LIMITE DE UMA FUNÇÃO II Nice Maria Americano Costa Pinto.

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1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO II Nice Maria Americano Costa Pinto

2 LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA
Se a função f(x) tende ao limite b1, quando x tende ao valor a por valores inferiores a a, diz-se que b1 é o limite à esquerda de f, e escreve-se Se a função f(x) tende ao limite b2, quando x tende ao valor a por valores superiores a a, diz-se que b2 é o limite à direita de f, e escreve-se Se os limites à esquerda e à direita da função f(x) existem e são iguais, isto é, se b1= b2=b, então b é o limite de f(x), quando x → a. Inversamente, se f(x) tem limite b em a, então os limites à esquerda e à direita da função são iguais a b

3 Limite de f(x), x infinito
A função f(x) tende a um limite b, quando x  , se, para todo número >0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um número N, tal que, para todo x verificando x>N, tem-se a f(x)-b<  satisfeita. Por exemplo, a função tem limite 1, para x  , isto é De acordo com a definição, temos que mostrar x>N, se Portanto, temos que determinar N a partir de . Vejamos.

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6 FUNÇÃO TENDENDO AO INFINITO
Esta situação é distinta da anterior, pois examinaremos a situação da variável x tendendo a um número finito e a função f(x) tendendo ao infinito. A função f(x) tende ao infinito quando x  a, se, para número positivo M, tão grande quanto ele seja, pode-se encontrar um >0, tal que, para todos os valores de x diferentes de a que verificam a condição x-a< , a inequação f(x) >M é satisfeita. Se f(x) tende ao infinito assumindo valores negativos ou positivos, diz-se, respectivamente, que f(x) tende a -, + . Exemplo

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8 FUNÇÃO LIMITADA Definição: A função y= f(x) é dita limitada no domínio de definição de x, se existe um número positivo M, tal que, para todos os valores de x pertencendo a este domínio, tem-se que |f(x) | M. Exemplo: y=f(x)= senx é limitada, pois, para -<x<+ , está |f(x) | 1. Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→a, se existe uma vizinhança de centro em a, dentro da qual a função é limitada. Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→, se existe um número N>0, tal que, para todos os valores de | x |>N, a função é limitada.

9 Infinitamente pequenos
Definição: Diz-se que =(x) é um infinitamente pequeno, quando x→a ou x→, se lim (x)=0, quando x→a. Então, pela definição de limite, vemos que para todo >0, existe um >0, tal que, para todo x satisfazendo |x-a|< , tem-se |(x)|< . A função = (x-1)2 é um infinitamente pequeno quando x→1, pois lim (x-1)2, quando x→1 é 0. Igualmente, =1/x é um infinitamente pequeno quando x→, pois lim 1/x=0 Teorema: Se uma função y=f(x) pode ser posta na forma da soma de um número b com um infinitamente pequeno (x), y=b + (x), então lim f(x)=b, quando x →a. Inversamente, se lim f(x)=b, quando x → a então, pode-se escrever que y=f(x)=b+ (x), ou seja, a função y é dada pela soma de seu limite b com um infinitamente pequeno.

10 Demonstração: Se por hipótese y=b + (x), então, podemos escrever y-b= (x) e |y-b|=| (x) |. Como (x) é um infinitamente pequeno, tem-se | (x) |<, logo, |y-b|=| (x) |<, O que é a condição para b ser lim f(x). Exemplo: A função y=1+1/x. 1/x é um infinitamente pequeno quando x → ; lim y=1, quando x → . Então y pode ser escrita como a soma de seu limite com um infinitamente pequeno, y=1+

11 Teorema 1: A soma algébrica de um número finito de infinitamente pequenos é um infinitamente pequeno. Teorema 2: O produto de um infinitamente pequeno por uma função limitada é um infinitamente pequeno quando x →a ou x →  Teorema 3: O quociente de um infinitamente pequeno, (x), por uma função, z(x), cujo limite é diferente de zero é um infinitamente pequeno, i. e., (x)/ z(x) é um infinitamente pequeno .

12 Teoremas fundamentais
Teorema. O limite da soma algébrica de duas ou mais funções é igual à soma dos limites dessas funções. lim (u1+u2)= lim u1+lim u2 Demonstração:

13 Teorema 2. O limite do produto de um número finito de funções é igual ao produto dos limites dessas funções. lim (u1(x) u2(x) ..un (x))= lim u1.lim u2.lim un Demonstração (para duas funções):

14 Teorema 2. O limite do quociente de duas variáveis é igual ao quociente dos limites dessas variáveis. lim (u/v)= lim u/lim v Demonstração:

15 Exemplos

16 C M x A O B

17 Continuidade das funções
Seja y=f(x) uma função definida para o valor x0 e numa certa vizinhança de x0; seja ainda y0=f(x0). Se à variável x damos um acréscimo x, passando do ponto x0 para x0+ x, a função também sofrerá um acréscimo y, dado por y=f(x0+ x)-f(x0) y=f(x) é dita uma função contínua em x=x0, se ela é definida em x=x0 e numa certa vizinhança de x0 e ainda se

18 Teorema. Toda função elementar é contínua no ponto em que ela está definida
Se uma das condições de continuidade não for satisfeita, i.e., se a função não está definida em x0, ou, se o lim f(x), quando x →x0 não existe, a função é dita descontínua em x0, ou, que há uma descontinuidade em x=x0 Exemplos

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