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Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares.

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1 Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares Introdução Definição de Espaço Vetorial Subespaço Combinação Linear Representação dos vetores no espaço Dependência Linear Base de um Espaço Vetorial Mudança de Base

2 Introdução Antes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores no espaço em notação matricial. Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor pode ser escrito da seguinte forma. x y z O P(x,y,z) V é um conjunto no espaço.

3 Desta forma: Vetor nulo no espaço R 3 Vetor oposto em R 3 Operações com vetores no espaço V=R 3 Dados: e Soma:

4 Produto de um vetor com um escalar: Exemplo: x y z x y z

5 Propriedades: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii.

6 Definição de Espaço Vetorial É um conjunto V com duas operações VxV V e RxV V, tais que para quaisquer u,v,w Є V e a,b Є R e as propriedades i a viii sejam satisfeitas. Havendo números complexos, V será um espaço vetorial complexo. O vetor é um elemento do espaço vetorial. Desta forma um vetor poderá ser: Vetor n-dimensional Matriz de qualquer ordem Polinômio de qualquer grau Vejamos alguns exemplos: Exemplo1: Conjunto de Vetores no espaço. É espaço vetorial

7 Exemplo2: considerando n-uplos de n os reais n=5 Neste caso o vetor nulo é:

8 Exemplo3: V=M(m,n), o conjunto de matrizes mxn com soma e produto por escalar: Neste caso o vetor nulo é: Exemplo4: V=P n o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n incluindo o zero. n=2

9 Subespaços Vetoriais São espaços vetoriais contidos no espaço vetorial maior: x y Exemplo: Seja V=R 2, plano onde W é uma reta deste plano. A soma de quaisquer dois vetores de W resulta em outro vetor de W. O mesmo ocorre se multiplicarmos um número por um vetor de W. Nestas condições, W é fechado em relação à soma de vetores e o produto de um escalar pelos vetores de W.

10 Definição: Dado um espaço vetorial V, um supconjunto W, não vazio, será subespaço vetorial de V se: 1)Quaisquer u,v Є W tivermos u+v Є W 2)Para qualquer a Є R, u Є W tivermos au Є W. Obs: a)Não é necessário verificar as propriedades i a viii pois V V W; b)Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo para garantir a condição (2) quando a=0; c)Todo o espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.

11 Exemplo1: V=R 3 e W T V, é um plano passando pela origem do sistema. Se W não passar pela origem ele não é um subespaço vetorial. Exemplo2: V=R 5 e W é um conjunto de vetores do R 5 cuja primeira coordenada seja nula: i) ii)

12 Exemplo3: V=M(m,n) é subconjunto das matrizes triangulares superiores. W R W é subespaço do V pois a matriz resultante da soma e do produto por um escalar é triangular superior.

13 Combinação Linear Definição: Seja V um espaço vetorial real (ou complexo) v 1,v 2,....,v n V e a 1,a 2,......,a n X R (ou C ) É um elemento de V chamado de combinação linear de v 1,v 2,....,v n Fixando-se v 1,v 2,....,v n em V, o conjunto W formado da combinação linear de todos os vetores de V, é subespaço vetorial. Notação: Subespaço gerado pela combinação linear de v 1,v 2,....,v n Formalmente:

14 Exemplo5: Dados dois vetores: v 1 =(1,3), v 2 =(-5,4) escreva o vetor u=(-13,18) como uma combinação linear de v 1 e v 2 : W=[v 1,v 2 ] Solução: Exemplo4: Dados dois vetores: e determine os vetores: Solução:

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16 Dependência Linear Seja V um espaço vetoria e v 1,v 2,....,v n V. Dizemos que {v 1,v 2,....,v n } é LI (Linearmente independente se a 1 v 1 +a 2 v a n v n =0 a 1 =a 2 =....=a n =0 Se a i 0 {v 1,v 2,....,v n } é LD (linearmente dependente)

17 Base de um Espaço Vetorial Definição: Um conjunto {v 1,v 2,.....,v n } de vetores de V é uma base de V se: i) {v 1,v 2,.....,v n } é LI ii) [v 1,v 2,.....,v n ] = V Exemplo1:, é base de V, conhecida como base canônica de V=R 3

18 Exemplo2: Vamos examinar os vetores: é uma base no espaço V

19 Exemplo3: Verificar se é base em R 2 Portanto a e b não são necessariamente zero. é LD e portanto não pode forma uma base.

20 Mudança de Base Dadas duas bases: Ordenadas de um espaço vetorial V. Dado o vetor v X V, podemos escrevê-lo: 1 Base A Base B

21 Base ABase B Desta forma podemos escrever os vetores da base B (b i ) como combinação linear dos vetores da base A (a i ): 2

22 Substituindo-se (2) em (1)

23 Base BBase A Matriz de transformação da base B para base A

24 Portanto pode-se escrever simplificadamente Onde é a matriz de transformação da base B para base A. A partir desta matriz é possível obter-se a matriz de transformação de A para utilizando-se a álgebra matricial desta forma: Que é a matriz identidade E Portanto:

25 Exemplo 1: Sejam as bases: Bases de R 2 Determinando-se a matriz de transformação de B 2 para B 1 : Escreve-se os vetores de B 2 momo combinação linear dos vetores de B 1 :

26 De (1): De (2):

27 Exemplo 2: Determinar v=[5,-8] B 2 na base B 1 Para passar da base B 1 para base B 2, basta fazer a inversão da matriz.

28 Outra maneira de se obter é considerar a transformação algébrica inversa:

29 Exemplo 3: Só para verificar o exemplo anterior Determinar v=[4,-1] B 1 na base B 2 Observando as bases graficamente no espaço R 2 :

30 Exemplo 4: Consideremos em R 2 a base B 1 ={e 1,e 2 } e a base B 2 ={f 1,f 2 }, obtida da base canônica B 1 pela rotação do ângulo q. Dado o vetor v X R 2 de coordenadas: Pode-se escrever f 1 e f 2 em função de e 1 e e 2 : Como é ortogonal então:

31 Considerando: E =60 0 Determinar:

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