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Linguagem Orientada a Matrizes COB 727 Maurício Cagy.

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1 Linguagem Orientada a Matrizes COB 727 Maurício Cagy

2 Bibliografia Hahn, B., Valentine, D., Essential Matlab for Engineers and Scientists, 4th Ed., Oxford: Academic Press, Gilat, A., Matlab: An Introduction with Applications, John Wiley & Sons, Cagy, M., Fundamentos de Matlab, apostila, 1997.

3 Linguagens Orientadas a Matrizes SciLab; Octave; FreeMat; JMathLib; Matlab.

4 Á lgebra de Escalares Puramente Reais ou Complexos... Propriedades: Soma / Diferença a+0 = a a+(b+c) = (a+b)+c a+b = b+a a-b = a+(-b) Produto / Divisão a 0 = 0 a 1 = a a (b+c) = a b+a c a (b c) = (a b) c a b = b a a / b = 1 / b a

5 Á lgebra Vetorial Ênuplas Reais: (x 1, x 2,..., x N ) – Aplicação em geometria, cálculo vetorial... Propriedades (ex. 3D): – u=(x u, y u, z u ); – v=(x v, y v, z v ); – 0=(0, 0, 0). Soma / Diferença u+v = (x u +x v, y u +y v, z u +z v ) u+0 = u u+(v+w) = (u+v)+w u+v = v+u -v = (-x v, -y v, -z v ); u-v = u+(-v) Produto Escalar u v = x u x v + y u y v + z u z v u 0 = 0 u u = |u| 2 (quadrado do módulo) u v = v u Produto por Escalar a u = (a x u, a y u, a z u ); Produto Vetorial u v Definido apenas em 3D

6 Á lgebra Linear Vetores: – Agrupamento de valores quaisquer (reais ou complexas); Propriedades: – u=[u 1, u 2, u 3 ]; v=[v 1, v 2, v 3 ] s= (vetor-coluna) – w=[w 1, w 2, w 3 ]; – 0=(0, 0, 0) (vetores-linha). Soma / Diferença u+v = [u 1 +v 1, u 2 +v 2, u 3 +v 3 ] u+0 = u u+(v+w) = (u+v)+w u+v = v+u -v = [-v 1, -v 2, -v 3 ]; u-v = u+(-v) u t = vetor-coluna (transposição) Produto u v = !! u s = u 1 s 1 + u 2 s 2 + u 3 s 3 0 s = 0 u u t = ||u|| 2 (quadrado da norma) (u+v) s = u s + v s Produto por Escalar a u = (a u 1, a u 2, a u 3 );

7 Á lgebra Linear Exemplo: – Cada cesta de maçãs tem 8 maçãs; cada saco de laranja tem 10 laranjas; cada caixa de mangas tem 6 mangas... – Fulano tem 3 cestas de maçãs, 1 saco de laranja e 2 caixas de mangas: u = [3, 1, 2]; Quantas frutas ele tem? – Beltrano tem 4 cestas de maçãs, 2 saco de laranja e 1 caixas de mangas: v = [4, 2, 1]; Quantas frutas ele tem? – Agrupando as 2 operações...

8 Á lgebra Linear Exemplo das frutas e recipientes... Matriz Vetor-coluna Vetor-coluna Requisito de dimensões para o Produto Matricial: – [m p] [p n] = [m n]

9 Á lgebra Linear Se não conhecêssemos o vetor f... Isto se traduz num sistema de equações: Sistema INDETERMINADO

10 Á lgebra Linear Se soubéssemos que Sicrano tem 2 cestas de maçãs, 3 sacos de laranja e nenhuma caixa de mangas: w = [2, 3, 0], e, portanto, 46 frutas... Que compõe um sistema de equações consistente, ou uma Equação Matricial: – A f = b – Analogamente a uma equação linear: a f = b f = b / a = a -1 b – f = A -1 b, caso A seja inversível.

11 Produto Interno Produto Externo – u = [u 1, u 2,..., u n ]; – s = – Produto Interno: u s = u 1 s 1 + u 2 s u n s n (n=m!) – Produto Externo:

12 Exemplo: Transformada de Fourier como Produto Matricial... – Transformada Discreta de Fourier (DFT):, para k = 0, 1,..., N-1 onde:

13 Os Coeficientes de um Polinômio como um Vetor... – Seja o polinômio: a N x N + a N-1 x N a 0 – ele pode ser representado pelo vetor: a = [a N, a N-1,..., a 0 ] – Desafio: Encontrar o polinômio de ordem N cujo gráfico passa por N+1 pontos conhecidos...

