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Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar e utilizar cálculos com matrizes Aplicar as matrizes para soluções de diversos problemas.

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1 Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar e utilizar cálculos com matrizes Aplicar as matrizes para soluções de diversos problemas que envolvem sistemas lineares e vetores. Definição Tipos de matrizes Matrizes Iguais Matrizes Especiais Operações com Matrizes Aplicações

2 Definição: Matriz é um arranjo numérico formado por linhas e colunas. Representação: A mxn = [a ij ] mxn m: número de linhas n: Número de colunas a ij : é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna A mxn = a 22 a 21 a a 24 a 12 a 11 a a 14 a m2 a m1 a m a mn =[a ij ] mxn A: Denota a matriz A ou A mxn para definir numero de linhas e colunas Os elementos de uma matriz podem ser reais ou complexo

3 Outras formas de se representar uma matriz: a 22 a 21 a a 24 a 12 a 11 a a 14 a m2 a m1 a m a mn a 22 a 21 a a 24 a 12 a 11 a a 14 a m2 a m1 a m a mn = Exemplo de matriz: A 2x3 = Linha Coluna a 13 =-4 a 22 =-3

4 Tipo de Matrizes: Matrizes Iguais: A mxn =B rxs quando m=r e n=s e a ij =b ij Exemplo: log sen = Matrizes Especiais: Matriz Quadrada: Quando m=n Exemplo: Neste caso A mxm dizemos que A é matriz de ordem m.

5 Matriz nula: Quando todos os elementos a ij =0 Exemplo: Matriz linha: Quando m=1. Exemplo: y x 172 yx Matriz Coluna: Quando n=1. Exemplo: Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada cujos elementos a ij =0 para ij. Exemplo:

6 Matriz Identidade: É a matriz diagonal quando a ij =1 (ou a ii =1) para i=j. Exemplo: Matriz Triangular Superior: É a matriz quadrada (m=n) onde os elementos abaixo da diagonal são nulos: a ij = 0 para i>j. Exemplo: Matriz Triangular Inferior: É a matriz quadrada (m=n) onde os elementos acima da diagonal são nulos: a ij = 0 para i

7 a 22 a 21 a 23 a 24 a 13 a 14 a 32 a 33 a 34 a 31 a 12 a 11 Matriz Simétrica: É a matriz quadrada (m=n) onde a ij =a ji. Exemplo: e b f g g d i j f c h i b a c d Operações com Matrizes: Adição: Dadas duas matrizes A mxn e B oxp a adição só será possível quando: m=o e n=p e portanto C=A+B = [a ij +b ij ] mxn =[c ij ] += a 11 +b 11 a 12 +b 12 a 14 +b 14 a 21 +b 21 a 22 +b 22 a 24 +b 24 a 31 +b 31 a 32 +b 32 a 34 +b 34 a 13 +b 13 a 23 +b 23 a 33 +b 33 Exemplo: = b 22 b 21 b 23 b 24 b 14 b 11 b 32 b 34 b 31 b 12 b 13 b 23

8 Propriedades da Soma: 1.A+B=B+A (comutativa) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (Associativa) 00 3.A+0 = A onde 0 é a matriz nula Multiplicação de Matriz por escalar: Seja k um escalar e A uma matriz qualquer: kA=[ka ij ] mxn ou seja, cada elemento da matriz é multiplicado por este escalar. Examplo: = Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem mxn e os escalares k, k 1, k 2 : 1.k(A+B)=kA+kB 2.(k 1 +k 2 )A=k 1 A+k 2 A 3. 0 A=0 se multiplicarmos o número zero por uma matriz obtemos uma matriz nula. 4.k 1 (k 2 A)=(k 1 k 2 )A

9 Transposição de Matrizes: Dada a matriz A=[a ij ] mxn pode-se obter a matriz transposta A=[b ij ] nxm cujo as linhas e colunas de A passam a ser colunas e linhas de A, isto é: b ij =a ji. Exemplo: A = x2 2x3 Propriedades: 1.Uma matriz é simétrica se e somente se ela é igual a sua transposta, ou seja A=A. Exemplo: A = A=A 3.(A+B) = A + B 4.(kA)=kA

10 Multiplicação de Matrizes: Sejam as matrizes A=[a ij ] mxn e B[b rs ] nxp define-se AB = [c uv ] mxp onde: i.O produto só é possivel se (A mxn e B lxp ) se n=l, ou seja o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B; ii. O elemento c ij (i-ésima linha e j-ésima coluna) é obtido multiplicando-se os elementos da i-ésima linha da 1ª Matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz e somando-os

11 = b 22 b 21 b 12 b 11 b 32 b 41 b 42 b 31 4x2 3x2 c 21 c 22 c 11 c 12 c 31 c 32 a 22 a 21 a 23 a 24 a 12 a 11 a 13 a 14 a 32 a 33 a 34 a 31 3x4

12 Propriedades: 1.Em geral ABBA sendo possível as operações; 2.AI=IA=A (I é a matriz identidade); 3.A(B+C)=AB+AC (distributividade à esquerda); 4.(A+B)C=AC+BC (distributividade à direita); 5.(AB)C=A(BC) (Associatividade); 6.(AB)=BA (OBSERVE A ORDEM) 7. 0A=0 e A0=0

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