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Espaço Vetorial Introdução Definição de Espaço Vetorial Subespaço

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Apresentação em tema: "Espaço Vetorial Introdução Definição de Espaço Vetorial Subespaço"— Transcrição da apresentação:

1 Espaço Vetorial Introdução Definição de Espaço Vetorial Subespaço
Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares Introdução Definição de Espaço Vetorial Subespaço Combinação Linear Representação dos vetores no espaço Dependência Linear Base de um Espaço Vetorial Mudança de Base

2 Introdução Antes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores no espaço em notação matricial. Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor pode ser escrito da seguinte forma. x y z O P(x,y,z) V é um conjunto no espaço.

3 Desta forma: Vetor nulo no espaço R3 Vetor oposto em R3 Operações com vetores no espaço V=R3 Dados: e Soma:

4 Produto de um vetor com um escalar:
x y z Exemplo: Produto de um vetor com um escalar: x y z Exemplo:

5 Propriedades:

6 Definição de Espaço Vetorial
É um conjunto V≠ com duas operações VxV V e RxV V, tais que para quaisquer u,v,w Є V e a,b Є R e as propriedades i a viii sejam satisfeitas. Havendo números complexos, V será um espaço vetorial complexo. O vetor é um elemento do espaço vetorial. Desta forma um vetor poderá ser: Vetor n-dimensional Matriz de qualquer ordem Polinômio de qualquer grau Vejamos alguns exemplos: Exemplo1: Conjunto de Vetores no espaço. É espaço vetorial

7 Exemplo2: considerando n-uplos de nos reais
Neste caso o vetor nulo é:

8 Exemplo3: V=M(m,n), o conjunto de matrizes mxn com soma e produto por escalar:
Neste caso o vetor nulo é: Exemplo4: V=Pn o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n incluindo o zero. n=2

9 Subespaços Vetoriais São espaços vetoriais contidos no espaço vetorial maior: x y Exemplo: Seja V=R2, plano onde W é uma reta deste plano. A soma de quaisquer dois vetores de W resulta em outro vetor de W. O mesmo ocorre se multiplicarmos um número por um vetor de W. Nestas condições, W é “fechado” em relação à soma de vetores e o produto de um escalar pelos vetores de W.

10 Definição: Dado um espaço vetorial V, um supconjunto W, não vazio, será subespaço vetorial de V se: Quaisquer u,v Є W tivermos u+v Є W Para qualquer a Є R, u Є W tivermos au Є W. Obs: Não é necessário verificar as propriedades i a viii pois V V W; Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo para garantir a condição (2) quando a=0; Todo o espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.

11 w Exemplo1: V=R3 e WTV, é um plano passando pela origem do sistema .
Se W não passar pela origem ele não é um subespaço vetorial. Exemplo2: V=R5 e W é um conjunto de vetores do R5 cuja primeira coordenada seja nula: i) ii)

12 Exemplo3: V=M(m,n) é subconjunto das matrizes triangulares superiores.
W⊂R⇨W é subespaço do V pois a matriz resultante da soma e do produto por um escalar é triangular superior.

13 Combinação Linear Definição:
Seja V um espaço vetorial real (ou complexo) v1,v2,....,vn ∈ V e a1,a2,......,an X R (ou C) É um elemento de V chamado de combinação linear de v 1,v2,....,vn Fixando-se v 1,v2,....,vn em V, o conjunto W formado da combinação linear de todos os vetores de V, é subespaço vetorial. Notação: Subespaço gerado pela combinação linear de v 1,v2,....,vn Formalmente:

14 Exemplo4: Dados dois vetores: e determine os vetores: Solução: Exemplo5: Dados dois vetores: v1=(1,3), v2=(-5,4) escreva o vetor u=(-13,18) como uma combinação linear de v1 e v2: W=[v1,v2] Solução:

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16 Dependência Linear Seja V um espaço vetoria e v1,v2,....,vn ∈ V . Dizemos que {v1,v2,....,vn } é LI (Linearmente independente se a1v1+a2v anvn =0 ⇨ a1=a2=....=an=0 Se ai≠0 ⇨ {v1,v2,....,vn } é LD (linearmente dependente)

17 Base de um Espaço Vetorial
Definição: Um conjunto {v1,v2,.....,vn} de vetores de V é uma base de V se: i) {v1,v2,.....,vn} é LI ii) [v1,v2,.....,vn] = V Exemplo1: , é base de V, conhecida como base canônica de V=R3

18 Exemplo2: Vamos examinar os vetores:
é uma base no espaço V

19 Exemplo3: Verificar se é base em R2
Portanto a e b não são necessariamente zero. é LD e portanto não pode forma uma base.

20 Mudança de Base Dadas duas bases:
Ordenadas de um espaço vetorial V. Dado o vetor vXV, podemos escrevê-lo: Base A 1 Base B

21 Base A Base B Desta forma podemos escrever os vetores da base B (bi) como combinação linear dos vetores da base A (ai): 2

22 Substituindo-se (2) em (1)

23 Base A Base B Matriz de transformação da base B para base A

24 Portanto pode-se escrever simplificadamente
Onde é a matriz de transformação da base B para base A. A partir desta matriz é possível obter-se a matriz de transformação de A para utilizando-se a álgebra matricial desta forma: Que é a matriz identidade E Portanto:

25 Determinando-se a matriz de transformação de B2 para B1:
Exemplo 1: Sejam as bases: Bases de R2 Determinando-se a matriz de transformação de B2 para B1: Escreve-se os vetores de B2 momo combinação linear dos vetores de B1:

26 De (1): De (2):

27 Exemplo 2: Determinar v=[5,-8]B2 na base B1 Para passar da base B1 para base B2, basta fazer a inversão da matriz

28 Outra maneira de se obter é considerar a transformação algébrica inversa:

29 Observando as bases graficamente no espaço R2:
Exemplo 3: Só para verificar o exemplo anterior Determinar v=[4,-1]B1 na base B2 Observando as bases graficamente no espaço R2:

30 Exemplo 4: Consideremos em R2 a base B1={e1,e2} e a base B2={f1,f2} , obtida da base canônica B1 pela rotação do ângulo q. Dado o vetor vXR2 de coordenadas: Pode-se escrever f1 e f2 em função de e1 e e2 : Como é ortogonal então:

31 Considerando: E q=600 Determinar:

32 P E R G U N T A S ?


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