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Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Revisão Espaço Vetorial Subespaços Dependência e Independência linear Base

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Apresentação em tema: "Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Revisão Espaço Vetorial Subespaços Dependência e Independência linear Base"— Transcrição da apresentação:

1 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Revisão Espaço Vetorial Subespaços Dependência e Independência linear Base Álgebra linear UEMS

2 Espaços Vetoriais

3 Propriedades dos E.V.

4 Exemplos de Espaços Vetoriais:

5 O conjunto das matrizes quadradas

6 Conjunto dos polinômios Exemplo 2.6 – Apostila (p.26) P(K) = {p(x) = a n x^ n a 1 x + a 0 ; a i K e n 0} ´e um K - espaço vetorial com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação por escalar. Especificamente,sejam : p(x) = a n x n a 0 e q(x) = b m x^ m b 0 dois elementos em P(K). Sem perda de generalidade assumindo que n m, definimos a soma: (p + q)(x) = b m x^ m b n+1 + (a n + b n )x^ n (a 0 + b 0 ) Além disso, se α K, o produto por escalar de α por p(x) ser´a, por definição, o polinômio: (αp)(x) = (αa n )x^ n (αa 1 )x + (αa 0 ) Para cada m 0, o conjunto P m (K) = {a n x^ n a 1 x + a 0 : a i K 0 n m} também é um K - espaço vetorial (com as mesmas operações acima).

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8 Exemplos - subespaço

9 Ex. Subespaço

10 Interseção de subespaços

11 Exemplo: Sistema de Equações Lineares O conjunto solução de S é um subespaço vetorial?

12 W é um subespaço vetorial do espaço vetorial R 4 /R? Seja W= (i)(0,0,0) pertence a W? (i)Se w1,w2 W w 1 +w 2 W ? (ii)Se α R, e w W αw W ?

13 Gráfico de Soluções de Sistemas Lineares – 3 incógnitas e 3 equações x + y + z = 1 (1) 2x + 2y + 2z = 2 (2) z = 0 (3) O conjunto solução (W) é um subespaço do espaço vetorial R³/R ? (1) = (3) ( 1) (2) = reta Solução algébrica : W= {(a, 1 - a, 0) / a pertence a R} Ao fazer a variar no conjunto dos números reais, obtemos todos os pontos dessa reta. Possui infinitas soluções - Posível Indeterminado

14 Soma Direta

15 Exemplo:

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17 Combinação Linear Exemplo: Dados os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em R³ obtenha números α, β tais que: w = αu + β v. Quantas soluções admite este problema ?

18 Subespaço gerado Dizemos que um conjunto B é um conjunto gerador de V (ou B gera V) se todo elemento de V é uma combinação linear de um número finito de elementos de B.

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21 Espaços das Matrizes M 2 (R)

22 Conjunto dos polinômios P n (R)

23 Encontre o conjunto de Geradores dos subespaços abaixo:

24 Base e Dimensão

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26 Base

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28 Exercícios

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