14 Outras Propriedades Sejam as matrizes A e B tais que as operações abaixo são viáveis: Transposição (A t ) t = A (A + B) t = A t + B t (A - B) t = A t - B t (A B) t = B t A t Inversão (A -1 ) -1 = A (A B) -1 = B -1 A -1

15 Operadores Lineares Dada uma matriz quadrada A (n n), dizemos que ela é um operador linear se consideramos y = f(x) = A x... – Operadores lineares usuais: Projeção; Reflexão; Rotação. Exemplo - Operador Rotação em 2D:

16 Operadores Lineares Operador Rotação em 3D: Rotação em torno de um eixo u:

17 Rotação + Translação A Translação não é um Operador Linear! f t (x 1 +x 2 ) = x 1 +x 2 +t f t (x 1 )+ f t (x 2 ) = x 1 +t+x 2 +t Associação usual de rotação e translação: y = R x + t Álgebra homogênea: y = R T x

18 Mudança de Base Dados n vetores linearmente independentes de um espaço n-dimensional, qualquer ponto neste espaço pode ser representado por uma combinação linear destes n vetores. Para n = 3: t = au+bv+cw – portanto, dizemos que u, v e w formam uma base ( ) do espaço tridimensional, e a tríade [a, b, c] t representa as coordenadas do ponto t nesta base, e a = U -1 t é o processo de mudança de base a partir da base canônica para a base.

19 Mudança de Base Ilustração no espaço bidimensional (bases ortonormais):

20 Autovalores e Autovetores Seja A uma matriz quadrada, diz-se que ela possui um ponto fixo x se: A x = x De maneira mais geral, define-se um autovalor de A,, como um escalar tal que: A x = x – situação em que o vetor x é chamado de autovetor de A associado a. Problema: – Estabelecer os autovalores de uma matriz A; – Estabelecer um autovetor não-nulo associado a cada autovalor.

21 Autovalores e Autovetores Seja A uma matriz n n; se A x = x, então: – como x é não-nulo, então det ( I - A) = 0; – det ( I - A) = 0 é chamada equação característica de A. Exemplo:

22 Autovalores e Autovetores Para 1 = -1: Para 2 = 4

23 Autovalores e Autovetores Propriedades: Se não houver autovalor nulo, det(A) 0, logo A é inversível; O número de autovalores não-nulos (contabilizando as multiplicidades maiores que 1) é o posto de A; O conjunto de autovetores associados a todos autovalores não-nulos de A compõe o autoespaço de A; Caso A seja quadrada, seus autovetores são ortogonais.

24 Decomposição em Autovalores Considerando a matriz quadrada inversível A como um Operador Linear: y = A x; se montarmos uma matriz P cujas colunas são autovetores de A: z = P -1 x representa a mudança de base de x da base canônica para o autoespaço de A, de modo que: A z = D z onde D é uma matriz diagonal com os autovalores ordenados de A...

25 Decomposição em Autovalores Assim: w = D z = D P -1 x representa a aplicação do operador A sobre a notação de x no autoespaço de A; Logo, para se obter y, basta voltar para a base canônica: y = P w = P D P -1 x. Ou seja: A = P D P -1 Que é a chamada Decomposição em Autovalores (EVD) de A.

26 Diagonalização Ortogonal Caso a matriz A seja simétrica: A = P D P t onde P é uma matriz ortonormal formada pelos autovetores de A, de modo que P -1 =P t. Diz-se que P diagonaliza ortogonalmente A.

27 Variância e Covariância Para um sinal x[n] ergódico: onde E{...} refere-se à esperança matemática. Analogamente, a covariância entre 2 sinais x[n] e y[n] 0 é definida por:

28 Matriz de Covariância Sejam k sinais ergódicos x 1 [n] a x k [n]: Se os sinais são todos reais, C é uma matriz simétrica, que pode ser dada por: onde X é uma matriz (N k) cujas colunas são os sinais subtraídos de suas respectivas médias.

29 Análise de Componentes Principais (PCA) Sejam k sinais ergódicos x 1 [n] a x k [n] correlacionados entre si (não ortogonais): sua matriz de covariância C não é diagonal. Existe um conjunto de k outros sinais descorrelacionados entre si (ortogonais e de média nula), s 1 [n] a s k [n] (componentes principais), tais que: Problema: achar A e S...

30 Análise de Componentes Principais (PCA) Multiplicando-se ambos os lados por X: – mas os sinais s i [n] são ortogonais por pressuposição, de modo que S t S é uma matriz diagonal. Dividindo-se ambos os lados por N 1, tem-se que: o que evidencia que A é a matriz que diagonaliza ortogonalmente C: decomposição por auto-valores e auto-vetores de C.

31 Decomposição em Valores Singulares (SVD) Uma matriz A de tamanho m n (supondo m n, por simplicidade), com posto k, pode ser fatorada por: A = U S V t S é uma matriz diagonal (m n) cujos elementos (s i ) são dados pela raiz quadrada dos autovalores de B=A t A ( i, usualmente, ordenados de forma decrescente); note que B é uma matriz quadrada, simétrica e positiva semi-definida (seus autovalores são não-negativos); V é a matriz (n n) cujas colunas são os autovetores v i normalizados da matriz B=A t A; U é a matriz (m m) cujas k primeiras colunas são dadas por u i =A v i / i, e os demais são vetores que completam uma base ortonormal de m.

32 Decomposição em Valores Singulares Reduzida Devido às porções nulas da matriz S, a SVD pode ser reduzida por: A = U 1 S 1 V 1 t S é uma matriz diagonal (k k); V tem tamanho (k n); U tem tamanho (m k).


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