que f(x) tende a -, +. Exemplo

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8 8 FUNÇÃO LIMITADA Definição: A função y= f(x) é dita limitada no domínio de definição de x, se existe um número positivo M, tal que, para todos os valores de x pertencendo a este domínio, tem-se que |f(x) | M. Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando xa, se existe uma vizinhança de centro em a, dentro da qual a função é limitada. Exemplo: y=f(x)= senx é limitada, pois, para - 0, tal que, para todos os valores de | x |>N, a função é limitada.

9 9 Infinitamente pequenos Definição: Diz-se que = (x) é um infinitamente pequeno, quando xa ou x, se lim (x)=0, quando xa. Então, pela definição de limite, vemos que para todo >0, existe um >0, tal que, para todo x satisfazendo |x-a|<, tem-se | (x)|<. Teorema: Se uma função y=f(x) pode ser posta na forma da soma de um número b com um infinitamente pequeno (x), y=b + (x), então lim f(x)=b, quando x a. Inversamente, se lim f(x)=b, quando x a então, pode-se escrever que y=f(x)=b+ (x), ou seja, a função y é dada pela soma de seu limite b com um infinitamente pequeno. A função = (x-1) 2 é um infinitamente pequeno quando x1, pois lim (x-1) 2, quando x1 é 0. Igualmente, =1/x é um infinitamente pequeno quando x, pois lim 1/x=0

10 10 Demonstração: Se por hipótese y=b + (x), então, podemos escrever y-b= (x) e |y-b|=| (x) |. Como (x) é um infinitamente pequeno, tem-se | (x) |<, logo, |y-b|=| (x) |<, O que é a condição para b ser lim f(x). Exemplo: A função y=1+1/x. 1/x é um infinitamente pequeno quando x ; lim y=1, quando x. Então y pode ser escrita como a soma de seu limite com um infinitamente pequeno, y=1+

11 11 Teorema 1: A soma algébrica de um número finito de infinitamente pequenos é um infinitamente pequeno. Teorema 2: O produto de um infinitamente pequeno por uma função limitada é um infinitamente pequeno quando x a ou x Teorema 3: O quociente de um infinitamente pequeno, (x), por uma função, z(x), cujo limite é diferente de zero é um infinitamente pequeno, i. e., (x)/ z(x) é um infinitamente pequeno.

12 12 Teoremas fundamentais Teorema. O limite da soma algébrica de duas ou mais funções é igual à soma dos limites dessas funções. lim (u 1 +u 2 )= lim u 1 +lim u 2 Demonstração:

13 13 Teorema 2. O limite do produto de um número finito de funções é igual ao produto dos limites dessas funções. lim (u 1 (x) u 2 (x)..u n (x))= lim u 1.lim u 2.lim u n Demonstração (para duas funções):

14 14 Teorema 2. O limite do quociente de duas variáveis é igual ao quociente dos limites dessas variáveis. lim (u/v)= lim u/lim v Demonstração:

15 15 Exemplos

16 16 M B A O C x

17 17 Continuidade das funções Seja y=f(x) uma função definida para o valor x 0 e numa certa vizinhança de x 0 ; seja ainda y 0 =f(x 0 ). Se à variável x damos um acréscimo x, passando do ponto x 0 para x 0 + x, a função também sofrerá um acréscimo y, dado por y=f(x 0 + x)-f(x 0 ) y=f(x) é dita uma função contínua em x=x 0, se ela é definida em x=x 0 e numa certa vizinhança de x 0 e ainda se

18 18 Teorema. Toda função elementar é contínua no ponto em que ela está definida Se uma das condições de continuidade não for satisfeita, i.e., se a função não está definida em x 0, ou, se o lim f(x), quando x x 0 não existe, a função é dita descontínua em x 0, ou, que há uma descontinuidade em x=x 0 Exemplos

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